中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年苏科版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。【出处：21教育名师】
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年苏科版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题3分，共24分)
1．如图几何体的主视图为（ ）
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A． B． C． D．
2．《九章算术》中记载：“ ( http: / / www.21cnjy.com )今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B．
C． D．
3．如图，在方格纸中，三角形经过变换得到三角形，正确的变换是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．把三角形向下平移4格，再绕点逆时针方向旋转180°
B．把三角形向下平移5格，再绕点顺时针方向旋转180°
C．把三角形绕点逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
D．把三角形绕点顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
4．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．﹣π
5．已知，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2 ( http: / / www.21cnjy.com )－2x的图像先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，，，点O在对角线BD上，以OB为半径作交BC于点E，连接DE；若DE是的切线，此时的半径为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
8．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：【来源：21·世纪·教育·网】
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝_____．
10．若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
11．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 8 5 2 －1 －4 …
那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是________．
12．如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的D点处，折痕与交于点E，则折痕的长为_________．21教育网
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13．在平面直角坐标系中，等腰直角和等腰直角的位置如图所示，顶点，在轴上，，．若点的坐标为，则线段的长为__________．21·cn·jy·com
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14．已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是_______________．
15．若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是____________
16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°www-2-1-cnjy-com
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17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝___________．
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18．如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE，BE交CD于点F，则CF＝_____．21*cnjy*com
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三、解答题(共46分)
19．（1）先化简再求值：，其中．
（2）解方程：．
20．如图，电路图上有A，B，C，D4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关A，B，或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发亮．21教育名师原创作品
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(1)在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为 ；
(2)任意闭合开关A，B，C，D中的两个，求小灯泡发亮的概率（请用列表或画树状图的方法求概率）．
21．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
(2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．21*cnjy*com
22．(本题8分)如图，已知：平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2），点B是第二象限内一点，且点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x2﹣36＝0的两个根．过点B作BC⊥x轴于点C．2-1-c-n-j-y
（1）直接写出k的值和点B的坐标：k＝ ；B（ ， ）；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位长度的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度沿x轴向右运动，设运动时间为t，若△BPO的面积是S，试求出S关于t的函数解析式（直接写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，以PQ为一边向直线PQ下方作正方形PQRS，求点R的坐标．
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23．(本题8分)如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接．www.21-cn-jy.com
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（1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：．
②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形．
24．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
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(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
25．(本题10分)阅读材科：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段交⊙O于点A，则长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．【版权所有：21教育】
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证明：延长交⊙O于点B，显然．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点不重合），连结．
，
且，
的长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．
请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在中，，以为直径的半圆O交于是弧上的一个动点，连接，则长的最小值是________．21·世纪*教育网
（2）如图4，在边长为2的菱形中，是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到连接．
①点的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）
②求线段长的最小值．
（3）如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，求的最小值．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年苏科版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21世纪教育网版权所有
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。2·1·c·n·j·y
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年苏科版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题3分，共24分)
1．如图几何体的主视图为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【过程详解】
解：从正面看图形为：
．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五 ( http: / / www.21cnjy.com )，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【过程详解】
解：根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，
可列方程得：．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．如图，在方格纸中，三角形经过变换得到三角形，正确的变换是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．把三角形向下平移4格，再绕点逆时针方向旋转180°
