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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。2-1-c-n-j-y
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21*cnjy*com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年沪教版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题4分，共24分)
1．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
【标准答案】D
【名师解析】
各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【过程详解】
解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y，
则可知，D一定正确，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
2．在中，∠，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【名师解析】
根据，设AB=3x，BC=x，勾股定理求出AC，根据三角函数的定义求即可．
【过程详解】
解：∵在中，，，
∴设AB=3x，BC=x，
则，
∴，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函数的意义计算．
3．已知点、、均在抛物线上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【名师解析】
根据解析式求得对称轴，根据开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大进行分析判断即可
【过程详解】
的对称轴为，，开口向上，
点、、均在抛物线上，
在顶点，则最小，
又
故选A
【名师指路】
本题考查了图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．∥ C． D．与方向相同
【标准答案】D
【名师解析】
根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答．
【过程详解】
解：∵，，且，
∴，即=﹣3，
∴，∥，与方向相反，
所以，选项A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【名师指路】
本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．
5．下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
【标准答案】C
【名师解析】
根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【过程详解】
解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
6．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数中k的值是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1
【标准答案】A
【名师解析】
过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，那么，进而得出答案．
【过程详解】
解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：，
，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出．
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．2021年5月，国家统计局发布 ( http: / / www.21cnjy.com )了第七次全国人口统计数据：全国共有人口141178万，用科学记数法表示141178万人，那么可以表示为_________万人．（保留两个有效数字）【出处：21教育名师】
【标准答案】1.4×105
【名师解析】
科学记数法的表示形式为a× ( http: / / www.21cnjy.com )10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【版权所有：21教育】
【过程详解】
解：141178≈1.4×105，
故答案为：1.4×105．
【名师指路】
此题考查科学记数法的表示方法． ( http: / / www.21cnjy.com )科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．21教育名师原创作品
8．2022年2月4日—2 ( http: / / www.21cnjy.com )月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转___°能与原雪花图案重合．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】60
【名师解析】
“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【过程详解】
“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【名师指路】
本题考查图形的旋转以及正多边形，掌握相关知识点是解题的关键．
9．将抛物线向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．
【标准答案】
【名师解析】
函数图象上下平移时，根据“上加下减”求解即可．
【过程详解】
抛物线向下平移3个单位后表达式为：，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查函数图象平移，熟记平移法则是解题关键．
10．已知，那么______．
【标准答案】
【名师解析】
计算自变量为-2对应的函数值即可．
【过程详解】
把代入得．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了求函数的值，简单题，正确计算是关键．
11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是______．（填一个即可）
【标准答案】0
【名师解析】
根据根的判别式确定字母的取值范围，即可写出答案．
【过程详解】
解：由题意可知：Δ＝22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＝-8a+12＞0，
∴a＜1.5，
∵1﹣a≠0，
∴a＜1.5且a≠1，
故答案为：0．（答案不唯一）
【名师指路】
本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，确定字母的取值范围．
12．无理方程＝﹣x的实数解是_____．
【标准答案】-1．
【名师解析】
化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案．
【过程详解】
解：将＝﹣x两边平方得：2x+3=x2，
整理得x2-2x-3=0，
解得x1=3，x2=-1，
当x1=3，左边=，右边=-3，
∴左边≠右边，
∴x1=3不是原方程的解，舍去，
当x2=-1时，左边=，右边=1，
∴左边=右边，
∴x2=-1是原方程的解，
∴x=-1，
故答案为：-1．
【名师指路】
本题考查解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键．
13．2022年春节贺岁档影片即将上映 ( http: / / www.21cnjy.com )，小明、小红二人准备在《四海》、《奇迹》、《断桥》、《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________．
【标准答案】##0.25
【名师解析】
用a表示《四海》，b表示《奇迹》，c表示《断桥》，d表示《狙击手》，列树状图求解．
【过程详解】
解：用a表示《四海》，b表示《奇迹》，c表示《断桥》，d表示《狙击手》，
列树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能的情况，其中二人恰好选择同一部影片观看的有4种，
∴P（二人恰好选择同一部影片观看）==，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了列举法求事件的概率，正确掌握列举法的解题方法及概率的计算公式是解题的关键．
14．如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】92°
【名师解析】
根据正五边形的内角和平行线的性质解答即可．
【过程详解】
解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°，
∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，
∵l1∥l2，∠3＝88°，
∴∠2＝180°﹣88°＝92°，
故答案为：92°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了正多边形的内角和与平行线的性质，准确计算是解题的关键．
15．不等式组的解集是_____．
【标准答案】2＜x＜3
【名师解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．21·世纪*教育网
【过程详解】
解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式x﹣3＜0，得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
【名师指路】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
16．小张、小王两个人从甲地出发，去 ( http: / / www.21cnjy.com )8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是_____分钟．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】6
【名师解析】
根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程=8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【过程详解】
解：由图像可知：
设OA的解析式为：y＝kx，
∵OA经过点（60，5），
∴5＝60k，得k＝，
∴OA函数解析式为：y＝x，
把y＝8代入y＝x得：8＝x，
解得：x＝96，
∴小张到达乙地所用时间为96（分钟）；
设PB的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴PB的解析式为：y＝x﹣1，
把y＝8代入y＝x﹣1得：8＝x﹣1，
解得：x＝90，
则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟），
∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）．
故答案为：6．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
17．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在 ( http: / / www.21cnjy.com )课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【名师解析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【过程详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
18．在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【名师解析】
①如图1所示，由题意知，EF为△ABC的中位线，∠EFC＝∠ABC＝45°，∠PAO＝45°，∠PAO＝∠OFH，∠POA＝∠FOH，∠H＝∠APO，在Rt△APC中，EA＝EC，有PE＝EA＝EC，∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∠H＝∠BAH，BH＝BA，∠ADP＝∠BDC＝45°，∠ADB＝90°，知BD⊥AH，∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∠ADB＝∠ACB＝90°，有A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∠DAC＝∠DCA＝22.5°，知DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，tan∠CAP＝＝计算求解即可；②如图2所示，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝，PC＝a﹣a，tan∠CAP＝，计算求解即可，而情形2满足要求．
【过程详解】
解：①如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
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∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，
设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，
∴tan∠CAP＝＝＝+1；
②如图2中，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝
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∴PC＝a﹣a，
∴tan∠CAP＝＝＝，
∵点P在线段EF上，
∴情形1不满足条件，情形2满足条件；
故答案为：﹣1．
【名师指路】
本题考查了中位线，等腰三角形的判定与性质，旋转，直角三角形斜边上中线的性质，正切函数等知识点．解题的关键在于表示出正切中线段的长度．21cnjy.com
三、解答题(共78分)
19．(本题10分)计算：．
【标准答案】．
【名师解析】
第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值性质解答即可．
【过程详解】
解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【名师指路】
本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关键．
20．(本题10分)解方程组：．
【标准答案】，
【名师解析】
因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再重新与①组成方程组，求解即可．
【过程详解】
解：由②，得（x+3y）（x﹣y）＝0，
所以x+3y＝0③或x﹣y＝0④．
由①③、①④可组成新的方程组：
，．
解这两个方程组，得，．
所以原方程组的解为：，．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．
21．(本题10分)如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象交于点，与轴交于点，连接．21教育网
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出的解集；
(3)将直线沿着射线平移个单位得到直线，直线与交于点，为反比例函数图象上一点，当时求点的横坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
【标准答案】(1)
(2)或
(3)或
【名师解析】
（1）将点代入直线即可求得的值，进而求得点的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求得反比例函数的解析式；
（2）联立反比例函数和直线解析式求得交点坐标，结合函数图象即可求得不等式的解集；（3）根据点的坐标，即可求得的长，根据题意平移的方式求得，即可求得点的坐标，进而求得平移后的直线解析式，根据点在直线上，联立反比例函数和直线解析式求得交点坐标．
(1)
解：直线与反比例函数在第二象限内的图象交于点，
解得
反比例函数
(2)
由
解得，
的解集为：或
(3)
将直线沿着射线平移个单位得到直线，直线与交于点，
即点为的中点
则过，且与平行，即
过点
即
解得
平移后的直线解析式，
点是直线上与反比例函数的交点
则
即
整理得
解得
点的横坐标为或
【名师指路】
本题考查了一次函数与反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数综合，根据图象求不等式的解集，一次函数的平移，勾股定理求两点的距离，解一元二次方程，理解题意掌握一函数的平移是解题的关键．
22．(本题10分)如图，在同一剖面内，小明在点处用测角仪测得居民楼的顶端的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚处，沿着斜坡上行25米到达点，用测角仪测得点的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底处，若斜坡的坡度为，请你求出居民楼的高度．
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到米．参考数据：，，，）
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【标准答案】居民楼的高度约为16.7米
【名师解析】
根据题意如图过C作于P，延长FE交BD于R，利用勾股定理得出CP、BP，进而结合两个正切值进行分析计算并依据建立方程求解即可得出答案.
