高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 第7章 计数原理 章末复习课（57张PPT）

(共48张PPT)
章末复习课
第7章　计数原理
一、两个计数原理
二、排列与组合的综合应用
三、二项式定理及其应用
内容索引
知识网络
随堂演练
知识网络
一、两个计数原理
1.分类计数原理和分步计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性.
2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养.
例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为
A.484 B.472 C.252 D.232
√
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
解　方法一　设A，B代表2位老师傅.
所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法.
所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法.
反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤
(1)明确完成的这件事是什么.
(2)思考如何完成这件事.
(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类.
(4)选择计数原理进行计算.
跟踪训练1　(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有____个.(用数字作答)
60
解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.
(2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有____种.
30
所以不同的参赛方案共有36－6＝30(种).
二、排列与组合的综合应用
1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则.
2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养.
例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
×□×□×□×□×□×□×
根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
反思感悟　解决排列、组合综合问题要注意以下几点
(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题.
(2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接.
(3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净.
跟踪训练2　某局安排3位副局长带5名职员去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职员，则不同的安排方法种数为______.
900
三、二项式定理及其应用
1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解.
2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养.
角度1　二项展开式的“赋值问题”
例3　(1)若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
两式相乘，得
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.
(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求：
①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；
解　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；
令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.
两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.
②－a2＋a4－a6＋a8－a10.
解　令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.
整理得(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，
故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.
因为a0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.
反思感悟　“赋值法”在二项展开式中的应用
(1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征.
(2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等，视具体情况而定.
(3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可.
跟踪训练3　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为____.
5
解析　令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
角度2　二项展开式的特定项问题
(1)求展开式中的所有有理项；
解得n＝10(负值舍去)，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；
又因为r∈N，所以r＝7，
解　设第r＋1项系数的绝对值最大，则
当r＝7时，T8＝－15 360 ，
又因为当r＝0时，T1＝x5，
当r＝10时，T11＝
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360 .
解　二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
解　设常数项为第r＋1项，
故8－2r＝0，即r＝4，
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.
解　易知m>0，设第r＋1项系数最大.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以m只能等于2.
反思感悟　二项式特定项的求解策略
(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素.
(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项.
(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数.
(4)确定二项展开式中的系数最大项或最小项：利用二项式系数的性质.
解　由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为
(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中x2项的系数.
1.知识清单：
(1)两个计数原理.
(2)排列与组合的综合应用.
(3)二项式定理及其应用.
2.方法归纳：分类讨论、先选后排法、特殊元素优先安置法、捆绑法、插空法、赋值法等.
3.常见误区：一是对于含至多、至少的问题思考不全面；二是特殊元素(位置)考虑不周；三是混淆二项式系数和项的系数.
课堂小结
随堂演练
1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为
A.30 B.20 C.15 D.10
1
2
3
4
√
√
解析　令x＝－1，得
(2＋1)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35，
令x＝1，得(2－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝－121，a0＋a2＋a4＝122，
1
2
3
4
1
2
3
4
3.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有
A.24种 B.28种 C.36种 D.48种
√
解析　分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分.
因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法.
1
2
3
4
4.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
1 260
综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.
本课结束