高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 §7.4 第2课时 二项式定理的应用（57张PPT）

(共57张PPT)
第2课时　二项式定理的应用
第7章　 §7.4　二项式定理
1.熟练掌握二项式定理.
2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.
3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.
4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
学习目标
假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 022天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？
导语
随堂演练
课时对点练
一、两个多项式乘积的特定项
二、系数的最值问题
三、二项式定理的应用
内容索引
一、两个多项式乘积的特定项
例1　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10 B.－10 C.2 D.－2
√
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
√
反思感悟　求多项式积的特定项的方法——“双通法”
跟踪训练1　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为
A.12 B.16 C.20 D.24
√
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______.(用数字作答)
－20
二、系数的最值问题
即n2＋n－156＝0.
解得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tr＋1项的系数最大，
又∵0≤r≤n，r∈N，∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
反思感悟　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.
解　设第Tr＋1项的系数最大，
∵0≤r≤10，r∈N，∴r＝7，
∴展开式中系数最大的项为T8＝
三、二项式定理的应用
角度1　求余数和整除的问题
例3　(1)试求2 01910除以8的余数；
解　2 01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.
证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，一般将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除.
跟踪训练3　已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
角度2　证明不等式或求近似值
例4　(1)求1.9975精确到0.001的近似值.
延伸探究　求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
＝0.000 06<0.001，
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，
故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
1.知识清单：
(1)两个多项式乘积的特定项.
(2)系数的最值问题.
(3)整除与余数问题.
2.方法归纳： 双通法.
3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析.
课堂小结
随堂演练
1.在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是
A.－297 B.－252 C.297 D.207
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√
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2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
√
即r＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，
故r＝4时，
即第5项是展开式中的系数最大的项.
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3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是______.
解析　(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：
②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，
所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.
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4.230－3除以7的余数为___.
5
解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
又∵余数不能为负数(需转化为正数)，
∴230－3除以7的余数为5.
课时对点练
基础巩固
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A.－84 B.84 C.－280 D.280
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√
A.－3 B.－2 C.2 D.3
√
令10－2r＝2或10－2r＝0，解得r＝4或r＝5.
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3.1.026的近似值(精确到0.01)为
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
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4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是
A.56 B.84 C.112 D.168
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A.0 B.8 C.7 D.2
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A.x3的系数为40 B.x3的系数为32
C.常数项为16 D.常数项为8
√
√
展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确.
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－3
所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.
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10x
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9.用二项式定理证明1110－1能被100整除.
证明　1110－1＝(10＋1)10－1
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除.
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解　设展开式中第r＋1项的系数最大，
又因为0≤r≤5，r∈N，所以r＝4，
所以展开式中第5项系数最大.
综合运用
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A.0 B.2 C.7 D.8
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13.(1＋x)3(1－x＋x2)2展开式中x3项的系数为
A.1 B.2 C.－1 D.－2
√
解析　∵(1＋x)3(1－x＋x2)2＝(1＋x)(1＋x3)2＝(1＋x)(1＋2x3＋x6)，
∴展开式中含x3项为2x3，故x3项的系数为2.
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由二项式定理可得
即a除以10的余数为1，
因为a≡b(mod 10)，
所以b的值除以10的余数也为1，
观察选项，只有2 021除以10的余数为1，
则b的值可以是2 021.
拓广探究
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15.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为
A.7 B.8 C.9 D.10
√
解析　由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
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解　方法一　由二项式定理得
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方法三　由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为
本课结束