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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。【出处：21教育名师】
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21*cnjy*com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年沪教版数学九年级下学期开学考摸底卷（教师版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题4分，共24分)
1．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是 B．的立方根是
C．是2的平方根 D．是的平方根
【标准答案】D
【名师解析】
根据平方根和立方根的概念判断即可．
【过程详解】
解：A、1的平方根是，说法正确，故本选项不符合题意；
B、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意；
C、是2的平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
D、是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了平方根和立方根的概念，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
2．在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020 ( http: / / www.21cnjy.com )年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【名师解析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【过程详解】
解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【名师指路】
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3．新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温（℃） 36.3 36.7 36.2 36.3 36.2 36.4 36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
【标准答案】C
【名师解析】
根据中位数、众数的意义求解即可．
【过程详解】
解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
【名师指路】
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解题的关键．
4．对于命题：①如果一个圆上所有的 ( http: / / www.21cnjy.com )点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【标准答案】A
【名师解析】
根据圆与圆的位置关系判断即可．
【过程详解】
解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．
5．关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是（ ）
A．图像经过点 B．y随x的增大而增大
C．图像不经过第四象限 D．图像与直线y＝－2x平行
【标准答案】D
【名师解析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【过程详解】
解：A、当x＝ 2，y＝ 2x＋1＝ 2×（ 2）＋1＝5，则点（ 2，1）不在函数y＝ 2x＋1图象上，故本选项错误；
B、由于k＝ 2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；
C、由于k＝ 2＜0，则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝ 2x＋1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；
D、由于直线y＝ 2x＋1与直线y＝ 2x的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一次函数y＝k ( http: / / www.21cnjy.com )x＋b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b＝0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方．
6．下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【名师解析】
A中方程，移项并平方可得一次方程，求解得的值，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根；B中方程，移项并平方可得一次方程，该一次方程无解，故原方程无实数根；C中方程平方移项得x2﹣5x+7＝0，由于，此方程无实数根，故原方程无实数根；D中方程平方移项得x2﹣7x+11＝0，由于，可得此方程的解是：或，判断将代入原方程中算术平方根是否有意义，若有则存在实数根．
【过程详解】
解：A中∵
∴
平方得
解得x＝2.5
∵2﹣x＜0，算术平方根无意义
∴原方程无实数根， 故本选项不符合题意；
B中∵
∴
平方得
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C中∵
平方移项得x2﹣5x+7＝0
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D中∵
平方移项得x2﹣7x+11＝0
∴方程的解是：或
∵，
∴原方程有实数根，故本选项符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了无理方程，一元二次方程的根，算术平方根的非负性等知识．解题的关键在于正确的进行求解．
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 _____．
【标准答案】
【名师解析】
根据正比例函数的性质列不等式求解即可．
【过程详解】
解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得，k＜2．
故填：k＜2．
【名师指路】
本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
8．已知f（x）＝，那么f（）＝___．
【标准答案】或或
【名师解析】
把代入函数解析式进行计算即可.
【过程详解】
解： f（x）＝，
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是已知自变量的值求解函数值，理解的含义是解本题的关键.
