立体几何综合题练习（高考模拟题）

立体几何综合题练习
（江苏最后1卷）给出下列四个命题：
（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交
（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直
（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
【答案】（3）（4）
（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .
提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、
、、、上. 或者，若在上，设,
有.
故上有一点（的中点）满足条件.
同理在、、、、上各有一点满足条件.
又若点在上上，则.
故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.
（南通三模）已知正方体的棱长为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，依此类推。记凸多面体的棱长为，则= ▲ .
解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。正方体的棱长为,由各个面的中心为顶点的几何体为正八面体，其棱长，由各个面的中心为顶点的几何体为正方体,其棱长,如此类推：得到。 答案：2
（泰州期末）设、、表示是三个不同的平面，a、b、c表示是三条不同的直线，给出下列
五个命题：
(1)若a∥，b∥，a∥b，则∥；
(2)若a∥，b∥，，则；
(3)若；
(4)若则或；
答案：(2)
（南京三模）7.已知、是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线，，；
②存在一个平面，；
③存在两条平行直线、，，∥，∥；
④存在两条异面直线、，，∥，∥。
其中是平面∥平面的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号）
答案:①③
（苏锡常二模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若，，，则；
（2）若，，，则；
（3）若，，，则；
（4）若，，，则.
上面命题中，所有真命题的序号为 .
答案：（2），（4）
（苏州期末）已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为_________.
答案：
（南京二模）.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为__________________.
答案：48
（南通一模）．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形
的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最
大值为 ▲ .
答案：12
解析： 如图①，当与重合，与重合时，四边形
在前、后面的正投影的面积最大值为12；
如图②，当与重合，四边形在左、右面的正投
影的面积最大值为8；
如图③，当与D重合时，四边形在上、下面的
正投影的面积最大值为8；
综上得，面积最大值为12.





(本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本)
（盐城二模）在四棱锥中, 底面, , ,,, 点在上.
求证: 平面平面；
当平面时, 求的值.

15.(1)证明: 过A作AFDC于F, 则CF=DF=AF,
所以, 即…………………………… 2分
又底面,面,所以……4分
因为面,且,
所以底面…………………………………………6分
而面, 所以平面平面…………………………………………………… 8分
(2)连接BD交AC于点O, 连接EO, 因为平面,面,
面面AEC=EO, 所以PD//EO…………………………………………………………………11分
则=, 而, 所以………………………… 14分
（南京二模） 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.
（1） 求证：平面AEC平面ABE；
（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求的值。
解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB(平面ABCD，
所以AB⊥平面BCE． ……………… 3分
因为CE(平面BCE，所以CE⊥AB．
因为CE⊥BE，AB(平面ABE，BE(平面ABE，AB∩BE＝B，
所以CE⊥平面ABE． ………………………… 6分
因为CE(平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． ………………………… 8分
（2）连结BD交AC于点O，连结OF．
因为DE∥平面ACF，DE(平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，
所以DE//OF． ………………………… 12分
又因为矩形ABCD中，O为BD中点，
所以F为BE中点，即＝． ………………………… 14分
（天一、淮阴、海门三校联考）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是
的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．
16.（1）证明：在，∵AC=2BC=4,
∴，∴，∴
由已知， ∴
又∵
（2）证明：取AC的中点M，连结
在,
而，∴直线FM//平面ABE
在矩形中，E、M都是中点，∴
而，∴直线
又∵ ∴
故
（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）
（3）取的中点，连结，则且，
由（1），∴，
∵P是BE的中点，
∴
（泰州期末）如图，三棱锥A—BCD，BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连结CE，G为CE上一点．
(1)求证：平面CBD⊥平面ABD；
(2)若 GF∥平面ABD，求的值．
15．解：(1)在△BCD中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC⊥BD
又∵BC⊥AD，BD∩AD=D
∴BC⊥平面ABD …………………………4′
又∵BC平面BCD
∴平面CBD⊥平面ABD …………………………7′
(2) ∵GF∥平面ABD, FG平面CED
平面CED∩平面ABD=DE
∴GF∥ED …………………………10′
∴G为线段CE的中点
∴=1 …………………………14′
（南京三模）
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.将△ABD沿着AD折起到△AD的位置，连结C（如图2）.
(1)若平面AD⊥平面AD C，求三棱锥-AD C的体积;
(2)记线段C的中点为H,平面ED与平面HFD的交线为,求证:HF∥;
(3)求证:AD⊥E.
（南通三模）如图，三棱柱中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱上，已知.
(1)求证:∥平面ADF;
(2)若点M在棱上，当为何值时，平面⊥平面ADF?
分析：（1）要证明,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.
Ⅰ.要在平面中找到与平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过的平面与平面的交线,这里注意为的重心，（）,再利用比例关系证明从而证明结论.
Ⅱ.取中点,可通过证明面,证明
解：（1）连接交于，连接．
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，．
从而OF//C1E．………………………………………………………………………………3分
OF面ADF，平面，
所以平面．……………………………………………………………………6分
（2）当BM=1时，平面平面．
在直三棱柱中，
由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．
由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD平面B1BCC1．
而CM平面B1BCC1，于是ADCM．…………………………………………………9分
因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所以CMDF． ………11分
DF与AD相交，所以CM平面．
CM平面CAM，所以平面平面．………………………………………13分
当BM=1时，平面平面．…………………………………………………14分
（苏锡常一模）如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.
求证：平面；
若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.

（南通一模）如图，在六面体中，，，.求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）取线段的中点，连结、，
因为，，

所以，
又，平面，所以平面．
而平面，
所以.
（2）因为，
平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，
所以．同理得，
所以