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编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。2·1·c·n·j·y
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。www-2-1-cnjy-com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年人教版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
根据从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1判断即可．
【过程详解】
解：从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，如图所示：
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故选：A
【名师指路】
此题考查了三视图，解题关键是明确主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD:DF=2:3，那么下列结论中，正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【过程详解】
解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF=2：3，
∴CD：EF的值无法确定，故A选项错误；
AB：CD的值无法确定，故B选项错误；
AC：AE=2：5，故C选项正确；
CE：EA=3：5，故D选项错误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．东边日出西边雨是不可能事件．
B．抛掷一枚硬币10次，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7．
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定为5000次．
D．小红和同学一起做“钉尖向 ( http: / / www.21cnjy.com )上”的实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．
【标准答案】D
【名师解析】
根据概率的意义进行判断即可得出答案.
【过程详解】
解：A、东边日出西边雨是随机事件，故此选项错误；．
B、抛掷一枚硬币10次，7次正 ( http: / / www.21cnjy.com )面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7，错误；有7次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.7，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值0.5，故C选项错误；
C、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能为5000次，故此选项错误；
D、小红和同学一起做“钉尖向上” ( http: / / www.21cnjy.com )的实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，此选项正确.21教育网
故选：D
【名师指路】
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
4．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）21cnjy.com
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A．1 B． C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可．
【过程详解】
如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G，
∵正六边形的边心距为，
∴∠AOG=30°，OG=，
∴OA=2AG，
∴，
解得GA=1，
∴OA=2，
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设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=，
解得r=，
故选C．
【名师指路】
本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键．
5．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起， ( http: / / www.21cnjy.com )固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
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A．15°或45° B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135°
【标准答案】D
【名师解析】
分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
【过程详解】
解：设旋转的度数为α，
若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°-30°-45°=15°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°，
∴α=120°-30°-45°=45°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴AC∥DE，
∴α=180°-45°=135°，
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综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°．
故选：D
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
6．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）21教育名师原创作品
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【名师解析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【过程详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，
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∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【名师指路】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号， ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
7．若关于x的不等式组无解，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【标准答案】A
【名师解析】
由x的不等式组无解可解得，由x的一元二次方程有两个不相等的实数根可解得，故中符合条件的所有整数有-2，-1，0，1，2，所有整数a的和为0．
【过程详解】
移项得
解得
解得
∵关于x的不等式组无解
∴
解得
一元二次方程
则且
∵x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
即
解得且a≠1
综上所述符合题意的整数有-2，-1，0，2
则-2-1+0+2=-1
故选：A．
【名师指路】
一元二次方程根的判别式的应用主 ( http: / / www.21cnjy.com )要有以下三种情况：不解方程，由根的判别式直接判断根的情况；根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；应用根的判别式证明方程根的情况（无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）．已知不等式（组）的解集，求不等式（组）中待定字母的取值范围问题，首先把不等式（组）的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，这类问题有时要运用方程知识，有时要用到不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（ ）
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A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【标准答案】A
【名师解析】
利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可．
【过程详解】
解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二次函数与不等式（组，解题的关键是掌握对于二次函数、、是常数，与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解．
9．如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【名师解析】
分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时， ( http: / / www.21cnjy.com )过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【过程详解】
解：∵，，，
∴BC=，
过CA点作CH⊥AB于H，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∵，
∴CH=4.8，
∴AH=，
当0≤x≤6.4时，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，解得：x=，
∴y= x =x2；
当6.4＜x≤10时，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
即，解得：x=，
∴y= x =；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象 ( http: / / www.21cnjy.com )是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
10．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【名师解析】
根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．
【过程详解】
解：，，
故A选项正确，不符合题意；
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
，
故B选项不正确，符合题意；
，即，
故C选项正确，不符合题意；
，即,
又
故D选项正确，不符合题意．
故选B．
【名师指路】
本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 处， 光线从点 出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 的顶端 处． 如果 ， 米， 米， 米， 那么该古城墙的高度是__________米
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】10
【名师解析】
根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度．
【过程详解】
∵入射角=反射角
∴入射角的余角∠APB=反射角的余角∠CPD
又AB⊥BD；CD⊥BD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴CD=PD×=10
故答案为：10
【名师指路】
本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键．
12．为庆祝建党100周年，某 ( http: / / www.21cnjy.com )邮政局推出纪念封系列，且所有纪念封均采用形状、大小、质地都相同的卡片，背面分别印有“改革、开放、民族、复兴”的字样，正面完全相同．如下图，现将6张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小是____________．2-1-c-n-j-y
【标准答案】
【名师解析】
根据简单概率公式求出任意抽取一张纪念封的所有情况6种从中找出改革的纪念封的情况，代入公式计算即可．
【过程详解】
解：任意抽取一张，等可能的情况一共有6种，其中印有改革纪念封的情况有2种，
∴从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小=．
故答案为．
【名师指路】
本题考查简单事件的概率，掌握概率公式，找出满足改革纪念封条件的情况是解题关键．
13．如图，矩形中，，，以的中点为圆心的弧与相切，则图中阴影部分的面积为__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】##
【名师解析】
如图，连接证明四边形 四边形都为矩形，可得扇形半径为1，再求解再利用扇形的面积公式进行计算即可.
