（满分卷）2021-2022学年浙教版数学八年级下学期开学考摸底卷（学生版+教师版）

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编者学科君小注：
本专辑专为2022年浙教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21世纪教育网版权所有
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21cnjy.com
（满分卷）2021-2022学年浙教版数学八年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝π，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长是（　　）www.21-cn-jy.com
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A．π B．2π C．π D．π
2．以方程组的解为坐标，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知关于x的一元二次方程与一元一次方程有一个公共的解，那么若一元二次方程有两个相等的实根，则（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．2 C． D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点落在一次函数的图象上，则a的值可以是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
7．已知点在直线上，且（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的不等式无解，则a的取值范围为（　　）
A．a<2 B．a>2 C．a≤2 D．a≥2
9．下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）21*cnjy*com
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A．3 B． C． D．6
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．计算（2﹣3）÷＝___．
12．已知点（a+1，2a+5）在y 轴上，则该点坐标为________．
13．关于x的不等式组恰好有3个整数解，那么m的取值范围是 _____．
14．课本第78页阅读材 ( http: / / www.21cnjy.com )料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是S1+S2=S3．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝9，S乙＝8，S丙＝7，则△ABC的面积是______ ． 【来源：21cnj*y.co*m】
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15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为________．【出处：21教育名师】
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16．如图，已知一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线上一点．当时，点C的坐标是__________．【版权所有：21教育】
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17．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A（0，2），交x轴于点B，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上且在第一象限一动点．若是等腰三角形，点P的坐标是______________．21教育网
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18．已知一次函数（m为常数），若其图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围为____．
三、解答题(共64分)
19．(本题6分)解不等式（组）：
(1)3x﹣2(2)．
20．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是三角形ABC的边AB上一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为．21教育名师原创作品
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（1）请画出经过上述平移后得到的三角形，并写出点，的坐标；
（2）求点到的距离．
21．(本题8分)如图1，已知线 ( http: / / www.21cnjy.com )段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：21*cnjy*com
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
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22．(本题8分)疫情期间，乐清市某医 ( http: / / www.21cnjy.com )药公司计划购进N95型和一次性成人口罩两种款式．若购进N95型10箱和一次性成人口罩20箱，需要32500元；若购进N95型30箱和一次性成人口罩40箱，需要87500元． 2·1·c·n·j·y
（1）N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为多少元？
（2）由于疫情严峻急需口罩，老板决定再 ( http: / / www.21cnjy.com )次购进N95型和一次性成人口罩共80箱，口罩工厂对两种产品进行了价格调整，N95型的每箱进价比第一次购进时提高了10%，一次性成人口罩的每箱进价按第一次进价的八折；如果药店此次用于购进N95型和一次性成人口罩两种型号的总费用不超过115000元，则最多可购进N95型多少箱？
（3）若销售一箱N95型，可获利5 ( http: / / www.21cnjy.com )00元；销售一箱一次性成人口罩，可获利100元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的口罩获得最大的利润？最大的利润是多少？
23．(本题8分)已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
24．(本题8分)如图，长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝　 s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
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25．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；
（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．
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26．(本题10分)如图，B为∠A ( http: / / www.21cnjy.com )边上一点，AB＝5．BC⊥AC，P为射线AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，直线DQ，BC交于点E，连结DP，设AP＝m．2-1-c-n-j-y
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(1)当点P在线段AC上时，若BC=4，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长．
(2)在（1）的条件下时，若AP=PD，求CP的长．
(3)连接PE，若∠A=60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，请画出示意图，求出m的值．
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卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21教育名师原创作品
（满分卷）2021-2022学年浙教版数学八年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝π，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长是（　　）