B．把三角形向下平移5格，再绕点顺时针方向旋转180°
C．把三角形绕点逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
D．把三角形绕点顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
【标准答案】D
【名师解析】
观察图象可知，先把△ABC绕着点C顺时针方向90°旋转，然后再向下平移5个单位即可得到．
【过程详解】
解：根据图象知，
把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到△DEF，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．21cnjy.com
4．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．﹣π
【标准答案】D
【名师解析】
把数字从大到小排序，然后再找最小数．
【过程详解】
解：|﹣3.14|＝3.14．|﹣3|＝3，|-|＝，|﹣π|＝π．
∴﹣π＜﹣3＜﹣＜|﹣3.14|，
故选：D．
【名师指路】
本题考查实数大小比较，掌握比较方法是本题关键．
5．已知，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【标准答案】B
【名师解析】
将原式同分，再将分子变形为后代入数值计算即可．
【过程详解】
解：∵，，
∴，
故选：B．
【名师指路】
此题考查了分式的化简求值，正确掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x2－2x的图像先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
先由折叠的性质，得到翻折后的解析式，然后再向上平移即可．
【过程详解】
解：将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，
∴翻折后的解析式为，
∵函数图像再向上平移5个单位长度，
∴解析式为：；
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，，，点O在对角线BD上，以OB为半径作交BC于点E，连接DE；若DE是的切线，此时的半径为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
设半径为r，如解图，过点O作，根据等腰三角形性质，根据四边形ABCD为矩形，得出∠C=90°=∠OFB，∠OBF=∠DBC，可证．得出，根据勾股定理，代入数据，得出，根据勾股定理在中，，即，根据为的切线，利用勾股定理，解方程即可．【出处：21教育名师】
【过程详解】
解：设半径为r，如解图，过点O作，
∵OB=OE，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°=∠OFB，∠OBF=∠DBC，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，即，
又∵为的切线，
∴，
∴，
解得或0（不合题意舍去）．
故选D．
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【名师指路】
本题考查矩形性质，等腰三角形性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆的切线，勾股定理，一元二次方程，掌握矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线性质，勾股定理，一元二次方程，矩形性质，等腰三角形性质，圆的半径相等，勾股定理，一元二次方程，是解题关键．
8．设P(x，y1)，Q(x，y2)分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【名师解析】
根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行求解判断即可．21*cnjy*com
【过程详解】
解：①设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1图像上的点，
则，
∵，
∴的值随着x的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，
∴当时，，
∴函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”，故①正确；
②设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，的值随着x的增大而减小，
又∵3≤x≤5，
∴当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为，
∴当3≤x≤5时，，
∴函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上不是“逼近函数”，故②错误；
③设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，满足，
∴是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”，故③正确；
④设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，不满足，
∴不是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”，故④错误，
正确的有①③，共2个，
故选：B．
【名师指路】
本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝_____．
【标准答案】﹣2ab（2a﹣b）2
【名师解析】
先提取公因式-2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【过程详解】
解：原式＝﹣2ab（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣2ab（2a﹣b）2，
故答案为：﹣2ab（2a﹣b）2．
【名师指路】
本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．
10．若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
【标准答案】x≤3
【名师解析】
根据二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可求得x的取值范围．
【过程详解】
∵二次根式有意义
∴3－x≥0
∴x≤3
故答案为：x≤3
【名师指路】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，它要求被开方数非负，掌握这点是关键．
11．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 8 5 2 －1 －4 …
那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是________．
【标准答案】x≤1
【名师解析】
由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的的值即可．
【过程详解】
解：当时，，
根据表可以知道函数值y随的增大而减小，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．21教育网
12．如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的D点处，折痕与交于点E，则折痕的长为_________．21·cn·jy·com
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【标准答案】6
【名师解析】
由直角三角形的性质可求∠CBA=60°，BC=，由翻折变换可得∠CBE=∠ABE=30°，由勾股定理可求解．
【过程详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AC=9，
∴∠ABC=60°，BC==，
∵折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，
∴∠CBE=∠ABE=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵BE2=CE2+BC2，
∴BE2=（9-BE）2+27，
∴BE=6，
故答案为：6．
【名师指路】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13．在平面直角坐标系中，等腰直角和等腰直角的位置如图所示，顶点，在轴上，，．若点的坐标为，则线段的长为__________．
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【标准答案】
【名师解析】
如图，过点作一条垂直于轴的直线，过点作交点为，过点作交点为；有题意可知，，由D点坐标可知的长度，，进而可得结果．
【过程详解】
解：如图, 过点作一条垂直于轴的直线，过点作交点为，过点作交点为；
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∴，，
∵，，
∴
在和中，
∴
∴
由D点坐标可知，
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标系中点的坐标等知识．解题的关键是找出所求线段的等价线段的值．
14．已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是_______________．
【标准答案】
【名师解析】
设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系解答即可．
【过程详解】
解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查抛物线与x轴的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题、一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解得的关键．
15．若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是____________
【标准答案】或##k＜-1或k＞2
【名师解析】
由题意根据反比例函数与正比例函数的图象没有交点，可知两个函数图象在不同的象限，以此进行分析计算即可得出答案.
【过程详解】
解：∵正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，
∴当正比例函数图象在一三象限，反比例函数图象在二四象限时没有交点，
或当正比例函数图象在二四象限，反比例函数图象在一三象限时没有交点，
∴或，解得：或.
故答案为：或.
