2021-2022学年人教版（五四制）数学九年级下册第33章相似单元测试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版（五四制）数学九年级下册第33章相似单元测试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 351.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-13 10:00:02 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教五四新版九年级下册数学《第33章 相似》单元测试卷
一．选择题
1．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
4．下列判断正确的是（ ）
A．所有等腰三角形都相似 B．所有直角三角形都相似
C．所有菱形都相似 D．所有等边三角形都相似
5．若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
6．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
7．若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．80°
10．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
11．四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝70°，∠B′＝108°，∠C′＝92°，则∠D＝ 度．
12．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝ ．
13．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝ ．
14．如果，那么＝ ．
15．已知，则＝ ．
16．若＝，则的值等于 ．
17．已知线段a＝4，b＝8，则a、b的比例中项线段等于 ．
18．若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ．（保留根号）
19．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的面积是 ．若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ．
三．解答题
21．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．
22．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
23．已知＝＝，且a+b+c＝68．求a、b、c的值．
24．如图，已知线段AB上有两点M，N，满足AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，NM＝1.5，求AB的长．
25．已知a：b＝3：2，求：
（1）；
（2）的值．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD BC
（1）求证：△ABC∽△DBA；
（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）
27．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵，
∴设b＝3k，a＝2k，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．
故选：B．
3．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
4．解：A、所有等腰三角形都相似，错误，对应角不一定相等；
B、所有直角三角形都相似，错误，对应角不一定相等；
C、所有菱形都相似，错误，对应角不一定相等；
D、所有等边三角形都相似，正确．
故选：D．
5．解：∵＝，
∴b＝2a，
∴＝＝＝，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
7．解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6，
故选：A．
8．解：∵，
∴AB2＝2×（2﹣AB），
∴AB2+2AB﹣4＝0，
解得，AB1＝，AB2＝﹣﹣1（舍去），
故选：C．
9．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故选：C．
10．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
二．填空题
11．解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′
四边形ABCD的内角和是360°，
因而∠D＝360°﹣70°﹣108°﹣92°＝90°．
12．解：①AD与AC是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴＝，
即＝，
解得AE＝16；
②AD与AB是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴＝，
即＝，
解得AE＝9，
∴AE＝16或9．
故答案为：16或9．
13．解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：
∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，
∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
14．解：∵，
∴2y＝3（x﹣y），
整理，得3x＝5y，
∴＝．
故答案为．
15．解：由题意，设x＝3k，y＝5k，
∴＝＝．
故答案为：
16．解：∵＝，
∴＝＝．
故答案为：．
17．解：设a、b的比例中项为λ，
∵a＝4，b＝8，
∴λ2＝ab＝32，
∴λ＝±，
即a、b的比例中等于．
18．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×2＝﹣1．
故答案为﹣1．
19．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．
20．解：∵S四边形ABCD＝2×4﹣×1×2﹣×1×2﹣1×1﹣×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴S四边形EFGH：S四边形ABCD＝（）2＝（）2＝，
∴S四边形EFGH＝×＝．
故答案为：，．
三．解答题
21．解：∵b∥c，
∴，
∴OE＝EF＝，
∵a∥c，
∴，
∴DO＝OF＝×（+5）＝，
∴DE＝DO+OE＝+＝．
22．解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝5k，b＝7k，c＝8k，
代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，
解得k＝1，
所以，a＝5，b＝7，c＝8，
所以，2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝10+28﹣24＝14．
23．解：设＝＝＝k，则a＝9k，b＝11k，c＝14k，
∵a+b+c＝68，
∴9k+11k+14k＝68，
解得：k＝2，
则a＝18，b＝22，c＝28．
24．解：设AM＝5x，则MB＝11x，
∵AN：NB＝5：7，
∴AN＝AB＝x，
∴x﹣5x＝1.5，
解得x＝0.9，
∴AB＝16x＝16×0.9＝14.4．
∴AB长度为14.4．
25．解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k，
（1）＝＝；
（2）＝＝﹣1．
26．（1）证明：∵AB2＝BD BC，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA．
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°（等边对等角），
∵△ABC∽△DBA（已证）
∴∠BAD＝∠C＝36°（相似三角形的对应角相等）
∴∠CAD＝72°（角的和差定义）