【过程详解】
解：如图过C作于P，延长FE交BD于R，
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∵斜坡的坡度为，即, （米），
设，
勾股定理可得：，解得：m=5或-5（舍去），
∴（米），（米），
∵，,
∴四边形CERP是矩形，
∴CE=PR,（米），
设（米），
可得，则（米），
又可得，
则（米），
∵,
∴，解得：，
∴（米）.
答：居民楼的高度约为16.7米.
【名师指路】
本题考查仰角与俯角、坡度、解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形等知识知识．注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．(本题12分)如图，矩形中，，点分别在上，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．
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（1）求证：；
（2）若点在的平分线上，求的长；
（3）若与重叠部分图形的周长为，求的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【名师解析】
（1）证明△BMN∽△BAC得到∠BMN=∠BAC，即可证明；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠BCE=∠NEC，可得NE=NC=4-4x，得到MN，根据MN的长列出方程，解之即可；
（3）首先计算点F在AC上时重叠部分的周 ( http: / / www.21cnjy.com )长，判断出点F在△ABC外部，过H作HG⊥MN，垂足为G，分别表示出此时重叠部分各线段的长，列出方程，求出x值即可．
【过程详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∵BM=3x，BN=4x，
∴，又∠MBN=∠ABC，
∴△BMN∽△BAC，
∴∠BMN=∠BAC，
∴MN∥AC；
（2）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ACE，
∵MN∥AC，
∴∠ACE=∠NEC，
∴∠BCE=∠NEC，
∴NE=NC，
∵NC=BC-BN=4-4x，
∴NE=4-4x，
由旋转可得：ME=MB=3x，
∴MN=ME+NE=3x+4-4x=4-x，
∵MN==5x，
∴4-x=5x，解得：x=，
∴BM=3x=2；
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（3）当点F在△ABC内部时，重叠部分图形的周长即△MEF的周长，随x的增大而增大，
当点F在AC上时，
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠A，∠NMF=∠AFM，
由旋转可知：∠BMN=∠EMF，MF=MN=5x，
∴∠MFA=∠A，
∴MA=MF=5x，
∴3x+5x=3，
∴x=，
此时，重叠部分图形的周长，即△MEF的周长=12x=＜，
∴重叠部分图形的周长为时，F必然在△ABC外；
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当F在△ABC外时，过H作HG⊥MN，垂足为G，
∵MN∥AC，
∴∠BAC=∠BMN，∠AHM=∠HMN，
由旋转可知：∠BMN=∠EMF，
∴∠BAC=∠AHM，
∴MH=MA=3-3x，
∵HG⊥MN，EF⊥MN，
∴HG∥EF，
∴△MHG∽△MFE，
∴，
∴PE=GH=（3-3x），MG=（3-3x），
∴HP=GE=ME-MG=3x-（3-3x），
此时重叠部分图形的周长为PH+PE+ME+MH=，
∴2[3x-（3-3x）]+（3-3x）+（3-3x）+3-3x=，
解得：x=；
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综上：的值为．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，知识点较多，前两问难度不大，（3）中的难点在于判断出点F在△ABC的外部．21世纪教育网版权所有
24．(本题12分)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且点为；www-2-1-cnjy-com
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(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)点为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；
(3)若点是轴上一点，且，请直接写出点的坐标．
【标准答案】(1)，；
(2)，，，；
(3)或
【名师解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）先求出AF长，再根据AF为腰或底边分三种情况进行讨论，即可解答；
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题．2·1·c·n·j·y
(1)
抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
(2)
∵抛物线，
∴顶点坐标，
当点A为顶点，AF为腰时，AF=AG，此时点G与点F是关于x轴的对称，故此时；
当点F为顶点，AF为腰时，FA=FG，此时
当点G为顶点，AF为底时，设，
，解得，
综上所述：
(3)
如图，将线段绕点逆时针旋转得到，则，
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设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
将线段绕点顺时针旋转得到，，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【名师指路】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(本题14分)如图，等边中，点D在边上，经过点D的直线l与边相交于点E（点D和点E都不在的顶点上），点P在直线l上．
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(1)若与关于直线对称，直线于点Q，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若与关于某直线对称，
①若，求点P到边的距离；
②若，求此时线段的长度．
【标准答案】(1)BQ=3AQ；
(2)①2；②2
【名师解析】
（1）利用等边三角形的性质，对称原理，证明四边形ABCP是菱形，后利用30°角的性质解答即可；
（2）①根据图形的对称性，确定AP在线段BC的垂直平分线上，根据题目的特点，推证即可；
②与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为Q，利用勾股定理，30°角的性质，计算即可．
(1)
与的数量关系是：BQ=3AQ；理由如下：
如图，∵与关于直线对称，直线于点Q，是等边三角形，
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∴AB=BC=CP=PA，
∴四边形ABCP是菱形，
∴AP∥BC，
∴∠QAP=∠B=60°，
∴∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴BQ=AB+AQ=AP+AQ =3AQ．
(2)
①∵与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，
∴A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为F，如图，
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∴∠BAP=∠PAC=30°，∠BFP=90°，
∵AE=PE，
∴∠APE=∠PAE=30°，
∴∠PEC=60°，
∵∠ECD=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵PD=PE，
∴∠PCB=∠PCA=∠PBC=∠PBA =∠PAB= 30°，
∴PF=BP，PA=PB=PC，
