2021-2022学年人教版（五四制）数学八年级下册第24章勾股定理单元测试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版（五四制）数学八年级下册第24章勾股定理单元测试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 176.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-13 09:59:59 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教五四新版八年级下册数学《第24章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．四根小棒的长分别是5、9、12、13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中的直角三角形是（ ）
A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．，3，4 D．1，，3
5．下列4组数中能构成直角三角形的是（ ）
A．5，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．8，12，13
6．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2km B．3km C． km D．4km
7．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（ ）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
8．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
9．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
10．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（ ）
A．北偏西15° B．南偏西75°
C．南偏东15°或北偏西15° D．南偏西15°或北偏东15°
二．填空题
11．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是 度．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ ．
13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
14．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是 ．
15．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
16．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2＝c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 组成一组勾股数．
17．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10cm，则△ABC面积为 cm2．
18．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为 ．
19．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为 ．
20．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
三．解答题
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．
22．如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
25．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
26．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
27．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、52+92≠122，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、52+92≠132，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、92+122≠132，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣60°＝30°．
故选：D．
3．解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
4．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．解：A、∵52+242≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、∵0.32+0.42＝0.52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故此选项正确；
C、∵92+162≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、∵82+122≠132，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
6．解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km）．
故选：D．
7．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选：B．
8．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
9．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
10．解：如图所示，∠1＝75°，OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里），
AB＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△AOB是直角三角形，则∠AOB＝90°，
故∠2＝15°，同理可得：∠3＝15°，
则它的航行方向为南偏东15°或北偏西15°．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵一个锐角为50°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
12．解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝50°．
故答案是：50°．
13．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为8．
14．解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
15．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x＝；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x＝．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
16．解：由题意，
∵m＞n，解得m＝7，n＝6
∵72﹣62＝13，
∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．
故答案为：13．
17．解：△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10cm，
∴另外两边为10×＝6（cm），10×＝8（cm），
∵62+82＝102，
∴三角形是直角三角形，
∴△ABC面积为：×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
18．解：∵在直角三角形中，一个锐角为35°，
∴另一个锐角＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
19．解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+64＝x2
20．解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25．
∵152+202＝252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S＝×15×20＝150（cm2）．
故答案为：150cm2．
三．解答题
21．解：∵∠B＝3∠A，
∴∠A＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
解得∠B＝67.5°．
22．解：（1）∵DE＝12cm，S△ABE＝DE AB＝60cm2．
∴AB＝10cm；
（2）∵AC＝8cm，BC＝6cm，62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
由勾股定理逆定理得∠C＝90°．
23．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图（2），∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
24．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
25．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
26．解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
27．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
一．选择题
1．四根小棒的长分别是5、9、12、13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中的直角三角形是（ ）
A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．，3，4 D．1，，3
5．下列4组数中能构成直角三角形的是（ ）
A．5，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．8，12，13
6．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2km B．3km C． km D．4km
7．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（ ）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
8．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
9．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
10．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（ ）
A．北偏西15° B．南偏西75°
C．南偏东15°或北偏西15° D．南偏西15°或北偏东15°
二．填空题
11．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是 度．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ ．
13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
14．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是 ．
15．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
16．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2＝c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 组成一组勾股数．
17．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10cm，则△ABC面积为 cm2．
18．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为 ．
19．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为 ．
20．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
三．解答题
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．
22．如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．
24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
25．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
26．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
27．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、52+92≠122，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、52+92≠132，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、92+122≠132，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣60°＝30°．
故选：D．
3．解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
4．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．解：A、∵52+242≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、∵0.32+0.42＝0.52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故此选项正确；
C、∵92+162≠252，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、∵82+122≠132，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
6．解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km）．
故选：D．
7．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选：B．
8．解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
9．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
10．解：如图所示，∠1＝75°，OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里），
AB＝30海里，
∵182+242＝302，
∴△AOB是直角三角形，则∠AOB＝90°，
故∠2＝15°，同理可得：∠3＝15°，
则它的航行方向为南偏东15°或北偏西15°．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵一个锐角为50°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
12．解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝50°．
故答案是：50°．
13．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为8．
14．解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
15．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x＝；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x＝．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
16．解：由题意，
∵m＞n，解得m＝7，n＝6
∵72﹣62＝13，
∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．
故答案为：13．
17．解：△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10cm，
∴另外两边为10×＝6（cm），10×＝8（cm），
∵62+82＝102，
∴三角形是直角三角形，
∴△ABC面积为：×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
18．解：∵在直角三角形中，一个锐角为35°，
∴另一个锐角＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
19．解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+64＝x2
20．解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25．
∵152+202＝252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S＝×15×20＝150（cm2）．
故答案为：150cm2．
三．解答题
21．解：∵∠B＝3∠A，
∴∠A＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
解得∠B＝67.5°．
22．解：（1）∵DE＝12cm，S△ABE＝DE AB＝60cm2．
∴AB＝10cm；
（2）∵AC＝8cm，BC＝6cm，62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
由勾股定理逆定理得∠C＝90°．
23．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图（2），∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
24．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
25．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
26．解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
27．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．