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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年沪教版数学八年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．估计的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间
C．4到5之间 D．5到6之间
【标准答案】B
【名师解析】
先根据二次根式的乘法进行计算，进而根据无理数大小估计求解即可
【过程详解】
解：∵
又
∴
故选B
【名师指路】
本题考查了二次根式的乘法，无理数大小估计，掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
2．对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣3，﹣2）
C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
【标准答案】D
【名师解析】
根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
【过程详解】
解：A、∵k＝6＞0，∴图象在第一、三象限，故A选项正确；
B、∵反比例函数，∴xy＝6，故图象经过点（-3，-2），故B选项正确；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项正确；
D、∵不能确定x1和x2大于或小于0
∴不能确定y1、y2的大小，故错误；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3．如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30km/h B．60km/h C．70km/h D．90km/h
【标准答案】B
【名师解析】
直接观察图象可得出结果．
【过程详解】
解：根据函数图象可知：t=1时，y=90；
∵汽车是从距离某城市30km开始行驶的，
∴该汽车行驶的速度为90-30=60km/h，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的图象，正确的识别图象是解题的关键．
4．某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
根据题意得，第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
【过程详解】
解：根据题意列方程得
1200×（1-x）2=867
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）时间=增长后的量．
5．若、是的两个根，且，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【标准答案】B
【名师解析】
根据根与系数关系得出，由配方得，得出方程，解方程即可．
【过程详解】
解：∵、是的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
解得，
但b=-7时，方程为，此时，所以原方程无实数根，
故选B．
【名师指路】
本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键．【出处：21教育名师】
6．如图，△ABC是等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列说法正确的个数为（ ）
①∠BAD＝∠CBE；②EH⊥AB；③CE＝AF；④AE＝CE+CF；⑤S△EFH＝S△EHC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【名师解析】
先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此可判断①；先判断出是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断②；先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，在上截取，连接，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此可判断③；先根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，从而可得，再证出是等腰直角三角形，从而可得，然后根据线段和差可得，即可判断④；过点作于点，作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可判断⑤．
【过程详解】
解：，
，
，
，
，说法①正确；
，
是等腰直角三角形，，
为的中点，
（等腰三角形的三线合一），说法②正确；
在和中，，
，
，
如图，在上截取，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则垂直平分，
，
，
，
，即，
，说法③错误；
，
垂直平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，说法④正确；
如图，过点作于点，作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等腰直角三角形，是边上的中线，
平分（等腰三角形的三线合一），
，
，说法⑤正确；
综上，说法正确的个数为4个，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是⑤，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．21世纪教育网版权所有
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___．
【标准答案】9
【名师解析】
结合同类二次根式的定义：一般地 ( http: / / www.21cnjy.com )，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．21教育网
【过程详解】
解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
【名师指路】
此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
8．比较大小：___（填入“＜”或“＞”）．
【标准答案】＞
【名师解析】
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可判断.
【过程详解】
解：∵＝，＝，，
∴>，
即>；
故答案为：>．
【名师指路】
此题考查了二次根式大小比较，两个无理数的比较时，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小就行．
9．已知m是方程的根，则代数式的值为______．
【标准答案】2021
【名师解析】
由题意根据m是方程的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【过程详解】
解：是方程的根，
，
，
故答案为：2021．
【名师指路】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．
10．二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是__________________．
【标准答案】a≥﹣且a≠0
【名师解析】
关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，由此可解．21·cn·jy·com
【过程详解】
解：二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，
就是对应的二次方程x2﹣3x﹣4a＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×（﹣4a）＝9+16a≥0且a≠0，
解得a≥且a≠0．
故a的取值范围是a≥且a≠0．
故答案为：a≥且a≠0．
【名师指路】
本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，掌握“一元二次方程根的判别式”是解本题的关键．
11．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式是_____，其中变量是_____，常量是_____．
【标准答案】 a，n 50
略
12．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___．
【标准答案】
【名师解析】
由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案.
【过程详解】
解： 等式成立，
由①得：
由②得：
所以则的取值范围为
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键.