9．第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】0.9或910
【名师解析】
根据题意可得长方形的面积，然后依据骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，总面积乘以频率即为会徽图案的面积．
【过程详解】
解：由题意可得：长方形的面积为，
∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，
∴会徽图案的面积为：，
故答案为：．
【名师指路】
题目主要考查根据频率计算满足条件的情况，理解题意，熟练掌握频率的计算方法是解题关键．
10．小明已有两根长度分别是2cm和5cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于_____．
【标准答案】
【名师解析】
根据三角形的三边关系结合概率公式即可得出答案．
【过程详解】
解：∵已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，
∴设第3根竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：3＜x＜7，
故只有4cm符合题意，
则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了概率的求解，利用三角形三边关系求解是解题的关键．
11．已知x为不等式组的解，则的值为______．
【标准答案】2
【名师解析】
解不等式组得到x的范围，再根据绝对值的性质化简．
【过程详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴
=
=
=2
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了解不等式组，绝对值的性质，解题的关键是解不等式组得到x的范围．
12．如果反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是 _____（写出一个即可）．www.21-cn-jy.com
【标准答案】3（答案不唯一）
【名师解析】
根据反比例函数图像的性质：当时，当x＞0时，y随x的增大而减小，当时，当x＞0时，y随x的增大而增大，进行求解即可．21·世纪*教育网
【过程详解】
解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴的值可以为3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数图像的性质，熟知反比例函数图像的性质是解题的关键．
13．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=________．
【标准答案】
【名师解析】
根据向量数量积可得，根据向量加减法的互逆性质的即可．
【过程详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查向量的数量积，与向量加减法则，掌握向量的数量积，与向量加减法则是解题关键．
14．如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1=_______度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】72
【名师解析】
根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得结果．
【过程详解】
正五边形的每个内角为
∵多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图
∴△ABC、△BCD均为等腰三角形，且∠ABC=∠BCD=108°
∴
∴∠1=∠BCA+∠CBD=72°
故答案为：72
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了正多边形的性质及多边形的内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形性质等知识，掌握正多边形的性质及多边形内角和定理是本题的关键．2·1·c·n·j·y
15．如果关于x的方程2+3x-m=0无解，那么m的取值范围是_________．
【标准答案】m＜
【名师解析】
将左边配方，根据负数没有平方根，确定m的范围．
【过程详解】
∵2+3x-m=0，
∴，
∵2+3x-m=0无解，
∴＜0，
∴m＜，
故答案为：m＜．
【名师指路】
本题考查了配方法，实数没有平方根的条件，熟练配方，准确理解无解就是实数没有平方根是解题的关键．
16．方程的解是___．
【标准答案】
【名师解析】
将方程两边平方整理得到关于x的一元二次方程，然后求解即可．
【过程详解】
方程两边平方得，x2﹣x＝2，
整理得，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验，x1＝2，x2＝﹣1都是原方程的根，
所以，方程的解是x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．
【名师指路】
本题考查了无理方程，一元二次方程的解法，转化无理方程为一元二次方程是解题的关键．
17．在实数范围内，因式分解：_________．
【标准答案】
【名师解析】
先配方，再采用平方差公式进行分解．
【过程详解】
解：原式=
=
=
【名师指路】
本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键．
18．如图，边长为4的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，E为AD的中点，连接CE交BD于F，连接AF，过A作AM⊥AF交CE的延长线于M，则DM的长为________．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【名师解析】
作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=1，利用MN∥CD得求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．2-1-c-n-j-y
【过程详解】
解：作MN⊥AD垂足为N．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME
∵AE=ED=AD=2，
∴AN=NE=AE=1，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴，
∵CD=4，
∴MN=2，
在RT△MND中，∵MN=2，DN=3，
∴DM=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．21cnjy.com
三、解答题(共78分)
19．(本题10分)（1）计算：．
（2）解方程：．
【标准答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）先计算的余弦，负整数指数幂的运算，二次根式的化简，再合并即可；
（2）把方程的左边分解因式，再利用因式分解法解方程即可.
【过程详解】
解：（1）
（2）
或
解得：
【名师指路】
本题考查的是二次根式的化简， ( http: / / www.21cnjy.com )负整数指数幂的运算，特殊角的余弦值的计算，二次根式的加减运算，一元二次方程的解法，掌握以上基础运算是解本题的关键.【来源：21cnj*y.co*m】
20．(本题10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试用、表示；
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21教育名师原创作品
【标准答案】（1）；（2）见解析，
【名师解析】
（1）首先证明，求出即可求解；
（2）证明，求出即可解决问题．
【过程详解】
解（1）∵
∴
∴
∴；
（2）∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴
如图所示，在、上的分向量分别为和．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．
21．(本题10分)如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【标准答案】(1)见解析
(2)3，2
【名师解析】
（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
(1)
证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)
∵OE∥BC，
∴，
∵CD=4，CE=6，
∴，
设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴（3x）2+42=（5x）2，
解得，x=1，
∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB=∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC=，
∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．
【名师指路】
本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
22．(本题10分)如图是位于 ( http: / / www.21cnjy.com )奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”, 它建于 1996 年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物, 该记录一直保持到 2017年, 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图, 在电视塔附近的高楼楼顶 处测量塔顶 处的仰角和塔底 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层, 每层高约 米, 在高楼楼项 处测得塔顶 处的仰角为 , 塔底 处的俯角为 .
