中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年浙教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21世纪教育网版权所有
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。www.21-cn-jy.com
（培优卷）2021-2022学年浙教版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．经过某十字路口的汽车，可能直行 ( http: / / www.21cnjy.com )，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个角的余角比它的补角的多，设这个角为，下列关于的方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．无法确定 B． C．1 D．2
6．下列因式分解正确的是（ ）．A． B．
C． D．
7．2021年10月16日， ( http: / / www.21cnjy.com )中国神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在中国酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，截至2021年11月2日，“神舟十三号”载人飞船已在轨飞行18天，距离地球约63800000千米，用科学记数法表示63800000为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，于点，把以点为中心顺时针旋转一定角度后，得到，已知点在上，连接．若，，则的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．140° B．155° C．145° D．135°
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，，轴，二次函数的图象经过中点．若点，，则（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
二、填空题(共12分)
11．若|m|＝2021，则m＝______．
12．在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1＋f2＋…＋fk＝n），那么这n个数的平均数也叫做x1，x2，…，xk这k个数的___________，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的___________．【来源：21·世纪·教育·网】
13．如图，∠ABC=30°，AB=6，动 ( http: / / www.21cnjy.com )点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．已知，，则________．
15．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．如图所示，锐角△ABC中，D，E分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题(共68分)
17．(本题6分)（1）计算：．
（2）解不等式组：．
18．(本题6分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；
（2）此三角形的面积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．(本题6分)疫苗接种 ( http: / / www.21cnjy.com )，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）乙地每天接种的人数为____万人，a的值为____；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；
（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？
20．(本题8分)我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
21．(本题8分)“双减”政策实施以来，我 ( http: / / www.21cnjy.com )校积极探寻更为合理的学生评价方案．班主任石老师对班级学生的学习生活等采取的是量化积分制．下面统计的是博学组和笃行组连续八周的量化积分，并将得到的数据制成如下的统计表：【版权所有：21教育】
量化积分统计表（单位：分）
周次组别 一 二 三 四 五 六 七 八
博学组 12 14 16 14 14 13 15 14
笃行组 13 11 15 17 16 18 13 9
(1)请根据表中的数据完成下表
平均数 中位数 众数 方差
博学组 14 14
笃行组 14 8.25
(2)根据量化积分统计表中的数据，请在下图中画出笃行组量化积分的折线统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)根据折线统计图中的信息，请你对这两个小组连续八周的学习生活情况作出一条简要评价．
22．(本题10分)如图1，在平而直角坐标系中，抛物线（、、为常数，）的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点；是否存在点，使得取得最大值，若存在请求出它的最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由；21教育网
(3)如图2，若点是抛物线上另一动点，且满足，请直接写出点的坐标．
23．(本题12分)已知：如图①，AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，延长BO交AC于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：∠BAC＝2∠ABE；
(2)若△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的度数；
(3)如图②，若弦BC垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )半径OD，连接DE交BC于点F，DF＝a，EF＝k DF，S△BEF＝1，M、N、P分别为直线BD、BF、DF上的三个动点，求△MNP周长的最小值．21cnjy.com
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知、、、，以为边在下方作正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求直线的解析式；
(2)点为正方形边上一点，若，求的坐标；
(3)点为正方形边上一点，为轴上一点，若点绕点按顺时针方向旋转后落在线段上，请直接写出的取值范围．21·cn·jy·com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年浙教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21教育网
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。【来源：21·世纪·教育·网】
（培优卷）2021-2022学年浙教版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题2分，共20分)
1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．
【过程详解】
解：由数轴可得：
b＜0＜1＜a，
则原式=a-b．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．
2．下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
利用绝对值的代数意义化简，去括号得到结果，即可判断．
【过程详解】
解：A、变形错误，不符合题意；
B、变形错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、变形错误，不符合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了整式的加减，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
3．经过某十字路口的汽车，可 ( http: / / www.21cnjy.com )能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
可以采用列表法或树状图求解：可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．【版权所有：21教育】
【过程详解】
画“树形图”如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选Ｃ．
【名师指路】
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解
4．一个角的余角比它的补角的多，设这个角为，下列关于的方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
【过程详解】
解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，
依题意得：，
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用，解题的关键是能准确地从题中找出各个量之间的数量关系，列出方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为，互为补角的两角的和为．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．无法确定 B． C．1 D．2
【标准答案】C
【名师解析】