13．在工地一边的靠墙处，用120米长的铁 ( http: / / www.21cnjy.com )栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 ___．
【标准答案】
【名师解析】
设垂直于墙的一边长为x米，根据题意用x表示平行于墙的一边长，再根据面积公式列出方程即可．
【过程详解】
解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（120-2x）米，根据题意得，
故答案为：
【名师指路】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
14．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，___（填“是”或“不是” 的函数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】是
【名师解析】
根据函数的定义判断即可．
【过程详解】
解：两个变量和，变量随的变化而变化，
且对于每一个，都有唯一值与之对应，
是的函数．
故答案为：是．
【名师指路】
本题考查了函数的理解即两个变量和，变量随的变化而变化，
且对于每一个，都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键．
15．把命题“等边对等角”改写成“如果…，那么…”的形式是：_____．
【标准答案】如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等．
【过程详解】
试题分析：根据命题的定义改写即可．
解：“等边对等角”改写为“如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等”．
故答案为如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等．
考点：命题与定理．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】100
【名师解析】
如图：连接BO，CO，根据角平分线性质和中 ( http: / / www.21cnjy.com )垂线性质可得∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；再证△ABO≌△ACO，进而求得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
【过程详解】
解：连接BO，CO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=25°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=25°，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=40°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×40°=100°．
故答案是100．
【名师指路】
本题主要考查了线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质以及翻折变换的性质，正确作出辅助线、构造出等腰三角形是解答本题的关键．
17．如图，一架梯子AB斜靠在左 ( http: / / www.21cnjy.com )墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为_____m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】或
【名师解析】
设，则 结合再利用勾股定理建立方程再解方程求解 再利用勾股定理求解梯子的长即可.
【过程详解】
解：设，则 而
由勾股定理可得：
整理得：
解得：
所以梯子的长度为m.
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键.
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图像分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】3
【名师解析】
根据AB两点分别在反比例函数和正 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数图象上，且存在相同k值，可先证明点A横坐标和B纵坐标相等，利用旋转知识证明△AOB面积为△A′OB的面积，再利用反比例函数k的几何意义．
【过程详解】
如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点A横坐标为a，则A，
∵A在正比例函数y=kx图象上
∴，
∴，
同理，设点B横坐标为b，则B
∴，
∴k＝，
∴，
∴ab=3，
当点A坐标为时，点B坐标为
∴OC=OD，
将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′，
∵BD⊥x轴，
∴B、D、A′共线，
∵∠AOB=45°，∠AOA′=90°，
∴∠BOA′=45°，
∵OA=OA′，OB=OB，
∴△AOB≌△A′OB，
∵S△BOD=S△AOC=3×=，
∴S△AOB=3；
故答案为：3
【名师指路】
本题为代数几何综合题，考查了三角形全等、旋转和反比例函数中k的几何意义．解答的切入点，是设出相应坐标，找出相关数量构造方程．www-2-1-cnjy-com
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)计算：
(1)；
(2)．
【标准答案】(1)0
(2)9
【名师解析】
（1）根据实数的性质化简，即可合并求解；
（2）根据二次根式及乘法公式即可化简求解．
(1)
解：
=0
(2)
=
=9．
【名师指路】
此题主要考查二次根式与实数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
20．(本题6分)解方程：
(1)
(2)
【标准答案】(1)
(2)
【名师解析】
（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
(1)
解：，
，
，
，
；
(2)
解：，
，
，
．
【名师指路】
本题主要考查解一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．www.21-cn-jy.com
21．(本题6分)已知关于x的一元二次方程x2 (2m 2)x+(m2 2m)=0．
(1)请说明该方程实数根的个数情况；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1+1) (x2+1)=8，求m的值．
【标准答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)m=3或-3
【名师解析】
（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2m-2，x1 x2=m2-2m，代入计算即可求出答案．
(1)
解：∵a=1，b= (2m 2)，c= m2 2m，
∴ =2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)
解：∵(x1+1) (x2+1)=8，
整理得x1x2+(x1+x2)+1=8，
∵x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
【名师指路】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法．
22．(本题6分)为适应“新冠肺炎”常态 ( http: / / www.21cnjy.com )化疫情防控需要，去年10月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．据统计，10月份该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的防疫需要．随着秋冬季的来临，防疫的压力加大，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比10月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．2·1·c·n·j·y
【标准答案】