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A．π B．2π C．π D．π
【标准答案】A
【名师解析】
利用直角三角形30°的性质求出AB，证明△BCD是等边三角形求出CD，可得结论．
【过程详解】
解：如图，连接CD．
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∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝π，
∴∠B＝60°，
∵BC＝BD，
∴△CBD是等边三角形，
∴CD＝BC＝π
故选：A．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△CBD是等边三角形．
2．以方程组的解为坐标，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】A
【名师解析】
此题可解出的、的值，然后根据、的值可以判断出该点在何象限内．
【过程详解】
解：，
①②得，，
解得，．
把代入①得，，
解得．
，，根据各象限内点的坐标特点可知，
点在平面直角坐标系中的第一象限．
故选：A．
【名师指路】
此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：利用代入消元或加减消元求得方程组的解为，，第一象限横纵坐标都为正；第二象限横坐标为负；纵坐标为正；第三象限横纵坐标都为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负．
3．如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【名师解析】
设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时．
【过程详解】
解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=，
∴A(0，3)，B(，0)，
设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，
当p在第一象限时，
，
∴，解得t=（负值舍去），
∴2t+3=，
∴P(，)；
当p在第二象限时，
∴=，解得t= -，
∴2t+3=，
∴P(-，)；
当p在第三象限时，
，
∴=，解得t=（正值舍去），
∴2t+3=，
∴P(，)；
综上所述，P点的坐标共3个，
故选C．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．
4．已知关于x的一元二次方程与一元一次方程有一个公共的解，那么若一元二次方程有两个相等的实根，则（ ）
A． B．2 C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
先解方程3x-6=0得x1=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，则一元二次方程（x-x1）（x-x2）-（3x-6）=0变形为（x-2）（x-x2）-3x+6=0，整理得x2-（x2+5）x+2x2+6=0，利用判别式的意义得到Δ=0，然后解关于x2的方程即可．
【过程详解】
解：∵解方程3x-6=0得x=2，
∴x1=2，
∵一元二次方程（x-x1）（x-x2）-（3x-6）=0变形为（x-2）（x-x2）-3x+6=0，21*cnjy*com
整理得x2-（x2+5）x+2x2+6=0，
∴Δ=（x2+5）2-4（2x2+6）=0，
解得x2=-1．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax ( http: / / www.21cnjy.com )2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
分别计算出各选项的结果再进行判断即可得到答案.
【过程详解】
A. ，故原选项错误；
B. ，正确；
C. ，故原选项错误；
D. ，故原选项错误．
故选B．
【名师指路】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
6．已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点落在一次函数的图象上，则a的值可以是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
由点和点关于轴对称，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【过程详解】
解：点和点关于轴对称，
点的坐标为．
又点在直线上，
，
．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
7．已知点在直线上，且（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【过程详解】
解：点在直线上，
，
将上式代入中，
得：，
解得：，
由，得：，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【名师指路】
本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况．
8．已知关于x的不等式无解，则a的取值范围为（　　）
A．a<2 B．a>2 C．a≤2 D．a≥2
【标准答案】B
【名师解析】
先整理不等式组，根据无解的条件列出不等式，求出a的取值范围即可．
【过程详解】
解：整理不等式组得：，
∵不等式组无解，
∴2．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了不等式组无解的条件，根据整理出的不等式组和无解的条件列出关于a的不等式是解答本题的关键．
9．下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论解答即可．
【过程详解】
解：150°是钝角，60°是锐角，150°-60°=90°，90°是直角不是锐角，所以一个钝角与一个锐角的差是锐角的反例是，
故选D．
【名师指路】
本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题 ( http: / / www.21cnjy.com )．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【来源：21·世纪·教育·网】
10．如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）
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A．3 B． C． D．6
【标准答案】C
【名师解析】
根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．
【过程详解】
如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，
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连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为，
故选C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．计算（2﹣3）÷＝___．
【标准答案】﹣1
【名师解析】
直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【过程详解】
解：（2﹣3）÷
＝（8－9）÷
＝﹣÷
＝﹣1
故答案为：﹣1
【名师指路】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．已知点（a+1，2a+5）在y 轴上，则该点坐标为________．
【标准答案】（0,3）
【名师解析】
由点在y轴上求出a的值，代入求出2a+5即可得到点坐标．
【过程详解】
解：由题意得a+1=0，
得a=-1，
∴2a+5=3，
∴该点坐标为（0,3），
故答案为：（0,3）．
【名师指路】
此题考查了y轴上点坐标的特点，熟记坐标轴上点的坐标特点进行计算是解题的关键．
13．关于x的不等式组恰好有3个整数解，那么m的取值范围是 _____．
【标准答案】1≤m＜2
【名师解析】
表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好有3个整数解，确定出的范围即可．
【过程详解】
解：不等式组整理得，
关于的不等式组恰好有3个整数解，
整数解为0，1，2，
，
解得：．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法．