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：, , ．
根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．
【标准答案】168米
【名师解析】
作CE⊥AB于E，则在Rt△BCE中由正 ( http: / / www.21cnjy.com )切关系可求得CE的长，再在Rt△ACE中，由正切关系可求得AE的长，从而可求得AB的长，即电视发射塔的高．
【过程详解】
由题意CD=12×2.8=33.6(米)
作CE⊥AB于E，如图所示
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠CEA=∠CEB=90°
∵CD⊥BD，AB⊥BD
∴∠CDB=∠DBE=∠CEB=90°
∴四边形CDBE是矩形
∴BE=CD=33.6米
∵∠ECB=22°，∠ACE=58°
在Rt△BCE中，（米）
在Rt△ACE中，(米)
∴AB=AE+BE=134.4+33.6= 168(米)
即电视发射塔的高度为168米
【名师指路】
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，关键是理解题中的仰角、俯角的含义，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形来解决．
23．(本题12分)如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）线段CD＝ ．
（2）当点P在线段BC上时，PC＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；
（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
【标准答案】（1）4；（2）；（3）或；（4）或．
【名师解析】
（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后根据勾股定理即可求出线段CD的长度；
（2）根据点P运动的速度求出点P运动的路程，然后减去AC的长度即可求出PC的长度；
（3）分两种情况，当点P在线段AC上时和点P ( http: / / www.21cnjy.com )在线段BC上时，分别利用相似三角形的性质计算出点M在线段CD上时和点M在线段BC上时的时间，即可求出t的取值范围；
（4）分两种情况，当点P在线段AC上时和点P在线段BC上时，分别得出点M在线段CD上时和点M在线段BC上时是直角三角形，然后利用相似三角形的性质求出t的值，即可得出△CPM为锐角三角形时t的取值范围．
【过程详解】
解：（1）∵在△ABC中，AC＝BC＝5
∴是等腰三角形
∵CD⊥AB于点D
∴（三线合一）
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：4；
（2）∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动
∴点P运动的路程为5t
∴当点P在线段BC上时，
故答案为：；
（3）当点P在线段AC上时，
由题意得，，AC＝5，
如图所示，当点M在线段CD上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PQ⊥AB，CD⊥AB，
∴
∴
∴
∴，即，解得：，，
∴，
∵PM＝2PQ，
∴，
∵CD⊥AB，PQ⊥AB，PM⊥PQ，
∴四边形PQDM是矩形，
∴，
∴，解得：，
如图所示，当点M在线段BC上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得，，，，，，
∵PQ⊥AB，PM⊥PQ，
∴
∴
∴
∴，即，解得：，
∴当时，点M落在△BCD的内部；
如图所示，当点P在线段BC上时，当点M在线段CD上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，则，
同理可得，四边形MDQP是矩形，，
∴，，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∴，
当点P运动到B点时，，
∴当时，点M落在△BCD的内部，
综上所述，当点M落在△BCD的内部时，t的取值范围是或；
（4）当点M在线段CD上时，，即是直角三角形，
由（3）可得，此时，
当时，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，，则，，
∵，，
又∵，
∴
∴，即，解得：，
∴当时，是锐角三角形；
当点M在线段BC上时，
当时，即是直角三角形，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，则，，，，
同理可得，，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∵当点M在CD上时，此时，即是直角三角形，
由（3）可得，此时，
∴当时，是锐角三角形，
∴综上所述，当△CPM为锐角三角形时，t的取值范围是或．
【名师指路】
此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，勾股定理，三角形动点问题等知识，解题的关键是根据题意画出相应的图形，分情况讨论利用相似三角形的性质求解．21*cnjy*com
24．(本题12分)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)D为CO的中点，一个动点G从 ( http: / / www.21cnjy.com )D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
【标准答案】(1)
(2)存在，点或
(3)，
【名师解析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN=MN+PM=，即可求解；
（3）作点C关于函数对称轴的对称点C′（ ( http: / / www.21cnjy.com )2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解．
(1)
由题意得，点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，则
，
解得，
故抛物线的表达式为y=-x2+2x+8；
(2)
存在，理由：
当∠CP′M为直角时，
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则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO=α，则，则，
