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专题16.1 二次根式
一、单选题
1．（2022·福建·泉州五中八年级期末）中x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·八年级课前预习）式子有意义的条件是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
3．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·八年级期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．（2021·四川西区·九年级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（ ）
A．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b
二、填空题
7．（2022·重庆南开中学八年级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
8．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）使二次根式有意义的x的取值范围是______________．
9．（2022·全国·八年级课前预习）一个正数有___个平方根；0的平方根为_____；在实数范围内，_____没有平方根．
10．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）若|a|+a＝0，化简＝___．
11．（2022·重庆南开中学八年级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．
12．（2021·上海市莘光学校八年级期中）当等式成立时，＝___．
三、解答题
13．（2021·全国·八年级期中）计算：．
14．（2022·北京丰台·九年级期末）计算：．
15．（2021·山东东平东原实验学校七年级阶段练习）（1）计算；
（2）若4（2x﹣1）2=9，求x的值．
16．（2021·贵州毕节·八年级阶段练习）已知．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
17．（2021·全国·八年级期中）观察下列各式：
2，3，4．
(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
18．（2021·福建省福州第十九中学八年级期末）已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
19．（2022·四川·成都新津为明学校八年级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
20．（2022·吉林二道·九年级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ．
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专题16.1 二次根式
一、单选题
1．（2022·福建·泉州五中八年级期末）中x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【详解】
解：∵有意义，则x-1≥0，
解得：x≥1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2．（2022·全国·八年级课前预习）式子有意义的条件是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【答案】A
3．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】
A.，该选项错误；
B.，该选项正确；
C.，该选项错误；
D.，根号里面的数不能为负数，该选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2021·全国·八年级期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的意义求出，在此范围内要使是整数，n只能是3或8或11或12，求出即可．
【详解】
解：∵要使有意义，
必须，解得
∵是整数，
∴n只能是3或8或11或12，
∴满足条件的n有4个
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了对二次根式的定义的应用，关键是能根据已知求出n．
5．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】
解：a=2021×2022-20212
=2021×（2022-2021）
=2021，
b=1013×1008﹣1012×1007
=（1012+1）（1007+1）-1012×1007
=1012×1007+1012+1007+1-1012×1007
=1012+1007+1
=2020，
c
=
=
=
=，
∴2020
∴b故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．
6．（2021·四川西区·九年级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（ ）
A．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可．
【详解】
解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，
∴
=
=-（a+b）
=a-2b-a-b
=-3b．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．
二、填空题
7．（2022·重庆南开中学八年级期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为______．
【答案】x≤3
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可求得x的取值范围．
【详解】
∵二次根式有意义
∴3－x≥0
∴x≤3
故答案为：x≤3
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，它要求被开方数非负，掌握这点是关键．
8．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）使二次根式有意义的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得：3+2x≥0，解得：．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方式大于等于零．
9．（2022·全国·八年级课前预习）一个正数有___个平方根；0的平方根为_____；在实数范围内，_____没有平方根．
【答案】 两 0 负数
10．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）若|a|+a＝0，化简＝___．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质得出a的取值范围，进而求绝对值和进行二次根式化简即可．
【详解】
解：∵|a|+a＝0，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∴＝＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了绝对值和二次根式的性质，解题关键是根据绝对值的意义确定a的取值范围．
11．（2022·重庆南开中学八年级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．
【答案】##-a+1
【解析】
【分析】
根据数轴可得： ，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和立方根的性质，熟练掌握实数与数轴，算术平方根和立方根的性质是解题的关键．
12．（2021·上海市莘光学校八年级期中）当等式成立时，＝___．
【答案】##
【解析】
【分析】
由等式成立，得到再化简二次根式即可.
【详解】
解： 等式成立，
由①得：，
由②得：，
所以
，
所以原式
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的化简，掌握“公式中二次根式有意义的条件”是化简二次根式的关键.
三、解答题
13．（2021·全国·八年级期中）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据0次幂，化简绝对值，二次根式的性质求解即可
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了0次幂，化简绝对值，二次根式的性质，掌握实数的混合运算是解题的关键．
14．（2022·北京丰台·九年级期末）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简，化简绝对值，进行实数的混合运算即可
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．
15．（2021·山东东平东原实验学校七年级阶段练习）（1）计算；
（2）若4（2x﹣1）2=9，求x的值．
【答案】（1）；（2）或；
【解析】
【分析】
（1）由二次根式的性质、立方根进行化简，然后计算加减运算，即可得到答案；
（2）先两边除以4，然后开平方，即可求出答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴或；
【点睛】
本题考查了二次根式的性质、立方根，开平方法解方程，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
16．（2021·贵州毕节·八年级阶段练习）已知．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意根据二次根式有意义的条件即进行分析即可；
（2）根据题意将代入式子求出，进而根据平方根性质即可得出答案.