14．课本第78页阅读材料《从 ( http: / / www.21cnjy.com )勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是S1+S2=S3．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝9，S乙＝8，S丙＝7，则△ABC的面积是______ ． 21世纪教育网版权所有
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【标准答案】10
【名师解析】
设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，则S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，化简代入数值求解即可．21教育网
【过程详解】
解：设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，
∴S甲+S乙=S丙+S，
∴S=S甲+S乙-S丙=9+8-7=10．
故答案为：10．
【名师指路】
本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出面积之间的关系是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为________．
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【标准答案】9
【名师解析】
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求得．
【过程详解】
解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，
∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，
∵△ABC的面积等于36，
∴，
，，
∴，
∴，
故答案为：9．
【名师指路】
本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题关键．．
16．如图，已知一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线上一点．当时，点C的坐标是__________．
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【标准答案】（-1，3）或（3，1）
【名师解析】
求出点A和点B坐标，过点O作OE⊥AB交于点E，利用面积法求出OE的长，再根据∠OCB=45°，得到OC的长，设C（x，），得到关于x的方程，解之，可得点C坐标．
【过程详解】
解：由题意可得：令，得x=5，即A（5，0），
令x=0，得：y=，即B（0，），
过点O作OE⊥AB交于点E，
则AB=，OA=5，OB=，
∴S△AOB=，即，
即，得OE=，
若∠OCB=45°，则△OEC为等腰直角三角形，
∴OC=OE，
设C（x，），
则OC===OE=，
解得：，，
当x=-1时，y=3，此时C（-1，3），
当x=3时，y=1，此时C（3，1），
综上：点C的坐标为（-1，3）或（3，1）．
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【名师指路】
本题考查了一次函数的图像和 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，面积法，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用坐标与图形的性质，将坐标和线段长度进行转化．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A（0，2），交x轴于点B，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上且在第一象限一动点．若是等腰三角形，点P的坐标是______________．
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【标准答案】，，，
【名师解析】
利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①，②，③，依据题意画出图形，利用勾股定理和轴对称的性质解答即可得出结论．
【过程详解】
交轴于点，
．
．
令，则，
．
．
直线垂直平分交于点，交轴于点，
，点的横坐标为1．
．
①时，如图，
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过点作交轴于点，则，
，
．
．
，
．
．
同理，．
②当时，如图，
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点在的垂直平分线上，
点的纵坐标为1，
．
③当时，则，如图，
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，
．
综上，若是等腰三角形，点的坐标是或或或．
故答案为：或或或．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．21·cn·jy·com
18．已知一次函数（m为常数），若其图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围为____．
【标准答案】
【名师解析】
根据一次函数的性质列出关于m的不等式组求解．
【过程详解】
解：由一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得，m＞．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
三、解答题(共64分)
19．(本题6分)解不等式（组）：
(1)3x﹣2(2)．
【标准答案】(1)x<6
(2)﹣2【名师解析】
（1）根据解不等式的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算．
（2）分别解出不等式的解集，然后找出公共部分．
(1)
解： 3x﹣2移项得，3x﹣x<10+2，
合并同类项得，2x<12，
系数化为1得，x<6．
(2)
，
解不等式①得，x>﹣2，
解不等式②得，x≤1，
所以原不等式的解集为：﹣2【名师指路】
本题考查的是解一元一次不等式，以 ( http: / / www.21cnjy.com )及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，“熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是三角形ABC的边AB上一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）请画出经过上述平移后得到的三角形，并写出点，的坐标；
（2）求点到的距离．
【标准答案】（1）图见解析，；；（2）
【名师解析】
（1）利用平移变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）设点A1到B1C1的距离为h．利用面积法构建方程求解即可．
【过程详解】
（1）∵P（a，b）平移后的对应点是
∴平移规则是向左移动2个单位长度，再向上移动5个单位长度
∵A(1,-1),B（0，-5），C（4，-1）
∴；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由图形可知
设点A1到B1C1的距离为h．
∵
∴
即设点A1到B1C1的距离为．
【名师指路】
本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法解决求线段问题．【来源：21cnj*y.co*m】
21．(本题8分)如图1，已知线段AB、C ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
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【标准答案】（1）；（2）6；（3）；（4）2∠P＝∠D＋∠B
【名师解析】
（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由交点有点M、O、N，再分类确定即可得到答案；
（3）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得：再把代入计算即可得到答案；
（4）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得：
【过程详解】
解：（1）
故答案为：
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
又∵
∴
∴
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B
由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
【名师指路】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键.
