中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21·cn·jy·com
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。www.21-cn-jy.com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年人教版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当时，y的取值范围是
2．如图，在梯形中，ADBC，过对角线交点的直线与两底分别交于点，下列结论中，错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
3．在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．学生玩一种游戏，需按墙上的 ( http: / / www.21cnjy.com )空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
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A． B． C． D．
5．一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸1个球，摸到红球的概率是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
6．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
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A． B． C． D．
7．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕远点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
8．如图所示，一座抛物线形 ( http: / / www.21cnjy.com )的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）21*cnjy*com
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A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
9．定义新运算“a b”：对于任意实数a， ( http: / / www.21cnjy.com )b，都有a b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3 2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，已知它们分别交直线于点和点，如果，，那么线段的长是_________
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12．已知二次函数y＝﹣x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．21教育网
13．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．21·世纪*教育网
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（1）直接写出点D的坐标______；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为______．
14．在⊙O中，圆心角∠AOC＝120°，则⊙O内接四边形ABCD的内角∠ABC＝_____．
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15．两个人玩“石头、剪刀、布”游戏，在保证游戏公平的情况下，随机出手一次，两人手势不相同的概率是___________．21教育名师原创作品
16．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________2-1-c-n-j-y
17．已知在 中， ， 那么 ____________．
18．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）21cnjy.com
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①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)面对突如其 ( http: / / www.21cnjy.com )来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：美团优选，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马生鲜）【版权所有：21教育】
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（1）本次随机调查了 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）某日下午，张阿姨想购买苹果和生 ( http: / / www.21cnjy.com )菜，各APP的供货情况如下：美团优选（A）仅有苹果在售；叮咚买菜（B）仅有生菜在售；每日优鲜（C）仅有生菜在售；盒马鲜生（D）的苹果和生菜均已全部售完．求张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．21*cnjy*com
20．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为，点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作于点E，交BP于点N，连结AN．
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（1）求⊙M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．
21．(本题6分)某读书兴趣小组计划去书店购 ( http: / / www.21cnjy.com )买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？【出处：21教育名师】
22．(本题8分)已知：∠AOB是直角，过点 ( http: / / www.21cnjy.com )O作射线OC，设∠AOC＝α（0°＜α＜180°，且α≠90°），将射线OC逆时针旋转45°得到射线OD．
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（1）如图1，若0°＜α＜45°，则∠AOC＋∠BOD＝ °；
（2）如图2，若45°＜α＜90°．
①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系 ；
②作∠AOD的角平分线OE，试判断∠COE与∠BOD之间的数量关系，并证明；
（3）若OF平分∠BOC，请你直接写出∠DOF的度数（用含有α的代数式表示）．
23．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和，交y轴于点，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．2·1·c·n·j·y
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（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是 ( http: / / www.21cnjy.com )否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
24．(本题10分)如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
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（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。【来源：21cnj*y.co*m】
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年人教版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当时，y的取值范围是
【标准答案】C
【名师解析】
函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确．
【过程详解】
解：函数与函数的图象如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，
A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符；
B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符；
C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符；
D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符；
故选：C．
【名师指路】
本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键．
2．如图，在梯形中，ADBC，过对角线交点的直线与两底分别交于点，下列结论中，错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
根据ADBC，可得△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，再利用相似三角形的性质逐项判断即可求解．
【过程详解】
解：∵ADBC，
∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，
∴，故A正确，不符合题意；
∵ADBC，
∴△DOE∽△BOF，
∴，
∴，
∴，故B错误，符合题意；
∵ADBC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
∴ ，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：B
【名师指路】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
直接利用锐角三角函数关系进而表示出AB的长．
【过程详解】
解：如图所示：
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∠A＝α，AC＝1，
cosα＝，
故AB＝．
故选：D
【名师指路】
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出边角关系是解题关键．
4．学生玩一种游戏，需按墙上的空洞 ( http: / / www.21cnjy.com )造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．
【过程详解】
解：、三视图分别为正方形，三角形，圆，故选项符合题意；
、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故选项不符合题意；
、三视图分别为正方形，正方形，正方形，故选项不符合题意；
、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故选项不符合题意；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了三视图的相关知识，解题的关键是判断出所给几何体的三视图．
5．一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸1个球，摸到红球的概率是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可．
【过程详解】
解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是红球的有3种结果，21*cnjy*com
∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．【版权所有：21教育】
【过程详解】
解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
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∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH=OB=1，
∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．21教育网
7．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕远点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．21cnjy.com
【过程详解】
解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示：
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由的坐标为可知：，，
在中，，
由旋转性质可知：，
，，
，
在与中：
，
，，
此时点对应坐标为，
当第二次旋转时，如下图所示：
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此时A点对应点的坐标为．
当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为．
当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
第6次旋转时，与A点重合．
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．
由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为．
故选：A．
【名师指路】
本题主要是考查了旋转性质、中心对称 ( http: / / www.21cnjy.com )求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．www.21-cn-jy.com
8．如图所示，一座抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）21教育名师原创作品
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A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
【标准答案】B
【名师解析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax ，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x ，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【过程详解】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【名师指路】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．
9．定义新运算“a b”：对于任意实数 ( http: / / www.21cnjy.com )a，b，都有a b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3 2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4
【标准答案】D
【名师解析】
利用新运算把方程x k＝0（k为实数）化为，把x＝2代入求解即可．
【过程详解】
解：∵a b＝（a﹣b）2﹣b，
∴关于x的方程x k＝0（k为实数）化为，
∵x＝2是这个方程的一个根，
∴4-4k+k2-k=0，解得：，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于k的方程．
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
根据二次函数的图象和性质、各项系数结合图象进行解答．
【过程详解】
∵（-1，0），对称轴为
∴二次函数与x轴的另一个交点为
将代入中
，故A正确
将代入中
②①
∴
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
∴
∴，故B正确；
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴抛物线顶点纵坐标
∵抛物线开口向上
∴
∴，故C正确
∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴
将代入中
①②
∴
∴，故D错误，符合题意
故答案为：D．
【名师指路】
本题主要考查了二次函数的图象与函数解析式的关系，可以根据各项系数结合图象进行解答．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，已知它们分别交直线于点和点，如果，，那么线段的长是_________
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【标准答案】8
【名师解析】
根据平行线分线段成比例定理即可得．
【过程详解】
解：，
，
，
，
，
解得，
故答案为：8．
【名师指路】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
12．已知二次函数y＝﹣x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】
【名师解析】
不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
【过程详解】
解：如图，
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∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2），
∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
13．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．2-1-c-n-j-y
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（1）直接写出点D的坐标______；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为______．
【标准答案】 或##或
【名师解析】
（1）观察坐标系即可得点D坐标；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【过程详解】
解：（1）观察图象可知，点D的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）；
（2）当点A与C对应，点B与D对应时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时旋转中心P的坐标为（4，2）；
当点A与D对应，点B与C对应时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时旋转中心P的坐标为（1，5）；
故答案为：（4，2）或（1，5）．
【名师指路】
本题考查坐标与图形变化 旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