【名师指路】
本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数的图象与系数的关系以及解不等式组的解集是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°
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【标准答案】
【名师解析】
连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB
【过程详解】
解：连接，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
PA，PB分别与⊙O相切
故答案为：
【名师指路】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝___________．
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【标准答案】76°或76度
【名师解析】
连接BO，并延长BO到P，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE＋∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，相加可得结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【过程详解】
解：连接BO，并延长BO到P，
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∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【名师指路】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE，BE交CD于点F，则CF＝_____．
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【标准答案】或4.8
【名师解析】
根据平行四边形的性质可知，即可证明，推出，由此即可求出CF的长．
【过程详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
三、解答题(共46分)
19．（1）先化简再求值：，其中．
（2）解方程：．
【标准答案】（1），；（2）无解
【名师解析】
（1）根据分式的各运算法则进行化简，再代入计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
【过程详解】
解：（1）
，
当时，原式；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的增根，
即原方程无解．
【名师指路】
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
20．如图，电路图上有A，B，C，D4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关A，B，或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发亮．
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(1)在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为 ；
(2)任意闭合开关A，B，C，D中的两个，求小灯泡发亮的概率（请用列表或画树状图的方法求概率）．
【标准答案】(1)
(2)
【名师解析】
（1）在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，只有闭合B才会发光，从而可得答案；
（2）先列表求解所有的等可能的结果，再根据只有闭合或才会发光，再利用概率公式求解即可.
(1)
解：在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为
故答案为：
(2)
解：列表如下：
由表格信息可得：所有的等可能的结果数有种，能发光的有种，
任意闭合开关A，B，C，D中的两个，小灯泡发亮的概率
【名师指路】
本题考查的简单随机事件的概率，利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表或画树状图的方法”是解本题的关键.【版权所有：21教育】
21．如图，某防洪大坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为30°，坝顶宽度为2米，坝高为4米，背水坡的坡度．
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(1)求该堤坝的横截面积（结果保留根号）；
(2)为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为，求加固后的堤坝的横截面积（结果保留根号）．
【标准答案】(1)；
(2)
【名师解析】
（1）过点D作DF⊥BC于点F，解直角三角形求出BE，CF的长，再梯形面积公式求解即可；
（2）过点G作GQ⊥BC于点Q，则AG=EQ=1米，根据背水坡度为可求出HQ=6米，从而求出BC的长，再根据梯形面积公式求出结论即可．
(1)
过点D作DF⊥BC于点F，如图，
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则DF=AE=4，EF=AD=2
∵，且AE=4
∴BE=4
∵
∴
∴
∴
∴
(2)
如图，过点G作GQ⊥BC于点Q，则四边形GQEA是矩形，
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∴GQ=AE=4，QE=AG=1
∵背水坡度为
∴
∴
∴ ，GD=GA+AD=1+2=3
∴
【名师指路】
本题考查了解直角三角形的应用----坡度与坡角问题，熟记锐角三角形函数是解答本题的关键．
22．(本题8分)如图，已知：平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2），点B是第二象限内一点，且点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x2﹣36＝0的两个根．过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）直接写出k的值和点B的坐标：k＝ ；B（ ， ）；
（2）点P从点C出发，以每秒1个 ( http: / / www.21cnjy.com )单位长度的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t，若△BPO的面积是S，试求出S关于t的函数解析式（直接写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，以PQ为一边向直线PQ下方作正方形PQRS，求点R的坐标．
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【标准答案】（1）k=1，B（-6,6）；（2）；（3）（8，-2）或（16,2）
【名师解析】
（1）将点（﹣2，﹣2）代入正比例 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝kx（k≠0）可得k=1，解一元二次方程x2﹣36＝0根据点B位于第二象限内判断横纵坐标，进而得出点B坐标；
（2）通过点B求出点C坐标，将运动分为两部分，当时，点P在x轴负半轴，表示出OP，进而表示出△BPO的面积S即可，同理，当时， 点P在x轴正半轴，表示出OP，进而表示出△BPO的面积S即可；
（3）分两种情况分别解得当 ( http: / / www.21cnjy.com )S＝6时点P的坐标，算出直线BP的斜率，进而解得PQ的斜率，算出直线PQ的解析式，得出点Q坐标，进而得到PQ的长度，表示出R点的坐标，根据正方形的性质边长相等即可得出方程求得点R的坐标．
【过程详解】
解：（1）将点A（-2，-2）代入y＝kx可得，
k=1，
∴正比例函数的解析式为，
∵x2﹣36＝0，
∴，
∴，
又∵点B是第二象限内一点，
∴B（-6,6）；
（2）①当时，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，
∴，
②当时，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴，
∴综上所述，；
（3）①当，S=6时，
即，，
如下图3所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
∵直线PQ与直线相交于点Q，
∴ ，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴（不符合题意舍去），，
∴，
②当，S=6时，
即，，
如下图4所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
∵直线PQ与直线相交于点Q，
∴ ，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴（不符合题意舍去），，
∴，
综上所述，点R的坐标为（8，-2）或（16,2）
