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编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。2-1-c-n-j-y
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21*cnjy*com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年人教版数学八年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．5、12、13 C．2、、 D．、、
【标准答案】B
【名师解析】
根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方．
【过程详解】
解：A、22＋32≠42，故不是直角三角形．故选项错误；
B、52＋122＝132，故是直角三角形，故选项正确；
C、22＋（）2≠（）2，故不是直角三角形．故选项错误；
D、（）2＋（）2≠（）2，故不是直角三角形．故选项错误．
故选：B．
【名师指路】
考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形．
2．若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【标准答案】A
【名师解析】
根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．
【过程详解】
∵
∴x-2≤0
∴
故选A．
【名师指路】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．
3．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．相等的角是同位角 D．等边三角形的三个内角都相等
【标准答案】D
【名师解析】
先写出个选项的逆命题：A. ( http: / / www.21cnjy.com )对顶角相等的逆命题为“相等的角为对顶角”； B.全等三角形的面积相等的逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”；C.相等的角是同位角的逆命题为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”； D.等边三角形的三个内角都相等的逆命题为“如果三角形的三个角相等，那么这个三角形是等边三角形”；再判断其真伪即可得出本题答案．21·cn·jy·com
【过程详解】
解：A.对顶角相等的逆命题为“相等的角为对顶角”，此命题为假命题，故本选项错误；
B.全等三角形的面积相等的逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，此命题为假命题，故本选项错误；
C.相等的角是同位角的逆命题为“ 如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，此命题为假命题，故本选项错误；
D.等边三角形的三个内角都相等的逆命题为“如果三个角相等，那么这个三角形是等边三角形”，此命题为真命题，故本选项正确。
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了真假命题的判断的有关知识，具体需要对对顶角，全等三角形的面积，同位角及等边三角形的内角等知识准确掌握，是正确作答本题的关键．
4．和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．6 C．5 D．4
【标准答案】A
【名师解析】
由折叠的性质得，，故，，推出，由，推出，根据AAS证明，即可得，，设，则，由勾股定理即可求出、，由计算即可得出答案．【版权所有：21教育】
【过程详解】
由折叠的性质得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故选：A．
【名师指路】
本题考查折叠的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
5．小张和小李同学相约利 ( http: / / www.21cnjy.com )用周末时间到江津科技馆参观，小张家离科技馆3000米，小李家离科技馆2500米，小张同学和小李同学同时从家出发，结果小张比小李晚10分钟到达科技馆，已知小李步行的速度是小张步行速度的1.2倍，为了求他们各自步行的速度，设小张同学的步行速度是x米/分，则可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
设小张同学的步行速度是x/分，则设小李同学的步行速度是1.2x米/分，根据“小张比小李晚10分钟到达科技馆”列方程即可．21·世纪*教育网
【过程详解】
解：设小张同学的步行速度是x/分，则设小李同学的步行速度是1.2x米/分，
根据题意可列方程，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查根据实际问题列分式方程，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
6．已知，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【标准答案】C
【名师解析】
把化为，代入，整理后即可求解.
【过程详解】
解：∵，
∴====，
故答选：C
【名师指路】
此题考查了代数式求值，掌握平方差公式是解答此题的关键.
7．如图，边长为a的等边△ABC中，B ( http: / / www.21cnjy.com )F是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．ab B．a+b C．ab D．a
【标准答案】B
【名师解析】
先证明点E在射线CE上运动，由AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF周长的最小，
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于，此时AE+FE的最小值为MF，根据等边三角形的判定和性质求出答案．
【过程详解】
解：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于，此时AE+FE的值最小，此时AE+FE=MF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=a+b，
故选：B．
【名师指路】
此题考查了等边三角形的判定及性质，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定及性质，轴对称的性质，图形中的动点问题，正确掌握各知识点作轴对称图形解决问题是解题的关键．【出处：21教育名师】
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，E，F分别为线段AD，AC上的动点，其中AB＝10，AC＝8，CD＝，则CE+EF的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．10 D．80
【标准答案】A
【名师解析】
过点作，交于，过点作于点，过点作于点，作关于的对称点，连接，根据点到直线的距离垂线段最短，角平分线的性质，证明当分别与点重合时，取得最小值，最小值为的长，根据等面积法求得的长即可．
【过程详解】
如图，过点作，交于，过点作于点，过点作于点，作关于的对称点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
AD平分∠CAB，
，
E，F分别为线段AD，AC上的动点，
当分别与点重合时，取得最小值，最小值为的长
又
的最小值为
故选A
【名师指路】
本题考查了点到直线的距离垂线段最短，角平分线的性质，轴对称的性质，掌握角平分线的性质转化线段的长是解题的关键．21世纪教育网版权所有
9．如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据全等三角形的判定方法对各选项进行一一判断即可．
【过程详解】
解：A、，，添加，根据ASA，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
B、，，添加，根据AAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
C、，，添加，利用平行线性质可得∠ACB=∠DFE， 根据AAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项符不符合题意．21*cnjy*com
D、，，添加，可得BC=EF，但SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定， ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；AAS，ASA，SAS，SSS，HL，应注意SSA与AAA都不能判断两个三角形全等．
10．如图， （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．180° B．360° C．270° D．300°
【标准答案】A
【名师解析】
利用三角形外角定理及三角形内角和公式求解即可．
【过程详解】
解：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠7=∠4+∠2，∠6=∠1+∠3，
∴∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4，
∵∠5+∠6+∠7=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．
【标准答案】或-a+1
【名师解析】
根据数轴可得： ，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质，即可求解．
【过程详解】
解：根据题意得： ，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和立方根的性质，熟练掌握实数与数轴，算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
12．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】12
【名师解析】
证明Rt△AIC≌Rt△CGK，得到AI=CG，利用勾股定理结合面积法求得CG=，进一步计算即可求解．
【过程详解】
解：过点A作AI⊥BC于点I，
∵正方形ACKL，∴∠ACK=90°，AC=CK，
∴∠ACI+∠KCG=90°，∠ACI+∠CAI=90°，
∴Rt△AIC≌Rt△CGK，
∴AI=CG，
∵，，．
∴BC=5，
∵，
∴AI=，则CG=，
∵正方形BCDE，
∴CD=BC=5，
∴长方形CDPG的面积为5．