14．在⊙O中，圆心角∠AOC＝120°，则⊙O内接四边形ABCD的内角∠ABC＝_____．
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【标准答案】120°或120度
【名师解析】
先根据圆周角定理求出∠D，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【过程详解】
解：∵∠AOC＝120°
∴∠D=∠AOC＝60°
∵⊙O内接四边形ABCD
∴∠ABC＝180°-∠D=120°．
故答案是120°．
【名师指路】
本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键．
15．两个人玩“石头、剪刀、布”游戏，在保证游戏公平的情况下，随机出手一次，两人手势不相同的概率是___________．
【标准答案】
【名师解析】
画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可．
【过程详解】
解：画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势不相同有6种，
所以两人手势不相同的概率=，
故答案为：．
【名师指路】
本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
【标准答案】30
【名师解析】
把方程x2-10x+m=0移项后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25．
【过程详解】
解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴
故答案为：30．
【名师指路】
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
17．已知在 中， ， 那么 ____________．
【标准答案】14
【名师解析】
过A作AD⊥BC于D，利用锐角三角函数求得AD、BD，再根据勾股定理求解即可．
【过程详解】
解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=10，
∴AD=AB·sin60°=10×= ，BD=AB·cos60°=10×=5，
∵BC=16，
∴CD=BC－BD=16－5=11，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：= =14，
故答案为：14．
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【名师指路】
本题考查锐角三角函数解直角三角形、勾股定理，会利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
18．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
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①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
【标准答案】①③④
【名师解析】
设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作，连接FR，求出直线BM的解析式为，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正确．
【过程详解】
解：设点A（m，n），则M（n，m），
∴直线AM的解析式为，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，
∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，
∴∠AOP=∠MOQ，
∴，故①正确；
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过O作OH⊥MA于H，
∵OC=OD，
∴DH=CH，
∵，
∴DM=AC，
∴MH=AH，
但是DM与MH不一定相等，
故不一定成立，故②错误；
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如图，作，连接FR，则∠BEO=∠ARO，
∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），
∴B（-m，-n），OA=OB，
∵点M（n，m），
∴直线BM的解析式为，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），
∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，
∴△BOE≌△AOR，
∴OR=OE=OF，
∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，
∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，
∴四边形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，
设MF=2x，则MB=7x，
∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，
∴△BOE≌△MOF，
∴BE=MF=2x，
∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，
∴FR= EF=3x，
∴AM=3x，
∵DM=AC=2x，
∴，故③正确；
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过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，
∵，OA=OM，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，
∴∠AOH=30°，
∴∠AOC=15°，
∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，
∴，
∴，
∵M点的横坐标为1，
∴QM=AP=GN=1，
∴，
得，
∴，
∴A（，1），
∴，故④正确；
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故答案为：①③④．
【名师指路】
此题考查了反比例函数与一次函数的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，反比例函数的轴对称性，求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．21·cn·jy·com
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)面对突如其来的疫 ( http: / / www.21cnjy.com )情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：美团优选，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马生鲜）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)本次随机调查了 户居民；
(2)补全条形统计图的空缺部分；
(3)某日下午，张阿姨想购买苹果和 ( http: / / www.21cnjy.com )生菜，各APP的供货情况如下：美团优选（A）仅有苹果在售；叮咚买菜（B）仅有生菜在售；每日优鲜（C）仅有生菜在售；盒马鲜生（D）的苹果和生菜均已全部售完．求张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
【标准答案】(1)200
(2)见解析
(3)
【名师解析】
（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；
（2）根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
（3）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
(1)
根据题意，得
30÷15%=200，
所以，本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
(2)
∵200-80-40-30=50，
∴条形统计图的A：美团优选为50，
如图为补全的条形统计图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
根据题意画出树状图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是．
【名师指路】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．
20．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为，点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作于点E，交BP于点N，连结AN．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求⊙M的半径长；
(2)当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
(3)当点P运动时，求线段AN的最小值．
【标准答案】(1)的半径长为6；
(2)点；
(3)线段AN的最小值为3．
【名师解析】
（1）连接CM，根据题意及垂径定理可得，，由直角三角形中角的逆定理可得，，得出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，即可确定半径的长度；
（2）连接AP，过点P作，交AB于点F，由直径所对的圆周角是可得为直角三角形，结合（1）中为等边三角形，根据BP平分，可得，在与中，分别利用含角的直角三角形的性质和勾股定理计算结合点所在象限即可得；