【过程详解】
解：如图，连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
扇形的弧与相切，
矩形,
四边形 四边形都为矩形，
扇形半径．
在矩形中，，为的中点，
在中，．
，
，
同理：
．
．
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算，求解扇形的半径为1，及，是解本题的关键.
14．已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；
②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．
所有合理推断的序号是______．
【标准答案】①②④
【名师解析】
分别根据过A、B两点的函数是一次函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
【过程详解】
解：①过，两点的直线的关系式为y=kx+b，则
，
解得，
所以直线的关系式为y=x-1，
直线y=x-1与直线y=x平行，
因此①正确；
②过，两点的双曲线的关系式为，则，
所以双曲线的关系式为
当时，
∴也在此函数的图象上，
故②正确；
③若过，两点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
当它经过原点时，则有
解得，
对称轴x=-，
∴当对称轴0＜x=-＜时，抛物线与y轴的交点在正半轴，
当-＞时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③说法不正确；
④当抛物线开口向上时，有a＞0，而a+b=1，即b=-a+1，
所以对称轴x=-=-=-，
因此函数图象对称轴在直线x＝左侧，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题考查一次函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．21·世纪*教育网
15．如图，在中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点D、F，则图中阴影部分的面积是_________．
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【标准答案】
【名师解析】
根据直角三角形30度角的性质及勾股定理求出AC、BC，∠A=60°，利用扇形面积公式求出阴影面积．
【过程详解】
解：在中，，，，
∴AC=1，，∠A=60°，
∴图中阴影部分的面积=
=
=，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理，扇形面积的计算公式，直角三角形面积公式，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
16．已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．
【标准答案】-1
【名师解析】
将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．
【过程详解】
解：
=
=
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，
又抛物线与轴相交于A，两点.