如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【过程详解】
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，尺规作图作角平分线，掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．下列因式分解正确的是（ ）．A． B．
C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
根据完全平方公式和平方差公式以及提公因式法分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【过程详解】
解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式要彻底．
7．2021年10月16日，中国 ( http: / / www.21cnjy.com )神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在中国酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，截至2021年11月2日，“神舟十三号”载人飞船已在轨飞行18天，距离地球约63800000千米，用科学记数法表示63800000为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要把原数变成a，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值大于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数．
【过程详解】
故选：B
【名师指路】
本题考查了科学记数法的表示方法；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，熟练地掌握科学记数法的表示方法是解本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【过程详解】
解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×3＝3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：B
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．
9．如图，在平行四边形中，于点，把以点为中心顺时针旋转一定角度后，得到，已知点在上，连接．若，，则的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．140° B．155° C．145° D．135°
【标准答案】C
【名师解析】
根据题意求出∠ADF，根据平行四边形的性质求出∠ABC、∠BAE，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．21*cnjy*com
【过程详解】
解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，
∴∠ADF=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，
∴∠BFD=125°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=20°，
由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，
∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，
故选：C．
【名师指路】
本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，，轴，二次函数的图象经过中点．若点，，则（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
在Rt△AOC中，根据勾股定理，然后证明△ACB∽△COA，得出，根据点D为AB中点，求出点D（5，4），根据二次函数的图象经过中点．点D坐标代入解析式解方程即可．
【过程详解】
解：点，，
∴CO=2，AO=4，
在Rt△AOC中，，
∵，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠ACB=90°=∠AOC，
∴△ACB∽△COA，
∴，即，
∴，
∵点D为AB中点，
∴AD=，
∴点D（5，4），
∵二次函数的图象经过中点．
∴，
解得．
故选D．
【名师指路】
本题考查勾股定理，待定系数法求而 ( http: / / www.21cnjy.com )出函数解析式，三角形相似判定与性质，线段中点，平行线性质，图形与坐标，掌握勾股定理，待定系数法求而出函数解析式，三角形相似判定与性质，线段中点，平行线性质，图形与坐标是解题关键．www.21-cn-jy.com
二、填空题(共12分)
11．若|m|＝2021，则m＝______．
【标准答案】±2021
【名师解析】
根据绝对值的意义可直接进行求解．
【过程详解】
解：因为|m|=2021，
所以m=±2021．
故答案为：±2021．
【名师指路】
本题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12．在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1＋f2＋…＋fk＝n），那么这n个数的平均数也叫做x1，x2，…，xk这k个数的___________，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的___________．
【标准答案】 加权平均数 权
略
13．如图，∠ABC=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【名师解析】
过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【过程详解】
解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，
∴BD=DA=AB=3，
∵∠ABC=30°，
∴BP=2PD，即BP=PD，
∵BP2-PD2=BD2，
∴BP2-BP2=32，
解得：BP=，
∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，
∴t的值为秒，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．已知，，则________．
【标准答案】-3
【名师解析】
将多项式因式分解后，整体代入即可．
【过程详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：-3．
【名师指路】
本题主要考查了提取公因式法分解因式，代数式求值，正确提取公因式是解题关键．
15．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2或或0
【名师解析】
当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．
【过程详解】
解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0．
当y=-1时，有-1=-x2+1，x=．
故答案是：2或或0．
【名师指路】
本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标．
16．如图所示，锐角△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】96°或96度
【名师解析】
根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行分析解答．
【过程详解】
解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，
∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=42°，
∴∠C′DB=∠BAC′+AC′D=42°+α，∠CEB′=42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=42°+α，∠ACB=∠CEB′=42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即126°+α+β=180°．
则α+β=54°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=42°+α+β=42°+54°=96°．
故答案为：96°．
【名师指路】
本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理．21教育名师原创作品
三、解答题(共68分)
17．(本题6分)（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【标准答案】（1）；（2）．
【名师解析】
（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到，再解出②，得到，由大小小大中间取得到解集．
【过程详解】
解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
【名师指路】
本题主要考查了整式的混合运算和解不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
18．(本题6分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；
（2）此三角形的面积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）画图见解析；（2）
【名师解析】
（1）利用勾股定理在网格中确定再顺次连接即可；
（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可.