（3）结合图象可得：当B、N、A三点共线时，利用三角形三边长关系可得此时PN取得最小值，即可得出结果．
(1)
解：如图所示：连接CM，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的半径长为6；
(2)
解：连接AP，过点P作，交AB于点F，如（1）中图所示：
∵AB为的直径，，
∴，
∴为直角三角形，
由（1）得为等边三角形，
∵BP平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
点；
(3)
结合图象可得：当B、N、A三点共线时，，PN取得最小值，
∵在中，，
∴当B、N、A三点共线时，PN取得最小值，
此时点P与点A重合，点N与点M重合，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴线段AN的最小值为3．
【名师指路】
题目主要考查垂径定理，含角的直角三角形的性质和勾股定理，直径所对的圆周角是，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
21．(本题6分)某读书兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？2·1·c·n·j·y
【标准答案】(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本
(2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元
【名师解析】
（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可；
（2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可．
(1)
设读书兴趣小组购买书籍x本，
根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售，
∵，
∴兴趣小组购买书籍数量超过10本，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；
(2)
设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元，
由题意得，，
∴，
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．
【名师指路】
本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键．
22．(本题8分)已知：∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OB是直角，过点O作射线OC，设∠AOC＝α（0°＜α＜180°，且α≠90°），将射线OC逆时针旋转45°得到射线OD．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，若0°＜α＜45°，则∠AOC＋∠BOD＝ °；
(2)如图2，若45°＜α＜90°．
①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系 ；
②作∠AOD的角平分线OE，试判断∠COE与∠BOD之间的数量关系，并证明；
(3)若OF平分∠BOC，请你直接写出∠DOF的度数（用含有α的代数式表示）．
【标准答案】(1)45
(2)①；②图见解析，，证明见解析
(3)当时，；当时，或
【名师解析】
（1）先根据直角的定义可得，再根据旋转的定义可得，然后根据角的和差即可得；
（2）①先根据旋转的定义可得，再根据角的和差可得，由此即可得；
②先利用量角器作的角平分线，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差可得，由此即可得出结论；
（3）分①射线在直线的上方，②射线在直线的下方两种情况，再分别在和范围内，根据角平分线的定义、角的和差进行运算即可得．
(1)
解：是直角，
，
由旋转可知，，
，
故答案为：45；
(2)
解：①由旋转可知，，
，
，
，即，
故答案为：；
②作的角平分线如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，证明如下：
，
，
，
又，
；
(3)
解：由题意，分以下两种情况：
①当射线在直线的上方时，
（Ⅰ）如图，当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，且平分，
，
；
（Ⅱ）如图，当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，且平分，
，
；
②当射线在直线的下方时，
（Ⅰ）如图，当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，且平分，
，
；
（Ⅱ）如图，当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，且平分，
，
；
综上，当时，；当时，或．
【名师指路】
本题考查了作角平分线、与角平分线有关的计算等知识点，较难的是题（3），正确分情况讨论是解题关键．
23．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和，交y轴于点，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，N的横坐标为，，，2．
【名师解析】
（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）先取OE的三等分点D，得出DE'=AE'，当B，E'，D三点共线时即为最小值；
（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．
【过程详解】
解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c中，
得：，
∴b=-2，c=3，
∴y=-x2-2x+3，
（2）在OE上取一点D，使得OD=OE，
连接DE'，BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OD＝OE＝OE′，对称轴x=-1，
∴E（-1，0），OE=1，
∴OE'=OE=1，OA=3，
∴，
又∵∠DOE'=∠E'OA，
△DOE'∽△E'OA，
∴DE′＝AE′，
∴BE′+AE′＝BE′+DE′，
当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，
，
∴BE′+AE′的最小值为；
（3）存在，
∵A（-3，0），B（0，3），
设N（n，-n2-2n+3），
则AB2=18，AN2=（n2+2n-3）2+（n+3）2，BN2=n2+（n2+2n）2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形，
若AB是斜边，则AB2=AN2+BN2，
即18=（n2+2n-3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，
解得：，
∴N的横坐标为或，
若AN是斜边，则AN2=AB2+BN2，
即（n2+2n-3）2+（n+3）2=18+n2+（n2+2n）2，
解得n=0（与点B重合，舍去）或n=-1，
∴N的横坐标是-1，
若BN是斜边，则BN2=AB2+AN2，
即n2+（n2+2n）2=18+（n2+2n-3）2+（n+3）2，
解得n=-3（与点B重合，舍去）或n=2，
∴N的横坐标为2，
综上N的横坐标为，，-1，2．
【名师指路】
本题主要考查二次函数的综合应用，求 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质．【来源：21·世纪·教育·网】
24．(本题10分)如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
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(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
(2)证明△BCM与△ABC的面积相等；
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【标准答案】(1)M（2，-9m），；
(2)见解析；
(3)存在，见解析．
【名师解析】
（1）将解析式配方成顶点式即可解题；
（2）分别解出△BCM与△ABC的面积，再证明其相等；
（3）用含m的代数式分别表示BC2，CM2，BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况讨论：当时，或当时，或当时，结合勾股定理解题．
(1)
解：y＝mx2﹣4mx﹣5m
＝m（x2﹣4x﹣5）
＝m（x2﹣4x+4-4﹣5）
＝m（x-2）2﹣9 m
抛物线顶点M的坐标（2，-9m）,
令y=0, m（x-2）2﹣9 m=0
解得（x-2）2=9
(2)
令x=0, y=m（0-2）2﹣9 m=-5m
过点M作EF轴于点E，过点B作于点F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
存在使△BCM为直角三角形的抛物线，
过点M作轴于点D，过点C作于点N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，
在中，
在中，
①若△BCM为直角三角形,且时，
解得
存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
②若△BCM为直角三角形且时，
存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
③
以为直角的直角三角形不存在，
综上所述，存在抛物线和，使得△BCM为直角三角形．
【名师指路】
本题考查二次函数的顶点式、二次函数与一元二次方程、勾股定理、含参数m的代数式表示各边长，运用分类思想是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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