∴点P到三角形各边的距离相等，
∵BP=4，
∴PF=2，
∴点P到边的距离为2；
②∵与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，
∴A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为Q，如图，
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设PQ=y，BD=x，
∵CD=2BD，
∴CD=2x，BC=3x，QC=，DQ=2BD-==，
∵
∴，
∴PC=xy，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴x=2或x=-2（舍去），
∴CD=4，PD=2，
∴∠PCD =∠PCE= 30°，
∴PE=PD=2．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称，菱形的判定，勾股定理，30°角的性质，熟练掌握轴对称，三角形的相似是解题的关键．21·cn·jy·com
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21教育网
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21·cn·jy·com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（满分卷）2021-2022学年沪教版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题4分，共24分)
1．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
2．在中，∠，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点、、均在抛物线上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．∥ C． D．与方向相同
5．下列图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
6．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数中k的值是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．2021年5月，国家统计局发布 ( http: / / www.21cnjy.com )了第七次全国人口统计数据：全国共有人口141178万，用科学记数法表示141178万人，那么可以表示为_________万人．（保留两个有效数字）2·1·c·n·j·y
8．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥 ( http: / / www.21cnjy.com )会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转___°能与原雪花图案重合．21·世纪*教育网
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9．将抛物线向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．
10．已知，那么______．
11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是______．（填一个即可）
12．无理方程＝﹣x的实数解是_____．
13．2022年春节贺岁档影片即将上映，小 ( http: / / www.21cnjy.com )明、小红二人准备在《四海》、《奇迹》、《断桥》、《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________．21cnjy.com
14．如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．
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15．不等式组的解集是_____．
16．小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外 ( http: / / www.21cnjy.com )的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是_____分钟．【来源：21·世纪·教育·网】
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17．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校 ( http: / / www.21cnjy.com )在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
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18．在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝_______．2-1-c-n-j-y
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三、解答题(共78分)
19．(本题10分)计算：．
20．(本题10分)解方程组：．
21．(本题10分)如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象交于点，与轴交于点，连接．www.21-cn-jy.com
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出的解集；
(3)将直线沿着射线平移个单位得到直线，直线与交于点，为反比例函数图象上一点，当时求点的横坐标．21*cnjy*com
22．(本题10分)如图，在同一剖面内，小明在点处用测角仪测得居民楼的顶端的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚处，沿着斜坡上行25米到达点，用测角仪测得点的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底处，若斜坡的坡度为，请你求出居民楼的高度．【来源：21cnj*y.co*m】
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到米．参考数据：，，，）
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23．(本题12分)如图，矩形中，，点分别在上，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．
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（1）求证：；
（2）若点在的平分线上，求的长；
（3）若与重叠部分图形的周长为，求的值．
24．(本题12分)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且点为；www-2-1-cnjy-com
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(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)点为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；
(3)若点是轴上一点，且，请直接写出点的坐标．
25．(本题14分)如图，等边中，点D在边上，经过点D的直线l与边相交于点E（点D和点E都不在的顶点上），点P在直线l上．【出处：21教育名师】
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(1)若与关于直线对称，直线于点Q，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若与关于某直线对称，
①若，求点P到边的距离；
②若，求此时线段的长度．
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