故答案为：12．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．方程无解，那么的值为________．
【标准答案】3
【名师解析】
先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值．
【过程详解】
解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：3．
【名师指路】
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键．
14．若实数x满足，则______．
【标准答案】2022
【名师解析】
将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．
【过程详解】
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
故答案为：2022
【名师指路】
本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．
15．如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm221cnjy.com
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【标准答案】6
【名师解析】
因为点F是CE的中点，所以△B ( http: / / www.21cnjy.com )EF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【过程详解】
解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，
∴S△BEF=S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△EBC=S△ABC，
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=24cm2，
∴S△BEF=6cm2，
即阴影部分的面积为6cm2．
故答案为6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．
16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①③④
【名师解析】
由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
【过程详解】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【名师指路】
本题考查了三角形内的有关 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．www.21-cn-jy.com
17．如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C=90°，AC=BC=10，AB=10，点C关于折痕AD的对应点E恰好落在AB边上，小明在折痕AD上任取一点P，则△PEB周长的最小值是___________．21教育名师原创作品
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【标准答案】
【名师解析】
连接CE，根据折叠和等腰三角形性质得出 ( http: / / www.21cnjy.com )当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【过程详解】
解：连接CE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=10，∠CAD=∠EAD，
∴BE=10-10，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=10+10-10=10．
故答案为：10．
【名师指路】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，关键是求出P点的位置．
18．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图1可得等式：．
（1）由图2可得等式：________；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知且，则_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】 2
【名师解析】
（1）方法一：直接利用正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的面积公式可求出图形的面积；方法二：利用图形的面积等于9部分的面积之和，根据方法一和方法二的结果相等建立等式即可得；www-2-1-cnjy-com
（2）先将已知等式利用完全平方公式、整式的乘法法则变形为，再利用（1）的结论可得，从而可得，由此即可得出答案．
【过程详解】
解：（1）方法一：图形的面积为，
方法二：图形的面积为，
则由图2可得等式为，
故答案为：；
（2），
，
，
利用（1）的结论得：，
，
，即，
，
，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式与图形面积、整式乘法的应用，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题关键．
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)（1）；
（2）计算：；
（3）先化简，再请你用喜爱的数代入求值．
【标准答案】（1）；（2）；（3），当x＝1时，原式＝3．
【名师解析】
（1）分别运用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开后，合并即可；
（2）先通分，再计算加减即可；
（3）先计算括号内的减法（通分后按同分母的分式相加减法则计算）同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则约分，最后代入求出即可．2·1·c·n·j·y
【过程详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=，
∵要使式子有意义，
∴x2 2x≠0，x2 4x＋4≠0，x3 4x≠0，x＋2≠0，
∴x不能是0、2、 2，
当x＝1时，原式＝＝3．
【名师指路】
本题考查了整式的乘法、分式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com )及化简求值等知识点，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．【来源：21cnj*y.co*m】
20．(本题6分)先化简，再求值：，其中．
【标准答案】，
【名师解析】
根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【过程详解】
解：原式
将代入得：原式
【名师指路】
本题考查了分式的化简求值，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键．
21．(本题6分)滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2.5m
【名师解析】
设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．
【过程详解】
解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，
解得x=2.5，
∴AC=2.5m．
【名师指路】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
22．(本题8分)将边长为a的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）21教育网
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）；（3）1．
【名师解析】
（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式即可解答；
（2）由（1）中所得的S 和S 的面积相等即可解答；
（3）根据（2）中的公式，将2020×202 ( http: / / www.21cnjy.com )2写成（2021－1）×（2021＋1），然后按照平方差公式进行化简，再按照有理数的混合运算计算出即可．
【过程详解】
解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ＝a2﹣b2，S ＝（a＋b）（a﹣b）
故答案是：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）由（1）所得结论和面积相等，则可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案是：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）运用（2）所得的结论可得：
20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021＋1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212＋1
＝1．
【名师指路】
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，灵活利用数形结合思想以及掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．
23．(本题10分)某超市准 ( http: / / www.21cnjy.com )备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种 ( http: / / www.21cnjy.com )牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【标准答案】（1）甲种牛奶、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【名师解析】
（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元；根据题意列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件；根据题意，分别列一元一次不等式并求解，即可得到的值，通过计算即可得到答案．
【过程详解】
（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元
根据题意，得：