【过程详解】
解：（1）如图，即为所求作的三角形，
其中：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.21世纪教育网版权所有
19．(本题6分)疫苗接种，利国利民． ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务．在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）间的关系如图所示．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）乙地每天接种的人数为____万人，a的值为____；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y与x之间的函数表达式；
（3）当甲地接种速度放缓后，完成接种任务之前，何时与乙地接种人数相同？相同人数是多少？
【标准答案】（1）0.5，40；（2）；（3）当第60天时，与乙地接种人数相同，相同人数是30万人
【名师解析】
（1）由接种速度接种人数接种天数求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出乙地图象的解析式，在令两者相等，求出即可解决该题．
【过程详解】
解：（1）乙地接种速度为（万人天），
，
解得，
故答案是：，；
（2）设，将，代入解析式得：
，
解得，
；
（3）设乙地接种图象的解析式为：，
将代入解析式得：，
，
，
当，
解得：，
把代入得，
当第60天时，与乙地接种人数相同，相同人数是30万人．
【名师指路】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解函数解析式．
20．(本题8分)我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
【标准答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【名师解析】
（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．www-2-1-cnjy-com
【过程详解】
解：（1）∵B为中点，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点B作于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．
【名师指路】
此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．【出处：21教育名师】
21．(本题8分)“双减”政策实 ( http: / / www.21cnjy.com )施以来，我校积极探寻更为合理的学生评价方案．班主任石老师对班级学生的学习生活等采取的是量化积分制．下面统计的是博学组和笃行组连续八周的量化积分，并将得到的数据制成如下的统计表：
量化积分统计表（单位：分）
周次组别 一 二 三 四 五 六 七 八
博学组 12 14 16 14 14 13 15 14
笃行组 13 11 15 17 16 18 13 9
(1)请根据表中的数据完成下表
平均数 中位数 众数 方差
博学组 14 14
笃行组 14 8.25
(2)根据量化积分统计表中的数据，请在下图中画出笃行组量化积分的折线统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)根据折线统计图中的信息，请你对这两个小组连续八周的学习生活情况作出一条简要评价．
【标准答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)博学组的学生学习生活更好
【名师解析】
（1）根据平均数，中位数，众数，方差的定义求解即可；
（2）根据题目所给数据画出对应的折线统计图即可；
（3）可从众数和方差的角度作评价即可．
(1)
解：由题意得博学组的平均数，
∴博学组的方差
把笃行组的积分从小到大排列为：9、11、13、13、15、16、17、18，
∴笃行组的中位数，
∵笃行组中13出现的次数最多，
∴笃行组的众数为13，
∴填表如下：
平均数 中位数 众数 方差
博学组 14 14 14 1.25
笃行组 14 14 13 8.25
(2)
解：如图所示，即为所求；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
解：由（1）可知，博学组和笃行组的平均数和中位数都相同，但是博学组的众数大于笃行组的众数，博学组的方差小于笃行组的方差，21cnjy.com
∴可知博学组的学生学习生活更好．
【名师指路】
本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，画折线统计图，用方差和众数作出评价等等，熟知相关知识是解题的关键．
22．(本题10分)如图1，在平而直角坐标系中，抛物线（、、为常数，）的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点；是否存在点，使得取得最大值，若存在请求出它的最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点是抛物线上另一动点，且满足，请直接写出点的坐标．
【标准答案】(1)
(2)；
(3)
【名师解析】
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点作于点，求得，直线的解析式为，设，点在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及的值，进而求得的坐标；