【名师解析】
根据11月份口罩需求比10月份增加了20%等于家庭人数和社区工作人员所用量，列一元二次方程即可．
【过程详解】
解：根据题意得：
整理得
解得
当时，
当时，，不符合题意，舍去
故
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
23．(本题6分)如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形．
(1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ；21·世纪*教育网
(2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】(1)
(2)
【名师解析】
（1）过点M作MH⊥OB于点H，得△MOB是等腰直角三角形，根据勾股定理可求出MH=3，再根据直角三角形的性质可求出MO的值；2-1-c-n-j-y
（2）过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点，设，通过解直角三角形COF和DBG得，，求出a的值，再运用待定系数法求解即可
(1)
如图，过作轴交轴于点，设
因为， 是一个等腰直角三角形
所以， ．
所以直角也是等腰直角三角形，
即
由 得：．
又 是等边三角形，所以
因此：，
所以
在中，，
即：，解得：， (舍)
所以．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点
( http: / / www.21cnjy.com / )
设
因为 是等边三角形，所以，
所以，
所以 ， ，
因为，
所以，
因此，所以
在中，，
在中，，
因此，
因为点 和点 在上
则： 解得： ，
所以反比例函数解析式为．
【名师指路】
本题主要考查了直角三角形的性质以及运用待定系数法求反比例函数关系式，用a表示出点C和点D的坐标是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
24．(本题8分)平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点关于轴的对称点为点，连接，，且交轴于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)补全图形，并填空；
①若点，则点的坐标是__________；
②若，则________．
(2)若，求证：垂直平分；
(3)若时，探究的数量关系，并证明．
【标准答案】(1)①D(-2，3) ②∠BEO=60°；
(2)答案见解析；
(3)DE= AE+2EO，证明见解析．
【名师解析】
（1）①根据关于y轴的对称的性质可得答案 ( http: / / www.21cnjy.com )，关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；②根据C、D两点关于y轴的对称，可知y轴是线段CD的垂直平分线，得AD=AC、∠CAF=∠DAF，然后由等边△ABC得AC=AB，最后得AD=AB，∠ADB=∠ABD，即可得答案；21*cnjy*com
（2）由|a 3|+b2 6b+9=0，得a=b，得∠BAO=45°，然后根据平角得∠CAF的度数、∠CAG的度数，即可得答案；【版权所有：21教育】
（3）先证∠EBO=30°，得BE=2EO，然后作HE=AE，证△ADE≌△ABH，得DE=BH，最后证BH= AE+2EO，即可得答案．21*cnjy*com
(1)
解：补全图形如下图
( http: / / www.21cnjy.com / )
①∵C、D两点关于y轴的对称的两点，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∵C(2，3)，
∴D(-2，3)；
②∵C、D两点关于y轴的对称，∠CAD=140°，
∴∠CAF=∠DAF=140°× =70°
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，AC=AB，
∴∠BAE=180°-70°-60°=50°，
∵C、D两点关于y轴的对称，
∴AD=AC，
∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=[180°-（360°-140°-60°）] ×=10°
∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°；
(2)
如下图：延长DA交BC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵|a 3|+b2 6b+9=0，
∴|a 3|+（b 3）2=0，
∴a=b=3，
∴AO=BO，
∴∠BAO=45°，
∴∠CAF=180°-45°-60°=75°，
∴∠CAG=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAG=60°-30°=30°，
∴∠CAG=∠BAG，
∴AD垂直平分BC；
(3)
如下图：作HE=AE，连接AH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵C、D两点关于y轴的对称，
∴∠CAF=∠DAF，
∴∠CAE=∠DAE ，
∵∠CAE=60°+∠BAO，
∴∠DAE=60°+∠BAO，
∴∠DAB=60°+2∠BAO，
∴∠DBA=[ 180°－（60°+2∠BAO）] ×=60°－∠BAO，
∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°－∠BAO=60°，
∴∠EBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴BE=2EO，
∵HE=AE，∠BEA=∠AEH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AH=AE，∠HAE=60°，
∴∠DAH=∠BAO，
∵∠DAE=∠DAH+60°，∠BAH=∠BAO+60°，
∴∠DAE=∠BAH，
在△ADE和△ABH中，
，
∴△ADE≌△ABH，
∴DE=BH，
∵HE=AE，BE=2EO，
∴BH=BE+HE= AE+2EO，
∴DE= AE+2EO．
【名师指路】
本题考查了关于y轴的对称的性质、等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、三角形的内角与外角的性质，垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°的解对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质，做题的关键是作辅助线，构造△ADE≌△ABH．【来源：21cnj*y.co*m】
25．(本题8分)定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．21教育名师原创作品
(1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值；
(3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积．
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【标准答案】(1)这个三角形是“平方倍三角形”．理由见解析；
(2)
(3)或
【名师解析】
(1)根据“一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍”即可判断；
(2)根据勾股定理得到；再由三角形是平方倍三角形得到或，解方程组即可求解；
(3)证明△ABC为直角直角三角形，然后再由是平方倍三角形分AD +CD =3AC 和AD +AC =3CD 两种情况讨论即可．
(1)
解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下：
∵，，
∴，
∴这个三角形是“平方倍三角形”．
(2)
解：∵三角形为直角三角形，且直角边长为a和b，斜边为c，
∴由勾股定理可知：，
∵三角形是平方倍三角形，
∴或者，
当时：由①、②两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
当时：由①、③两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
综上所述：．
(3)