∴
当时，，且
∴是方程的解
∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件
∵两种牛奶的总数不超过95件
∴
∴
∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元
∴
∴
∴
∴
∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【名师指路】
本题考查了分式方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
24．(本题10分)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
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(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．
【标准答案】(1)60°
(2)①EFA；②见解析
(3)AE＝AF+BC，理由见解析
【名师解析】
（1）在等腰直角三角形DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠DEF=90°，求得∠1=20°，根据余角的定义得到∠2=∠DEF-∠1=70°，根据三角形的内角和得到∠3=60°，∠4=30°，然后根据三角形内角和定理即可解答；
（2）①如图1，过D作DG⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AE于G，在△DEG中，由余角的定义得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5证得△DEG≌△EFA；根据△DEG≌△EFA 可得AF=EG，根据三角形的内角和和余角的定义得到∠3=∠B，推出△DAG≌△ABC，根据全等三角形的性质得到BC=AG，即可得到结论；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到∠2=∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得到ME=AF，即可得到结论．
(1)
解：如图1：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，∠ADE＝50°
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC＝∠C-∠4=60°．
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(2)
解：①如图1，过D作DG⊥AE于G，
在△DEG中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEG与△EFA中，
，
∴△DEG≌△EFA，
故答案是：EFA；
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②∵△DEG≌△EFA，
∴AF=EG，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAG与△ABC中，
，
∴△DAG≌△ABC，
∴BC=AG，
∴AE=EG+AG=AF+BC．
(3)
解：AE+AF=BC，理由如下：
如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，
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∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM与△BAC中，
，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED与△AFE中，
，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，即AE+AF=BC．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质、三角形内角和定理以及同角的余角相等，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21世纪教育网版权所有
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21教育网
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年人教版数学八年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．5、12、13 C．2、、 D．、、
2．若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
3．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．相等的角是同位角 D．等边三角形的三个内角都相等
4．和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（ ）．
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A．7 B．6 C．5 D．4
5．小张和小李同学相约利用周末时间到 ( http: / / www.21cnjy.com )江津科技馆参观，小张家离科技馆3000米，小李家离科技馆2500米，小张同学和小李同学同时从家出发，结果小张比小李晚10分钟到达科技馆，已知小李步行的速度是小张步行速度的1.2倍，为了求他们各自步行的速度，设小张同学的步行速度是x米/分，则可列得方程为（ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
6．已知，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是 ( http: / / www.21cnjy.com )AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．ab B．a+b C．ab D．a
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，E，F分别为线段AD，AC上的动点，其中AB＝10，AC＝8，CD＝，则CE+EF的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C．10 D．80
9．如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ）
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A． B． C． D．
10．如图， （ ）
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A．180° B．360° C．270° D．300°
二、填空题(每题3分，共24分)
11．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．
12．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为______．www-2-1-cnjy-com
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13．方程无解，那么的值为________．
14．若实数x满足，则______．
15．如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm22-1-c-n-j-y
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16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
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17．如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C=90°，AC=BC=10，AB=10，点C关于折痕AD的对应点E恰好落在AB边上，小明在折痕AD上任取一点P，则△PEB周长的最小值是___________．【来源：21cnj*y.co*m】
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18．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图1可得等式：．
（1）由图2可得等式：________；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知且，则_______．
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三、解答题(共46分)
19．(本题6分)（1）；
（2）计算：；
（3）先化简，再请你用喜爱的数代入求值．
20．(本题6分)先化简，再求值：，其中．
21．(本题6分)滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．
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22．(本题8分)将边长为a的正方形的左上角 ( http: / / www.21cnjy.com )剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）21cnjy.com
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
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23．(本题10分)某超市准备购进 ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．www.21-cn-jy.com
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？21*cnjy*com
24．(本题10分)如图所示，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
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(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．2·1·c·n·j·y
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