（3）取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标．
(1)
解：抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、两点，与轴交于点，
设抛物线的解析式为，将点代入得
解得
抛物线的解析式为
即
(2)
解：如图，过点作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设直线的解析式为，将点，
代入得：
解得
直线的解析式为
，
是等腰直角三角形
轴，
轴
在中，
在直线上方的抛物线上有一动点，设
点在直线上，则
，
即当时，的最大值为：
此时
即
(3)
如图，取点，连接，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
又
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为，过点
解得
直线的解析式为
是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则
解得，
【名师指路】
本题考查了二次函数综合，一次函数的平移问题，二次函数最值问题，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
23．(本题12分)已知：如图①，AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，延长BO交AC于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：∠BAC＝2∠ABE；
(2)若△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的度数；
(3)如图②，若弦BC垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分半径OD，连接DE交BC于点F，DF＝a，EF＝k DF，S△BEF＝1，M、N、P分别为直线BD、BF、DF上的三个动点，求△MNP周长的最小值．
【标准答案】(1)见解析
(2)72°或67.5°
(3)
【名师解析】
（1）连接OC，根据A是的中点，得出AB=AC，∠AOC=∠AOB，再利用△AOB≌△AOC，得出结论；
（2）分两种情况讨论：当BC=BE时和当BC=BE时，解答即可；
（3）作P点关于BF，BD的对称点，，连接B，B，M，N，判断当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP周长最小为的长，利用轴对称的性质求解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)
连接OC，
∵A是的中点，
∴，
∴AB=AC，∠AOC=∠AOB，
∵OA=OA，OB=OC，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠OAB=∠OAC，
∵OA=OB，
ABO=∠OAB，
∴∠BAC=∠2∠ABO；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
设∠OBA=x，则∠BAC=2x，∠ACB=90°-x，∠BEC=3x，
当BC=BE时，∠BEC=∠ACB，即3x=90°-x，
∴x=22.5°，
∴∠BCE=90°-22.5°=67.5°；
当BC=EC时，∠CBE=∠BEC=3x，则∠BCE=∠CBE+∠OBA=4x=∠ABC，
∴3x+3x+4x=180°，
∴x=18°，∠BCE=70°；
BE≠EC，
∴当∠BCE=72°或67.5°时，△BEC是等腰三角形；
(3)
设OD与BC交于H，过点E作EG⊥AD于点G，设⊙O的半径为r，
∵弦BC垂直平分半径OD，
∴OB=BD，OH=DH=，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBH=∠DBH=∠CAD=30°，
∴BH==，
∵AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，
∴AD⊥BC，BH=CH，
∴∠BAC=2∠CAD=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵EG⊥AD，AD⊥BC，
∴GE∥BC，
∴∠AEG=∠ACB=60°，∠OBH=∠OEG=30°，
∴∠AEO=∠AEG+∠GEO=90°，OE=OA=，
OG=OE·sin30°=，GE==，
∵GE∥BC，
∴△DHF∽△DGE，
∴，
∴，解得HF=，
∴，
∴k=，
∵S△BEF＝1，
∴，即，解得：r =，
∴=，
设B点到DE的距离为d，
在Rt△DEG中，
DE==，
∴，
∴d=，
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图2，作P点关于BF，BD的对称点，，连接B，B，M，N，
则，，，
∴PM+PN+MN=，
当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP周长最小为的长，
∵∠DBF=30°，
∴∠，
∴△是等边三角形，
∴最短时，是点B到DE的最短距离d，
∴△MNP周长的最小值为d==，