∴抛物线开口向上，即
设为A，B两点的横坐标，
∴
∵线段的长不小于2，
∴
∴
∴
∴
∴
解得，
设
当时，有最小值，最小值为：
故答案为：-1
【名师指路】
本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．
17．如图，已知Rt△ABC中，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____．
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【标准答案】
【名师解析】
将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可．
【过程详解】
解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠，
由勾股定理得：
∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，
∴△
∴，，∠
∴△是等边三角形，
∴
∴
∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
∴最小值为
故答案为：
【名师指路】
本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题．21*cnjy*com
18．如图，正方形 边长为 ，则 _____________
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【标准答案】##
【名师解析】
根据正方形的性质可得，过E作EG⊥BC于G，证明三角形EGC是等腰直角三角形，再根据直角三角形BEG利用勾股定理列方程即可．【版权所有：21教育】
【过程详解】
过E作EG⊥BC于G
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∵正方形 边长为2
∴，
∵
∴
∴三角形EGC是等腰直角三角形
∴，
在Rt△BEG中，
∴
解得：
∴
∴
【名师指路】
本题考查正方形的性质及勾股定理，解题的关键是证明三角形EGC是等腰直角三角形，最终根据勾股定理列方程计算即可．
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)解下列方程
（1）
（2）
【标准答案】
（1）
（2），
【名师解析】
（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程即可
（1）
∵，
∴方程有两个相等的实数根
∴
（2）
原方程可变形为
∴或，
∴或，
解得：，
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(本题6分)如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求∠ACD的度数；
（2）求阴影部分的面积．
【标准答案】
（1）
（2）
【名师解析】
（1）连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，证明出、是等边三角形，即可求解；
（2）根据（1）得、是等边三角形，证明出，可以将问题转化为，即可求解．
（1）
解：解：连接、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，，
又，
、是等边三角形，
；
（2）
解：根据（1）得、是等边三角形，
在和中，，
，
．
【名师指路】
本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定及性质、圆心角定理，解题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．21·cn·jy·com
21．(本题6分)随着信息技术的迅猛发展 ( http: / / www.21cnjy.com )，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和 ( http: / / www.21cnjy.com )小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【标准答案】
（1）200
（2）81°
（3）
【名师解析】
（1）用银行卡的人数除以其百分比即可得到总人数；
（2）先求出微信支付的人数，得到支付宝支付的人数，再利用公式计算；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表利用公式求概率．
（1）
解：这次活动共调查了（人），
故答案为：200；
（2）
解：微信支付的人数为（人），
支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：81°；
（3）
解：将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【名师指路】
本题考查的是条形统计图和扇 ( http: / / www.21cnjy.com )形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21世纪教育网版权所有
22．(本题8分)如图，在东西方 ( http: / / www.21cnjy.com )向的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．21*cnjy*com
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（1）求AB两地的距离：（结果保留根号）
（2）如果该轮船不改变航向继续 ( http: / / www.21cnjy.com )航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）
【标准答案】
（1）
（2）不能，理由见解析
【名师解析】
（1）过点A作AC⊥OB于点C．可 ( http: / / www.21cnjy.com )知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长AB交l于D，比较OD与OM、ON的大小即可得出结论．
（1）
过点A作AC⊥OB于点C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30
∴AC=，
∴
∴
（2）
如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸
延长AB交l于D，
∵AC∥OD
∴
∴
∴，解得
∵MN=1,OM=58
∴ON=59
∴
∴如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸
【名师指路】
本题考查了解直角三角形的应用，此题结合 ( http: / / www.21cnjy.com )方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
23．(本题10分)甲、乙两名实验者在A、B两个实验室进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，经过数据分析，甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图所示且在2小时，乙的舒适指数最大．
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（1）求m、k；
（2）当时，求的较大值；
（3）若规定舒适度小于1时，实验室则不适合人长时间逗留，求至少启动空调多少小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留．
【标准答案】
（1）4，10
（2）
（3）至少启动空调8小时
【名师解析】
（1）根据题意待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意解一元二次方程，求得，进而代入求解，进而比较大小即可；
（3）分别令求得自变量的值，进而根据题意得出结论．
（1）
由题意，甲的舒适指数w甲与空调启动时间x（x≥1）成反比例关系，且W甲的图象过点（1，m+4），（2，m），
由反比例函数的性质可得，1×（m+4）＝2m，解得，m＝4；
∴这两点的坐标为（1，8），（2，4），可得W甲＝．
∵w乙＝﹣2（x﹣h）2+k在2小时，乙的舒适指数最大，且过点（1，8），
∴h＝2，
∴﹣2（1﹣2）2+k＝8，解得k＝10．
（2）
由（1）可得，W甲＝，w乙＝﹣2（x﹣2）2+10，
当w乙＝9，即﹣2（x﹣2）2+10＝9时，
解得，，
当时，w甲＝，则w乙﹣w甲＝，
当时，w甲＝，则w乙﹣w甲＝，
，
∴当w乙＝9时，w乙﹣w甲的较大值为．
（3）
当W甲＝1时，得x＝8；
当W乙＝1时，解得，（舍去），
∵，
∴至少启动空调8小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留．
【名师指路】
本题考查了二次函数与反比例函数综合运用，理解题意以及函数图象的性质是解题的关键．
24．(本题10分)如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
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（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
【标准答案】
（1）抛物线的解析式为y= x2+x+3，对称轴为x=，顶点坐标为(，)；
（2）m=2；
（3）点M的坐标为（，0）或（3，0）．
【名师解析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式，利用配方法可求得此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）先求得直线AB的解析式，得到NP= m2+3m，根据NP= OB，列出方程求解即可；
