高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 第7章 计数原理 习题课 排列与组合的综合运用（65张PPT）

(共65张PPT)
习题课　排列与组合的综合运用
第7章　计数原理
1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
2.理解排列、组合中的分组、分配等问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、分组、分配问题
二、排列、组合的综合应用
内容索引
一、分组、分配问题
问题1　把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？
提示　共1种分法.因为三堆无差异.
问题2　若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？
角度1　不同元素分组、分配问题
例1　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
解　由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.
反思感悟　分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等.
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！.
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素分配问题
例2　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
延伸探究
1.若将例题改为“已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，求不定方程正整数解的组数”.
2.若求不定方程自然数解的组数，如何求解？
反思感悟　相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
跟踪训练1　(1)把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有_____种.
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(2)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有_____种(用数字作答).
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二、排列、组合的综合应用
角度1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3　(1)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法
√
(2)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解　方法一　(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
综上所述，共有不同的三位数
反思感悟　解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
角度2　选排问题
例4　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生；
解　先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
反思感悟　解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：
(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析题意确定分类还是分步.
跟踪训练2　(1)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有
A.240种 B.192种
C.96种 D.48种
√
(2)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有____种.(用数字作答)
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1.知识清单：
(1)分组、分配问题.
(2)排列、组合的综合应用.
2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法.
3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位.
课堂小结
随堂演练
1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是
A.30 B.60 C.120 D.240
1
2
3
4
√
1
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3
4
2.从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有
A.36种 B.108种 C.210种 D.72种
√
1
2
3
4
3.中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有
A.18种 B.24种 C.36种 D.54种
√
4.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______个.(用数字作答)
1
2
3
4
1 080
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个).
课时对点练
基础巩固
1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
√
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2.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
√
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3.有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是
A.24 B.48 C.72 D.96
√
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4.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
√
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5.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有
A.56种 B.68种 C.74种 D.92种
√
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6.(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，下列结论正确的有
√
√
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解析　根据题意知，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有两种解法：
方法一　分2步进行分析：
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综上，BC正确.
方法二　分2步进行分析：
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7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.(用数字作答)
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8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种.
600
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9.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.
(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？
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解　方法一　(直接法)共线的4点记为A，B，C，D.
第一类：A，B，C，D确定1条直线；
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(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
解　方法一　
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(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？
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10.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法？
解　每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.
(2)每盒至多1个球，有多少种放法？
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(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？
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(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
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(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
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(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
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11.若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象.那么，小于1 000的“良数”的个数为
A.27 B.36 C.39 D.48
综合运用
√
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解析　如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1 000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取1,2,3，共有3×3＝9(个)；三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个).综上，小于1 000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48.
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12.某企业有4个分厂，新培训了6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
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解析　先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.若4个组的人数按3,1,1,1分配，
若4个组的人数为2,2,1,1，
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13.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_____.
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14.将8个相同的小球放入5个编号为1,2,3,4,5的盒子，每个盒子都不空的方法数为____，恰有一个空盒子的方法数为_____.
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15.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
拓广探究
√
√
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16.已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.
(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
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(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？
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本课结束