2021-2022学年人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质课后练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质课后练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 343.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-13 00:30:09 | ||
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文档简介
2021——2022学年度人教版九年级数学下册 第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质课后练习
一、选择题
1．如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（ ）
A．周长扩大4倍，面积扩大2倍 B．周长扩大2倍，面积扩大4倍
C．周长扩大4倍，面积扩大4倍 D．周长扩大4倍，面积扩大16倍
2．下列有关相似三角形的性质，正确的是（ ）
A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为
B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为
C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为
D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为
3．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且相似比为1：2，则和的周长比为（ ）
A．1：4 B． C．2：1 D．1：2
5．若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
6．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
7．如图，平面直角坐标系中，，且，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
9．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
10．如图，菱形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（ ）
A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．且
二、填空题
11．已知，△ABC∽△A'B'C'，，△ABC的面积为45，则△A'B'C'的面积等于 _____．
12．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．
13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，则CD=_____．
15．如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是_______．
三、解答题
16．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．
17．在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、同时出发，用表示移动的时间．
（1）当为何值时，四边形的面积为；
（2）当为何值时，与相似．
18．如图，中，是斜边上的高，，，
（1）求证；
（2）求的长．
19．如图，在直角三角形ABC中，直角边，．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒．
（1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
20．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；
（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．
21．已知：如图，在中，
(1)求证
(2)如果，求的长．
22．（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝ ；∠BFD＝ ；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．
23．如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求证：∠PAC＝∠CAO；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问 的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．
【参考答案】
1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C
11．20
12．3
13．
14．6
15．12．
16．证明：∵AB∥DC，
∴△AOB∽△COE
∴
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB
∴
∴，即．
17．解：（1）由题意得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴
解得，．
当为或时四边形的面积为；
（2）①若时，，即，
整理，得，
解得；
②若时，，即，
解得．
∴当或时，与相似．
18．（1）在中∠ACB=90°，
∵是斜边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴在中有∠B=90°-∠A，在中有∠ACD=90°-∠A，
∴∠B=∠ACD，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．解：（1）∵直角边，，
∴由勾股定理可得，，
∴，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴BP=BQ，即5-t=t，解得秒，
∴当秒，是以为顶角的等腰三角形；
（2）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，
，即，解得：秒；
当△PBQ∽△CBA时，，即，解得：秒，
∴当或秒时，与直角三角形ABC相似．
20．解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10 t）cm，
∴N（0，2t），M（10 t，0）；
故答案为：（10 t，0）；（0，2t）；
（2）因为∠MON=∠AOB=90°
当=时，△MON∽△AOB
即=， 解得t=5
当=时，△MON∽△BOA
即=， 解得t=2
所以当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．
21．(1)证明：∵DE∥BC，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AFE=∠ADC，
∴EF∥CD；
(2)∵△AEF∽△ACD，，
∴ ，
∵ ，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=3．
22．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
∴＝1，
∵△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，
故答案为1，150°；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵AB＝AD，
∴＝，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，
∴tan∠DEF＝，
∴＝，
∴，
∵∠EDF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF∽△CDE，
∴，∠DAF＝∠DCE，
AD与CD的交点记作点O，
∵∠DCE+∠COD＝90°，
∴∠DAF+∠AOG＝90°，
∴∠AGC＝90°；
（3）如备用图，
连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，
∴AB＝AD＝，
根据勾股定理得，AC＝2，
由（2）知，，
∴AF＝CE，
设CE＝x．则AF＝x，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，
∴EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，
由（2）知，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（x﹣2）2+x2＝28，
∴x＝﹣（舍）或x＝2，
∴AF＝x＝6．
23．（1）连接MA，如图1，
∵PA是⊙M的切线，
∴AM⊥AP，
∴∠PAC+∠MAC＝90°，
∵MA＝MC，
∴∠MCA＝∠MAC，
∵∠OAC+∠MCA＝90°，
∴∠PAC＝∠OAC；
（2）如图1，∵∠AMO＝∠PMA，∠AOM＝∠PAM＝90°，
∴△AOM∽△PAM，
∴，
∴＝MO MP，
设AM＝R，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