∴∠CDA＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°（三角形内角和定理），
∴∠CAD＝∠ADC（等量代换）
∴CA＝CD（等角对等边）．
27．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
一．选择题
1．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
4．下列判断正确的是（ ）
A．所有等腰三角形都相似 B．所有直角三角形都相似
C．所有菱形都相似 D．所有等边三角形都相似
5．若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
6．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
7．若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．80°
10．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
11．四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝70°，∠B′＝108°，∠C′＝92°，则∠D＝ 度．
12．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝ ．
13．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝ ．
14．如果，那么＝ ．
15．已知，则＝ ．
16．若＝，则的值等于 ．
17．已知线段a＝4，b＝8，则a、b的比例中项线段等于 ．
18．若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ．（保留根号）
19．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的面积是 ．若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ．
三．解答题
21．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．
22．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
23．已知＝＝，且a+b+c＝68．求a、b、c的值．
24．如图，已知线段AB上有两点M，N，满足AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，NM＝1.5，求AB的长．
25．已知a：b＝3：2，求：
（1）；
（2）的值．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD BC
（1）求证：△ABC∽△DBA；
（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）
27．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵，
∴设b＝3k，a＝2k，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．
故选：B．
3．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
4．解：A、所有等腰三角形都相似，错误，对应角不一定相等；
B、所有直角三角形都相似，错误，对应角不一定相等；
C、所有菱形都相似，错误，对应角不一定相等；
D、所有等边三角形都相似，正确．
故选：D．
5．解：∵＝，
∴b＝2a，
∴＝＝＝，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
7．解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6，
故选：A．
8．解：∵，
∴AB2＝2×（2﹣AB），
∴AB2+2AB﹣4＝0，
解得，AB1＝，AB2＝﹣﹣1（舍去），
故选：C．
9．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故选：C．
10．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
二．填空题
11．解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′
四边形ABCD的内角和是360°，
因而∠D＝360°﹣70°﹣108°﹣92°＝90°．
12．解：①AD与AC是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴＝，
即＝，
解得AE＝16；
②AD与AB是对应边时，
∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，
∴＝，
即＝，
解得AE＝9，
∴AE＝16或9．
故答案为：16或9．
13．解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：
∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，
∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
14．解：∵，
∴2y＝3（x﹣y），
整理，得3x＝5y，
∴＝．
故答案为．
15．解：由题意，设x＝3k，y＝5k，
∴＝＝．
故答案为：
16．解：∵＝，
∴＝＝．
故答案为：．
17．解：设a、b的比例中项为λ，
∵a＝4，b＝8，
∴λ2＝ab＝32，
∴λ＝±，
即a、b的比例中等于．
18．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×2＝﹣1．
故答案为﹣1．
19．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．
20．解：∵S四边形ABCD＝2×4﹣×1×2﹣×1×2﹣1×1﹣×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴S四边形EFGH：S四边形ABCD＝（）2＝（）2＝，
∴S四边形EFGH＝×＝．
故答案为：，．
三．解答题
21．解：∵b∥c，
∴，
∴OE＝EF＝，
∵a∥c，
∴，
∴DO＝OF＝×（+5）＝，
∴DE＝DO+OE＝+＝．
22．解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝5k，b＝7k，c＝8k，
代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，
解得k＝1，
所以，a＝5，b＝7，c＝8，
所以，2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝10+28﹣24＝14．
23．解：设＝＝＝k，则a＝9k，b＝11k，c＝14k，
∵a+b+c＝68，
∴9k+11k+14k＝68，
解得：k＝2，
则a＝18，b＝22，c＝28．
24．解：设AM＝5x，则MB＝11x，
∵AN：NB＝5：7，
∴AN＝AB＝x，
∴x﹣5x＝1.5，
解得x＝0.9，
∴AB＝16x＝16×0.9＝14.4．
∴AB长度为14.4．
25．解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k，
（1）＝＝；
（2）＝＝﹣1．
26．（1）证明：∵AB2＝BD BC，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA．
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°（等边对等角），
∵△ABC∽△DBA（已证）
∴∠BAD＝∠C＝36°（相似三角形的对应角相等）
∴∠CAD＝72°（角的和差定义）
∴∠CDA＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°（三角形内角和定理），
∴∠CAD＝∠ADC（等量代换）
∴CA＝CD（等角对等边）．
27．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．