（3）利用两点间的距离公式计算出AB5，BP，NP= m2+3m，分时，△BPN∽△OBA；时，△BPN∽△ABO两种情况讨论即可求解．www.21-cn-jy.com
（1）
解：∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y= x2+x+3，
∵y= x2+x+3= (x-)2+，
∴此抛物线的对称轴为x=，
顶点坐标为(，)；
（2）
解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（4，0），B（0，3）代入得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=，
∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m， m2+m+3），P（m，），
∴NP= m2+3m，OB=3，
∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴NP= OB，即 m2+3m=3，
整理得：m2-4m+4=0，
解得：m=2；
（3）
∵A（4，0），B（0，3），P（m，），
∴AB=5，BP=，
而NP= m2+3m，
∵PN∥OB，
∴∠BPN=∠ABO，
当时，△BPN∽△OBA，
即，
整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，
此时M点的坐标为（，0）；
当时，△BPN∽△ABO，
即，
整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，
此时M点的坐标为（3，0）；
综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）．
【名师指路】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年人教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21世纪教育网版权所有
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21cnjy.com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年人教版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共30分)
1．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD:DF=2:3，那么下列结论中，正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．东边日出西边雨是不可能事件．
B．抛掷一枚硬币10次，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7．
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定为5000次．
D．小红和同学一起做“钉尖向上”的 ( http: / / www.21cnjy.com )实验，发现该事件发生的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．21教育网
4．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）21·cn·jy·com
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A．1 B． C． D．
5．小明把一副三角板按如图所示叠 ( http: / / www.21cnjy.com )放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15°或45° B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135°
6．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．若关于x的不等式组无解，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数a的和为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（ ）21*cnjy*com
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A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
9．如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）【出处：21教育名师】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 处， 光线从点 出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 的顶端 处． 如果 ， 米， 米， 米， 那么该古城墙的高度是__________米【版权所有：21教育】
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12．为庆祝建党100周 ( http: / / www.21cnjy.com )年，某邮政局推出纪念封系列，且所有纪念封均采用形状、大小、质地都相同的卡片，背面分别印有“改革、开放、民族、复兴”的字样，正面完全相同．如下图，现将6张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小是____________．21教育名师原创作品
13．如图，矩形中，，，以的中点为圆心的弧与相切，则图中阴影部分的面积为__________．21*cnjy*com
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14．已知某函数的图象经过，两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线平行；
②若此函数的图象为双曲线，则也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧．
所有合理推断的序号是______．
15．如图，在中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点D、F，则图中阴影部分的面积是_________．
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16．已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．【来源：21·世纪·教育·网】
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____．
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18．如图，正方形 边长为 ，则 _____________
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三、解答题(共46分)
19．(本题6分)解下列方程
（1）
（2）
20．(本题6分)如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm．
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（1）求∠ACD的度数；
（2）求阴影部分的面积．
21．(本题6分)随着信息技 ( http: / / www.21cnjy.com )术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：2·1·c·n·j·y
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（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都 ( http: / / www.21cnjy.com )想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．21·世纪*教育网
22．(本题8分)如图，在东西方向 ( http: / / www.21cnjy.com )的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求AB两地的距离：（结果保留根号）
（2）如果该轮船不改变航向继续航 ( http: / / www.21cnjy.com )行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）
23．(本题10分)甲、乙两名实验者在A、B两个实验室进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，经过数据分析，甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图所示且在2小时，乙的舒适指数最大．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求m、k；
（2）当时，求的较大值；
（3）若规定舒适度小于1时，实验室则不适合人长时间逗留，求至少启动空调多少小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留．
24．(本题10分)如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
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（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
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