在Rt△AOM中，
∵OA＝4，OM＝R﹣2，
由
得，，
解得R＝5，即AM＝5，
∴OM＝5﹣2＝3．
∴25＝3MP，
∴MP＝，
∴OP＝MP﹣OM＝﹣3＝，
∴点P的坐标为（0，）
（3）不变，等于．
连接MQ，如图2，
∵（已证），MA＝MQ，
∴．
∵∠QMO＝∠PMQ，
∴△MOQ∽△MQP，
∴，
∴不变，等于．
27.2.2 相似三角形的性质课后练习
一、选择题
1．如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（ ）
A．周长扩大4倍，面积扩大2倍 B．周长扩大2倍，面积扩大4倍
C．周长扩大4倍，面积扩大4倍 D．周长扩大4倍，面积扩大16倍
2．下列有关相似三角形的性质，正确的是（ ）
A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为
B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为
C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为
D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为
3．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且相似比为1：2，则和的周长比为（ ）
A．1：4 B． C．2：1 D．1：2
5．若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
6．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
7．如图，平面直角坐标系中，，且，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
9．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
10．如图，菱形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（ ）
A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．且
二、填空题
11．已知，△ABC∽△A'B'C'，，△ABC的面积为45，则△A'B'C'的面积等于 _____．
12．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．
13．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，则CD=_____．
15．如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是_______．
三、解答题
16．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．
17．在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、同时出发，用表示移动的时间．
（1）当为何值时，四边形的面积为；
（2）当为何值时，与相似．
18．如图，中，是斜边上的高，，，
（1）求证；
（2）求的长．
19．如图，在直角三角形ABC中，直角边，．设P，Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒．
（1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
20．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；
（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．
21．已知：如图，在中，
(1)求证
(2)如果，求的长．
22．（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝ ；∠BFD＝ ；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．
23．如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求证：∠PAC＝∠CAO；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问 的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．
【参考答案】
1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C
11．20
12．3
13．
14．6
15．12．
16．证明：∵AB∥DC，
∴△AOB∽△COE
∴
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB
∴
∴，即．
17．解：（1）由题意得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴
解得，．
当为或时四边形的面积为；
（2）①若时，，即，
整理，得，
解得；
②若时，，即，
解得．
∴当或时，与相似．
18．（1）在中∠ACB=90°，
∵是斜边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴在中有∠B=90°-∠A，在中有∠ACD=90°-∠A，
∴∠B=∠ACD，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．解：（1）∵直角边，，
∴由勾股定理可得，，
∴，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴BP=BQ，即5-t=t，解得秒，
∴当秒，是以为顶角的等腰三角形；
（2）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，
，即，解得：秒；
当△PBQ∽△CBA时，，即，解得：秒，
∴当或秒时，与直角三角形ABC相似．
20．解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10 t）cm，
∴N（0，2t），M（10 t，0）；
故答案为：（10 t，0）；（0，2t）；
（2）因为∠MON=∠AOB=90°
当=时，△MON∽△AOB
即=， 解得t=5
当=时，△MON∽△BOA
即=， 解得t=2
所以当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．
21．(1)证明：∵DE∥BC，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AFE=∠ADC，
∴EF∥CD；
(2)∵△AEF∽△ACD，，
∴ ，
∵ ，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=3．
22．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
∴＝1，
∵△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，
故答案为1，150°；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵AB＝AD，
∴＝，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，
∴tan∠DEF＝，
∴＝，
∴，
∵∠EDF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF∽△CDE，
∴，∠DAF＝∠DCE，
AD与CD的交点记作点O，
∵∠DCE+∠COD＝90°，
∴∠DAF+∠AOG＝90°，
∴∠AGC＝90°；
（3）如备用图，
连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，
∴AB＝AD＝，
根据勾股定理得，AC＝2，
由（2）知，，
∴AF＝CE，
设CE＝x．则AF＝x，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，
∴EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，
由（2）知，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（x﹣2）2+x2＝28，
∴x＝﹣（舍）或x＝2，
∴AF＝x＝6．
23．（1）连接MA，如图1，
∵PA是⊙M的切线，
∴AM⊥AP，
∴∠PAC+∠MAC＝90°，
∵MA＝MC，
∴∠MCA＝∠MAC，
∵∠OAC+∠MCA＝90°，
∴∠PAC＝∠OAC；
（2）如图1，∵∠AMO＝∠PMA，∠AOM＝∠PAM＝90°，
∴△AOM∽△PAM，
∴，
∴＝MO MP，
设AM＝R，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
在Rt△AOM中，
∵OA＝4，OM＝R﹣2，
由
得，，
解得R＝5，即AM＝5，
∴OM＝5﹣2＝3．
∴25＝3MP，
∴MP＝，
∴OP＝MP﹣OM＝﹣3＝，
∴点P的坐标为（0，）
（3）不变，等于．
连接MQ，如图2，
∵（已证），MA＝MQ，
∴．
∵∠QMO＝∠PMQ，
∴△MOQ∽△MQP，
∴，
∴不变，等于．