解：如下图所示：
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∵CD为ABC的中线，
∴AD=BD=AB，
由已知CD＝AB，
∴AD=CD=BD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC，
又△ABC内角和为180°，
∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴2∠DCA+2∠DCB=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，
由已知条件是平方倍三角形可知：
设AD=CD=DB=x(x>0)，
情况一：当AD +CD =3AC 时：得到3AC =2x ，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
情况二：当AD +AC =3CD 时：得到AC =2x ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
综上所述：△ABC的面积为或．
【名师指路】
本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．21cnjy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21教育网
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21cnjy.com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年沪教版数学八年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．估计的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间
C．4到5之间 D．5到6之间
2．对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣3，﹣2）
C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
3．如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）21·cn·jy·com
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A．30km/h B．60km/h C．70km/h D．90km/h
4．某运动品牌的一款跑步鞋经过最近的两次降价，使每双的价格由1200元降至867元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C． D．
5．若、是的两个根，且，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，△ABC是等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列说法正确的个数为（ ）
①∠BAD＝∠CBE；②EH⊥AB；③CE＝AF；④AE＝CE+CF；⑤S△EFH＝S△EHC．
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___．
8．比较大小：___（填入“＜”或“＞”）．
9．已知m是方程的根，则代数式的值为______．
10．二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是__________________．
11．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式是_____，其中变量是_____，常量是_____．www.21-cn-jy.com
12．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___．
13．在工地一边的靠墙处，用120米长的铁 ( http: / / www.21cnjy.com )栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 ___．【来源：21·世纪·教育·网】
14．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，___（填“是”或“不是” 的函数．21·世纪*教育网
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15．把命题“等边对等角”改写成“如果…，那么…”的形式是：_____．
16．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
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17．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时， ( http: / / www.21cnjy.com )梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为_____m．www-2-1-cnjy-com
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18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图像分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________．21*cnjy*com
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三、解答题(共46分)
19．(本题6分)计算：
(1)；
(2)．
20．(本题6分)解方程：
(1)
(2)
21．(本题6分)已知关于x的一元二次方程x2 (2m 2)x+(m2 2m)=0．
(1)请说明该方程实数根的个数情况；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1+1) (x2+1)=8，求m的值．
22．(本题6分)为适应“新冠肺炎”常态化疫 ( http: / / www.21cnjy.com )情防控需要，去年10月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．据统计，10月份该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的防疫需要．随着秋冬季的来临，防疫的压力加大，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比10月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．2-1-c-n-j-y
23．(本题6分)如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形．
(1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ；21世纪教育网版权所有
(2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由)
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24．(本题8分)平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点关于轴的对称点为点，连接，，且交轴于点．
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(1)补全图形，并填空；
①若点，则点的坐标是__________；
②若，则________．
(2)若，求证：垂直平分；
(3)若时，探究的数量关系，并证明．
25．(本题8分)定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值；
(3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积．【出处：21教育名师】
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