22．(本题8分)疫情期间， ( http: / / www.21cnjy.com )乐清市某医药公司计划购进N95型和一次性成人口罩两种款式．若购进N95型10箱和一次性成人口罩20箱，需要32500元；若购进N95型30箱和一次性成人口罩40箱，需要87500元．
（1）N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为多少元？
（2）由于疫情严峻急需口罩， ( http: / / www.21cnjy.com )老板决定再次购进N95型和一次性成人口罩共80箱，口罩工厂对两种产品进行了价格调整，N95型的每箱进价比第一次购进时提高了10%，一次性成人口罩的每箱进价按第一次进价的八折；如果药店此次用于购进N95型和一次性成人口罩两种型号的总费用不超过115000元，则最多可购进N95型多少箱？
（3）若销售一箱N95型，可获利5 ( http: / / www.21cnjy.com )00元；销售一箱一次性成人口罩，可获利100元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的口罩获得最大的利润？最大的利润是多少？
【标准答案】（1）N95 ( http: / / www.21cnjy.com )型和一次性成人口罩每箱进价分别为2250元、500元；（2）最多可购进N95型40箱；（3）采购N95型40个，一次性成人口罩40个可获得最利润为24000元．
【名师解析】
（1）设N95型每箱进价x元，一次性成人口罩每箱进价y元，依题意得10x+20y=32500，30x+40y=87500，联立求解即可；
（2）设购进N95型a箱，依题意得：225 ( http: / / www.21cnjy.com )0×(1+10%)a+500×80%×(80-a)≤115000，求出a的范围，结合a为正整数可得a的最大值；
（3）设购进的口罩获得最大的利润为w，依题意得：w＝500a+100(80-a)，然后对其进行化简，结合一次函数的性质进行解答．
【过程详解】
（1）解：设N95型每箱进价x元，一次性成人口罩每箱进价y元，依题意得：
，解得： ，
答：N95型和一次性成人口罩每箱进价分别为2250元、500元．
（2）解：设购进N95型a箱，则一次性成人口罩为（80﹣a）套，依题意得：
．
解得：a≤40．∵a取正整数，0＜a≤40．
∴a的最大值为40．
答：最多可购进N95型40箱．
（3）解：设购进的口罩获得最大的利润为w，
则依题意得：w＝500a+100（80﹣a）＝400a+8000，
又∵0＜a≤40，∴w随a的增大而增大，
∴当a＝40时，W＝400×40+8000＝24000元．
即采购N95型40个，一次性成人口罩40个可获得最利润为24000元．
答：最大利润为24000元．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
23．(本题8分)已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
【标准答案】17
【名师解析】
由二次根式有意义的条件可得，解不等式可得a的值，进而可得b的值，然后再分两种情况进行计算即可．
【过程详解】
解：由题意得：，
解得：a=3，
则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
【名师指路】
本题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的性质，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
24．(本题8分)如图，长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝　 s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．
【名师解析】
（1）当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时， ( http: / / www.21cnjy.com )如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【过程详解】
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，
∴AB＝6﹣2＝4（cm）．
∴S＝（cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），
∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝9，
解得：t＝．
如图2，作PE⊥CD于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，
∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4＝9，
解得：t＝．
综上所述：t＝或；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝，
解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝或或或．
故答案为：或或或．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．21cnjy.com
25．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．www-2-1-cnjy-com
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；
（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）y=-x+6，（5，1）；（2）6-3或3；（3）0＜m≤3或≤m＜5或5＜m≤6
【名师解析】
（1）先求出A的坐标，再利用待定系数法求直线AB的解析式，进而求出C的坐标；