【详解】
解：（1）由题意可得：，解得：；
（2）将代入可得：，解得：，
可得，
所以的平方根为.
【点睛】
本题考查二次根式求值和求平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件即以及平方根有两个且互为相反数是解题的关键.
17．（2021·全国·八年级期中）观察下列各式：
2，3，4．
(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【答案】(1)；
(2)规律n（n＞1），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；
（2）根据前几个等式的变化规律，用n表述规律即可，再根据分式的化简和二次根式的性质证明即可．
(1)
解：根据前几个等式的变化规律，则有；
(2)
解：∵2=2，
3=3，
4=4．
∴规律为：n（n＞1），
证明：
=n（n＞1）．
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律题、分式的加减、二次根式的性质，能正确发现变化规律是解答的关键．
18．（2021·福建省福州第十九中学八年级期末）已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
【答案】
【解析】
【详解】
由题意根据a+＝5，且＝1﹣a，利用完全平方公式和算术平方根的定义，可以求得所求式子的值．
【分析】
解：∵a+＝5，
∴，
∴，
∴a2﹣2+＝（a﹣）2＝21，
∴a﹣＝±，
∵＝1﹣a，
∴1﹣a≥0，
∴0＜a≤1，
∴a﹣＜0，
∴a﹣＝﹣．
【点睛】
本题考查分式的化简求值以及实数的运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19．（2022·四川·成都新津为明学校八年级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．
20．（2022·吉林二道·九年级期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ．
【答案】（1）m2+5n2，2mn；（2）当m=1，n=2时，x=13；当m=2，n=1时，x=7；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到4＝2mn，利用x、m、n均为正整数得到或，然后利用x＝m2+3n2计算对应x的值；
（3）设m+n，两边平方，可得消去n得，可求m=或m=即可．
【详解】
解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），
则有a＝m2+5n2，b＝2mn；
故答案为m2+5n2，2mn；
（2）∵
∴4＝2mn，
∴mn＝2，
∵x、m、n均为正整数，
∴或，
当m＝1，n＝2时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2，n＝1时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
即x的值为为13或7；
（3）设m+n，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴（m2-2）（m2-3）=0，
∴m=,m=，
∴，．
∴或
∴，．
故答案为．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
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数学（人教版）
八年级 下册
2022春人教版八下数学同步精品教学课件
16.1 二根次式
16.1 二根次式
第十六章 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
二次根式的概念与性质
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
4.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想
的思想方法.（重点）
5.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
复习引入
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
图
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
讲授新课
一、二次根式的概念及有意义的条件
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
典例精析
例1 下列各式是二次根式吗
(m≤0),
(x,y 异号)
解析：
（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.
活动：探究二次根式有意义的条件及其非负性
解：由x-1≥0，得
x≥1
例2 当x取何值时, 二次根式有意义
当x≥1时， 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 的值.
当x=9时，
思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
归纳
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
练一练
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二、二次根式的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例精析
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为a，
即 .
三、 （a≥0）的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
02 = 0
...
观察两者有什么关系？
22 = 4
4
2
0
根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：
是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于2的非负数.因此 .
同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.
归纳总结
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
典例精析
例5 计算：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
解：
例6 在实数范围内分解因式：
解：
本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
归纳
练一练
（1）若 , 则a-b+c=___
解：
（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,
所以x+2y=1+2×2015=4031.
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
四、 的性质
填一填：
＝a (a≥0).
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
思考：当a＜0时， =
？
-a
归纳总结
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
的性质：
例7 化简：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正负性.
注意
化简：
练一练
解：
（2）
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
例8 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
a
b
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
注意
例9 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
概念学习
数
表示数的字母
想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
五、代数式的定义
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
例10
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
归纳总结
1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7 B.3＞2 C. D．
B
练一练
2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
火眼金睛
1、下列各式哪些是二次根式
判断二次根式
课后训练
(1) (2)
(3)
解：由
得
(a为任何实数)
2 当a是怎样的实数时,下列二次根式在实数范围内有意义
快乐训练营
∴当a≥-1时， 在实数范围内有意义。
(3)
(a为任何实数)
思考：
(a=0)
规律方法：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
3.当a分别取下列值时，求二次根式 的值。
(1) -3 (2) 0
求二次根式的值
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
x≥3
x≤6
∴3≤x≤6
x≥1
x≤1
∴x=1
3－X≤0
X-2≠0
∴X≤3且X≠2
挑战自我
思考：
1、写出a的一个值，使二次根式 的值为有理数，并求出这个有理数。
2、写出a的一个值，使二次根式 的值为无理数，并求出这个无理数。
练 习
要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
AC=5-3=2
AB=5-2=3
根据勾股定理,得
答：BC的长为
A(2,3)
B(5,3)
C(2,5)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
y
x
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
4 化简：
1.计算：
2.说出下列各式的值：
练习
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的非负性
抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
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课堂小结
具有双重非负性.
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