在Rt△NMB中，NB=4-1=3，
则，
同理可得，MN=6，
由点B、C的坐标得，，则，
在Rt△PCM中，∠CPM=∠OBC=α，
则，
则PN=MN+PM=，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；
(3)
∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，-4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，
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理由：G走过的路程=DE+EF+FC=D′E+EF+FC′=C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y=6x-4，
对于y=6x-4，当y=6x-4=0时，解得，当x=1时，y=2，
故点E、F的坐标分别为、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′= ．
【名师指路】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几 ( http: / / www.21cnjy.com )何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．(本题14分)如图，为等腰直角三角形，，以斜边为腰作等腰，使，点为边中点，连接．
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(1)如图1，当、、三点共线时，若与相交于点，求证：．
(2)如图2，射线是的外角的角平分线，当点恰好落在射线上时，请求出的度数．
(3)如图3，连接，以为斜边做，连接，若，请直接写出线段的最大值．
【标准答案】(1)见解析；
(2)15°
(3)
【名师解析】
（1）如图1，由题意知AB=B ( http: / / www.21cnjy.com )C,∠CBA=∠CBD=90°，△ACD为等腰三角形，由E为CD中点可知∠CAF=∠DAF、AE⊥DC，然后再说明∠AFB=∠BDC，再结合AB=BC,∠CBA=∠CBD=90°，证得△AFB≌△CBD即可证明结论；
（2）如图2：过D作DP⊥AB，根据角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质定理可得DE=DP,然后再运用HL证明△AED≌t△ADP得到∠PAD=∠DAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠EAC=∠DAE，进一步得到∠EAC=∠DAE=∠PAD，最后根据∠CAB=∠CAE+∠DAE+∠PAD=45°求解即可；
（3）如图3：以BD为直径画圆，则OQ=，当点E和C点重合时，OQ有最大值BC，再说明OE是△BDC的中位线，即OE=；由EQ=EO+OQ=BC+BD，可知当点E和C点重合时EQ=BC+BC=BC是最大值，最后运用解直角三角形求出AC的长即可．
(1)
证明：∵△ABC为等腰直角三角形
∴AB=BC,∠CBA=∠CBD=90°
∵AD=AC
∴△ACD为等腰三角形
∵E为CD中点
∴∠CAF=∠DAF，AE⊥DC
∴∠ECF+∠EFC=90°
∵∠CBA=∠CBD=90°
∴∠EFC+∠CDB=90°
∴∠CDB=∠EFC
∵∠AFB=∠EFC
∴∠AFB=∠BDC
在△AFB和△CDB中
∠AFB=∠BDC、∠CBA=∠CBD=90°、AB=BC
∴△AFB≌△CBD
∴BF=BD．
(2)
解：如图2：过D作DP⊥AB、
∵射线是的角平分线，DP⊥AB、DE⊥AE
∴DE=DP,
在Rt△AED和Rt△ADP中
AD=AD、DE=DP
∴△AED≌t△ADP
∴∠PAD=∠DAE
∵等腰，，点为边中点，
∴∠EAC=∠DAE
∴∠EAC=∠DAE=∠PAD
∴∠CAB=∠CAE+∠DAE+∠PAD=45°，即3∠CAE=45°
∴∠CAE=15°．
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(3)
解：如图：以BD为直径画圆，连接OQ、OE，则OQ=
∴当点E和C点重合时，OQ有最大值BC，
∵当E是CD的中点,O是圆心
∴OE是△BDC的中位线
∴OE=
∵EQ=EO+OQ=BC+BD
∴当点E和C点重合时EQ=BC+BC=BC
∵为等腰直角三角形，AC=
∴sin∠CAB==sin45°=即,解得BC=
∴EQ的最大值为．
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【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年沪教版初中数学第二学期开学摸底考及第一次月考研发。
思路设计：每个年级分两套试卷。选题为2022年期末真题及结合最新的冬奥会等热点话题的变形题，难度中等及以上。21·世纪*教育网
卷一为培优卷，考试范围是上学期整本书，难度略高于期末测试。
卷二为满分卷，考试范围是上册+下册前两章，适用于寒假学有余力的同学，也适用于第一次月考，下册前两章选题难度中等，适合大部分学生使用。21*cnjy*com
注：九年级为仿真中考模拟卷，可做开学摸底及一二模预测卷使用。
（培优卷）2021-2022学年沪教版数学九年级下学期开学考摸底卷（学生版）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数:___________
一、单选题(每题4分，共24分)
1．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是 B．的立方根是
C．是2的平方根 D．是的平方根
2．在第32届夏季奥林匹克运动会（即 ( http: / / www.21cnjy.com )2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温（℃） 36.3 36.7 36.2 36.3 36.2 36.4 36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
4．对于命题：①如果一个圆上所有的点都 ( http: / / www.21cnjy.com )在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
5．关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是（ ）