（2）由∠AEP=135 ( http: / / www.21cnjy.com )°，可知当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，只能AE=PE，再分两种情况：①当点E在AO边上时，当点E在AB边上时，分别求解即可；2-1-c-n-j-y
（3）分3种情况分别画出图形：①如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，当点E在OA边上时，②当点E在线段AC上时，且点G恰好在AO上时，③当点E在线段BC上（不包括点C）时，即可求解．【出处：21教育名师】
【过程详解】
解：（1）∵等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），
∴A（3，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
联立，解得：，
∴点C的坐标为：（5，1）；
（2）∵PE⊥OB，∠AOP=∠ABP=45°，
∴∠AEP=135°，
∴当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，只能AE=PE，
①当点E在AO边上时，OP=PE=m，OE=，
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∵AO=OB÷=6÷=3，
∴AE=3-，
∴3-=m，解得：m=6-3；
②当点E在AB边上时，BP=PE=6-m，BE=，AE=3-，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴6-m =3-，解得：m=3，
综上所述：m=6-3或3；
（3）①如图，当点E在OA边上时，∠OEP=45°，∠GFE=45°，即∠OEP=∠GFE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴此时，△EFG与△AOB的重叠部分的图形是等腰直角三角形，是轴对称图形，
∴0＜m≤3，
②如图，当点E在线段AC上时，且点G恰好在AO上时，
则BE=BP=(6-m)，
AE=3-(6-m)，GE=AE=6-2(6-m)=2m-6，
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又∵PF=，GE=EF=PE-PF=6-m-=6-，
∴2m-6=6-，解得：m=，
∴当点E和点C重合时，m=5，
∴≤m＜5时，△EFG与△AOB的重叠部分的图形是等腰直角三角形，是轴对称图形，
③如图，当点E在线段BC上（不包括点C）时，△EFG与△AOB的重叠部分的图形是等腰直角三角形，是轴对称图形，此时，5＜m≤6，www.21-cn-jy.com
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综上所述：0＜m≤3或≤m＜5或5＜m≤6．
【名师指路】
本题主要考查一次函数与几何综合，掌握等腰直角三角形的性质和判定，一次函数的性质，分类讨论画出图形，是解题的关键．
26．(本题10分)如图，B为∠A边上一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，AB＝5．BC⊥AC，P为射线AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，直线DQ，BC交于点E，连结DP，设AP＝m．
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(1)当点P在线段AC上时，若BC=4，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长．
(2)在（1）的条件下时，若AP=PD，求CP的长．
(3)连接PE，若∠A=60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，请画出示意图，求出m的值．
【标准答案】(1)3；6-2m；
(2)1；
(3)图见解析；1．
【名师解析】
（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ=2PC，可得结论；
（2）证明PA=PQ，构建方程求出m即可．
（3）证明DE=EQ，设DE=EQ=x，根据勾股定理，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．
(1)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=48，
∴AC==3，
∵P，Q关于BC对称，
∴PC=CQ=3-m，
∴PQ=2PC=6-2m；
(2)
当AP=PD时，∠A=∠PDA，
∵QD⊥AB，
∴∠ADQ=90°，
∴∠PDQ+∠ADP=90°，∠AQD+∠A=90°，
∴∠AQD=∠PDQ，
∴PD=PQ，
∴PA=PQ，
∴m=6-2m，
∴m=2，
∴CP=AC-AP=3-2=1；
(3)
∵CP=CQ，
∴S△PEC=S△ECQ，
∵S△PDE=2S△PEC，
∴S△PDE=S△PEQ，
∴DE=QE，
设DE=EQ=x，
∵∠A=60°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴BE=2x，AC=，
∵∠ADQ=90°，
∴∠AQD=90°-60°=30°，
∴EC=EQ=x，
∴BC=2x+x=，
在Rt△ABC中，
AB =AC +BC 即，
解得x=，
∴DQ=2x=2，CQ=PC==，
∵AQ=AC+CQ==4，
∴m=AP=AQ-PQ=4-3=1．
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【名师指路】
本题考查了轴对称的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21*cnjy*com
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