高三年级数学(理科)周练试卷九
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高三年级数学(理科)周练试卷九
第Ⅰ卷
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M= ，集合 (e为自然对数的底数），则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，且，则实数,分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知、 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A． B． C． D．4
4．在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f (x+1)是奇函数，f (x－1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (2012)＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在实数集R上的函数满足=1，且的导数在R上恒有<，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．∪
8．已知方程的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9．如果关于的方程有且仅有一个正实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或 C. D.或
10．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
11．若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 ．
12．已知二项式的展开式中第4项为常数项，则________．
13．在空间中，若射线、、两两所成角都为，且，，则直线 与平面所成角的正弦值为 ．
14直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为________________．
15．四位同学在研究函数 f (x) = (x∈R) 时，分别给出下面四个结论：
① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1) ；
② 若x1≠x2，则一定有f (x1) ≠ f (x2) ；
③是连续且递增的函数，但不存在；
④ 若规定 f1(x) = f (x)，fn+1(x) = f [ fn(x)]，则 fn(x) = 对任意 n∈N* 恒成立．
上述四个结论中正确的有________________．
三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
16．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
高三年级数学（理科）周练九答题卷
座位号
一．选择题（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
CDCBA BDDBA
11.（-1，-2） 12 .5 13. 14. 3 15. ①②④
16[解析] 设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，
所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，
即y＝3x02x－2x03，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或－.
17（I）解：由， 得.
所以的定义域为 的最小正周期为
（II）解：由得
整理得
因为，所以因此
由，得.所以
18解： （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望
19 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得
（I）解：易得，
于是
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：易知
设平面AA1C1的法向量，
则即
不妨令可得，
同样地，设平面A1B1C1的法向量，
则即不妨令，
可得
于是
从而
所以二面角A—A1C1—B的正弦值为
（III）解：由N为棱B1C1的中点，
得设M（a，b，0），
则
由平面A1B1C1，得
即
解得故
因此，所以线段BM的长为
方法二：
（I）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，
可得
因此
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以≌，过点A作于点R，
连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.
在中，
连接AB1，在中，
，
从而
所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为
（III）解：因为平面A1B1C1，所以
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，
所以平面AA1B1B，故又
所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，
则
由得，延长EM交AB于点F，
可得连接NE.在中，
所以
可得连接BM，在中，
20 [解析] 函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝
＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0，当x充分大时，φ(x)>0，
∴要使φ(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需，
即7所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像，有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．
21．解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立.
∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]．………………６分
法二:,用复合函数求值域．………………６分
法三:
用双勾函数求值域．………………６分
(2)值域[0,1]，在上的值域．
由条件,只须，∴．……………12分
的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）
第Ⅰ卷
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M= ，集合 (e为自然对数的底数），则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，且，则实数,分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知、 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A． B． C． D．4
4．在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f (x+1)是奇函数，f (x－1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (2012)＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在实数集R上的函数满足=1，且的导数在R上恒有<，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．∪
8．已知方程的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9．如果关于的方程有且仅有一个正实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或 C. D.或
10．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
11．若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 ．
12．已知二项式的展开式中第4项为常数项，则________．
13．在空间中，若射线、、两两所成角都为，且，，则直线 与平面所成角的正弦值为 ．
14直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为________________．
15．四位同学在研究函数 f (x) = (x∈R) 时，分别给出下面四个结论：
① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1) ；
② 若x1≠x2，则一定有f (x1) ≠ f (x2) ；
③是连续且递增的函数，但不存在；
④ 若规定 f1(x) = f (x)，fn+1(x) = f [ fn(x)]，则 fn(x) = 对任意 n∈N* 恒成立．
上述四个结论中正确的有________________．
三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
16．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
高三年级数学（理科）周练九答题卷
座位号
一．选择题（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
CDCBA BDDBA
11.（-1，-2） 12 .5 13. 14. 3 15. ①②④
16[解析] 设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，
所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，
即y＝3x02x－2x03，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或－.
17（I）解：由， 得.
所以的定义域为 的最小正周期为
（II）解：由得
整理得
因为，所以因此
由，得.所以
18解： （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望
19 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得
（I）解：易得，
于是
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：易知
设平面AA1C1的法向量，
则即
不妨令可得，
同样地，设平面A1B1C1的法向量，
则即不妨令，
可得
于是
从而
所以二面角A—A1C1—B的正弦值为
（III）解：由N为棱B1C1的中点，
得设M（a，b，0），
则
由平面A1B1C1，得
即
解得故
因此，所以线段BM的长为
方法二：
（I）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，
可得
因此
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以≌，过点A作于点R，
连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.
在中，
连接AB1，在中，
，
从而
所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为
（III）解：因为平面A1B1C1，所以
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，
所以平面AA1B1B，故又
所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，
则
由得，延长EM交AB于点F，
可得连接NE.在中，
所以
可得连接BM，在中，
20 [解析] 函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝
＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0，当x充分大时，φ(x)>0，
∴要使φ(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需，
即7
21．解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立.
∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]．………………６分
法二:,用复合函数求值域．………………６分
法三:
用双勾函数求值域．………………６分
(2)值域[0,1]，在上的值域．
由条件,只须，∴．……………12分
的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）