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称-最短路径问题及勾股定理的应用，关键是根据轴对称的性质判断当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP的周长最小．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知、、、，以为边在下方作正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求直线的解析式；
(2)点为正方形边上一点，若，求的坐标；
(3)点为正方形边上一点，为轴上一点，若点绕点按顺时针方向旋转后落在线段上，请直接写出的取值范围．21·cn·jy·com
【标准答案】(1)
(2)，，，
(3)或
【名师解析】
（1）待定系数法求直线解析式，代入坐标、得出，解方程组即可；
（1）根据OA=2，OB=4，设点P在y轴上,点P坐标为（0，m），根据S△ABP=8，求出点P（0，4）或（0，-12），过P（0，4）作AB的平行线交正方形CDEF边两点N1和N2，利用平行线性质求出与AB平行过点P的解析式，与CD，FE的交点，过点P（0，-12）作AB的平行线交正方形CDEF边两点N3和N4，利用平行线性质求出与AB平行过点P的解析式，求出与DE，EF的交点即可；
（3）：根据点N在正方形边上，分四种情况①在上，过N′作GN′⊥y轴于G，正方形边CD与y轴交于H，在y轴正半轴上，先证△HNM1≌△GM1N′（AAS），求出点N′（6-m，m-6）在线段AB上，代入解析式直线的解析式得出，当点N旋转与点B重合，可得M2N′=NM2-OB=6-4=2②在上，当点N绕点M3旋转与点A重合，先证△HNM3≌△GM3N′（AAS），DH=M3G=6-2=4，HM3=GN′=2，③在上，当点N与点F重合绕点M4旋转到AB上N′先证△M5NM3≌△GM3N′（AAS），得出点N′（-6-m,m+6），点N′在线段AB上，直线的解析式，得出方程，，当点N绕点M5旋转点N′与点A重合，证明△FM3N≌△OM5N′（AAS），可得FM5=M5O=6，FN=ON′=2，④在上,点N绕点M6旋转点N′与点B重合，MN=MB=2即可．
(1)
解：设，代入坐标、得：
，
，
∴直线的解析式；
(2)
解：∵、、OA=2，OB=4，设点P在y轴上,点P坐标为（0，m）
∵S△ABP=8，
∴,
∴，
解得，
∴点P（0，4）或（0，-12），
过P（0，4）作AB的平行线交正方形CDEF边两点N1和N2，
设解析式为，m=2，n=4，
∴，
当y=6时，，
解得，
当y=-6时，，
解得，
，，
过点P（0，-12）作AB的平行线交正方形CDEF边两点N3和N4，
设解析式为，
，
当y=-6, ，
解得：，
当x=6, ，
解得，
，
∴，的坐标为或或或，
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
解：①在上，过N′作GN′⊥y轴于G，正方形边CD与y轴交于H，在y轴正半轴上，
∵M1N=M1N′，∠NM1N′=90°，
∴∠HNM1+∠HM1N=90°，∠HM1N+∠GM1N′=90°，
∴∠HNM1=∠GM1N′，
在△HNM1和△GM1N′中，
，
∴△HNM1≌△GM1N′（AAS），
∴DH=M1G=6，HM1=GN′=6-m，
∵点N′（6-m，m-6）在线段AB上，直线的解析式；
即，
解得，
当点N旋转与点B重合，
∴M2N′=NM2-OB=6-4=2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
②在上，
当点N绕点M3旋转与点A重合，
∵M3N=M3N′，∠NM3N′=90°，
∴∠HNM3+∠HM3N=90°，∠HM3N+∠GM3N′=90°，
∴∠HNM3=∠GM3N′，
在△HNM3和△GM3N′中，
，
∴△HNM3≌△GM3N′（AAS），
∴DH=M3G=6-2=4，HM3=GN′=2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
③在上，
当点N与点F重合绕点M4旋转到AB上N′，
∵M4N=M4N′，∠NM4N′=90°，
∴∠M5NM4+∠M5M4N=90°，∠M5M4N+∠GM4N′=90°，
∴∠Ｍ５NM4=∠GM4N′，
在△Ｍ５NM4和△GM4N′中，
，
∴△M5NM3≌△GM3N′（AAS），
∴FM5=M4G=6，M5M4=GN′=-6-m，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴点N′（-6-m,m+6），
点N′在线段AB上，直线的解析式；
，
解得，
当点N绕点M5旋转点N′与点A重合，
∵M5N=M5N′，∠NM5N′=90°，
∴∠NM5O+∠FM5N=90°，∠OM5N+∠OM5N′=90°，
∴∠FM5N=∠OM5N′，
在△FM5N和△OM5N′中，
，
∴△FM3N≌△OM5N′（AAS），
∴FM5=M5O=6，FN=ON′=2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
④在上，
点N绕点M6旋转点N′与点B重合，MN=MB=2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
综上：或
【名师指路】
本题考查图形与坐标，待定系数 ( http: / / www.21cnjy.com )法求一次函数解析式，正方形的性质，平行线性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，一元一次方程，不等式，本题难度，图形复杂，应用知识多，要求有很强的解题能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