A．图像经过点 B．y随x的增大而增大
C．图像不经过第四象限 D．图像与直线y＝－2x平行
6．下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题4分，共48分)
7．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 _____．
8．已知f（x）＝，那么f（）＝___．
9．第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为______．
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10．小明已有两根长度分别是2cm和5 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于_____．21世纪教育网版权所有
11．已知x为不等式组的解，则的值为______．
12．如果反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，那么m的值可能是 _____（写出一个即可）．21cnjy.com
13．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=________．
14．如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1=_______度．
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15．如果关于x的方程2+3x-m=0无解，那么m的取值范围是_________．
16．方程的解是___．
17．在实数范围内，因式分解：_________．
18．如图，边长为4的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，E为AD的中点，连接CE交BD于F，连接AF，过A作AM⊥AF交CE的延长线于M，则DM的长为________．www-2-1-cnjy-com
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三、解答题(共78分)
19．(本题10分)（1）计算：．
（2）解方程：．
20．(本题10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，．2·1·c·n·j·y
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（1）试用、表示；
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【出处：21教育名师】
21．(本题10分)如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．【版权所有：21教育】
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(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
22．(本题10分)如图是位于奉贤南桥镇解放 ( http: / / www.21cnjy.com )东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”, 它建于 1996 年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物, 该记录一直保持到 2017年, 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．21教育名师原创作品
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某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图, 在电视塔附近的高楼楼顶 处测量塔顶 处的仰角和塔底 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层, 每层高约 米, 在高楼楼项 处测得塔顶 处的仰角为 , 塔底 处的俯角为 .www.21-cn-jy.com
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：, , ．
根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．
23．(本题12分)如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，过点P作PM⊥PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）2-1-c-n-j-y
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（1）线段CD＝ ．
（2）当点P在线段BC上时，PC＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）当点M落在△BCD的内部时，求t的取值范围；
（4）连结CM，当△CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
24．(本题12分)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．21*cnjy*com
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(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21教育网
(3)D为CO的中点，一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
25．(本题14分)如图，为等腰直角三角形，，以斜边为腰作等腰，使，点为边中点，连接．
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(1)如图1，当、、三点共线时，若与相交于点，求证：．
(2)如图2，射线是的外角的角平分线，当点恰好落在射线上时，请求出的度数．
(3)如图3，连接，以为斜边做，连接，若，请直接写出线段的最大值．
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