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系的几何问题，属于一次函数综合题，涉及的知识点有：解方程，待定系数法，正方形的性质，分类思想的运用，综合性较强．21*cnjy*com
23．(本题8分)如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接．
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（1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：．
②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形．
【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π
【名师解析】
（1）利用尺规作图，作出∠COD的角平分线，交CA于点E；
（2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，则可得出结论；
②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论．
【过程详解】
解：（1）如图，
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（2）①证明：连接DE，
由（1）可知∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE=AE；
②解：当的长为π时，四边形OCED是正方形．
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∵的长为π，
∴＝π，
∴∠BOD=90°，
∵∠OCE=90°，
∴OD∥CE，
∵OE平分∠DOC，
∴∠DOE=∠COE=45°，
∴OC=CE，
又∵OD=OC，
∴OD=CE，
∴四边形OCED是正方形．
故答案为π．
【名师指路】
本题考查了作图-基本作图 ( http: / / www.21cnjy.com )，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的的性质．
24．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
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(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
(2)如果，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
【标准答案】(1)对称轴是，B(4，0)
(2)y=
(3)F( ，-5)
【名师解析】
（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得B点的坐标；
（2）二次函数的y轴平行于对称轴，根据平行线分线段成比例用含a的代数式表示DE的长，MD= ，可表示M的纵坐标，然后把M的横坐标代入y=ax2 3ax 4a，可得到关于a的方程，求出a的值，即可得答案；
（3）先证△AOC∽△COB，得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BCO=∠CAO，再求出∠CAO=∠CFB，得△AGC∽△FGB，根据相似三角形对于高的比等于相似比，可得答案．www-2-1-cnjy-com
(1)
解：∵二次函数y=ax2 3ax 4a，
∴对称轴是 ，
∵A( 1，0)，
∵1+1.5=2.5，
∴1.5+2.5=4，
∴B(4，0)；
(2)
∵二次函数y=ax2 3ax 4a，C在y轴上，
∴C的横坐标是0，纵坐标是 4a，
∵y轴平行于对称轴，
∴ ，
∴，
∵ ，
∵MD=，
∵M的纵坐标是+
∵M的横坐标是对称轴x，
∴ ，
∴+=，
解这个方程组得： ，
∴y=ax2 3ax 4a= x2-3×（）x-4×（）=；
(3)
假设F点在如图所示的位置上，连接AC、CF、BF，CF与AB相交于点G，
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由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，
∴ ，
∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BCO=∠CAO，
∵∠CFB=∠BCO，
∴∠CAO=∠CFB，
∵∠AGC=∠FGB，
∴△AGC∽△FGB，
∴ ，
设EF=x，
∵BF2=BE2+EF2= ，AC2=22+12=5，CO2=22=4，
∴= ，
解这个方程组得：x1=5，x2=-5，
∵点F在线段BC的下方，
∴x1=5（舍去），
∴F（，-5）．
【名师指路】
本题考查了二次函数的性质、平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质，做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用．【来源：21cnj*y.co*m】
25．(本题10分)阅读材科：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段交⊙O于点A，则长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
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证明：延长交⊙O于点B，显然．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点不重合），连结．
，
且，
的长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．
请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在中，，以为直径的半圆O交于是弧上的一个动点，连接，则长的最小值是________．
（2）如图4，在边长为2的菱形中，是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到连接．
①点的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）
②求线段长的最小值．
（3）如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，求的最小值．
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【标准答案】（1）；（2）①圆；②；（3）
【名师解析】
（1）由圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差可得结论；
（2）①利用翻折的性质和菱形的性质可得出结论；
②利用①的结论易得点A′在以点 ( http: / / www.21cnjy.com )M为圆心，1为半径的圆上，再利用菱形的性质和锐角三角函数得DH，MH，易得CH，由勾股定理得CM，求得A′C；
（3）作DC关于AB的对称点D′C′，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【过程详解】
解：（1）连接AO与⊙O相交于点P，如图①，由已知定理可知，
此时AP最短，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC为直径，
∴PO=CO=1，
∴AO==，
∴AP=，
故答案为：；
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（2）①由折叠知A′M=AM，
又M是AD的中点，
可得MA=MA′=MD，
故点A′在以AD为直径的圆上，
故答案为：圆．
②连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，如图②，
∵∠A=60°，四边形ABCD为菱形，
∴∠HDM=60°，
在Rt△MHD中，
DH=DM cos∠HDM=，
MH=DM sin∠HDM=，
∴CH=CD+DH=2+=，
在Rt△CHM中，
CM==，
∴A′C=．
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（3）如图，取点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．21教育名师原创作品
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．
∵D′C′=4，OC′=6，
∴D′O==，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2．
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【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质，翻折 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，最短距离问题，解直角三角形，理解圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差是解答此题的关键．
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