9.1《平面向量的基本概念》同步练习 （含答案解析） 苏教版（2019）高中数学必修第二册

《平面向量的基本概念》同步练习
主要考查平面向量的概念与表示，向量的模，零向量与单位向量，相等向量，相反向量，平行向量（共线向量）等
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
2.下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量与共线，则=；
③若=，则；
④向量与平行，则与的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列说法中正确的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
4．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A．＞ B．∥ C．＞0 D．
5．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
6．如果，是两个单位向量，则与一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
7．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8.如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
9．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
10．如图，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
11．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．有下列命题：
①若，则； ②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则； ④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．下列命题正确的是(　　)
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
14．已知A={与共线的向量}，B={与长度相等的向量}，C={与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是　（　　）
A．C A　　　　　B．A∩B={} C.C B D．A∩B {}
二．填空题
15．下列命题中，正确的是______（填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
16．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，，则__________．
17．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有__________．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
19．分别根据下列条件判断四边形ABCD的形状:
(1);
(2),并且与不平行;
(3),并且.
20．如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且．
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
答案与解析
1.【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选B．
2.【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．故选B.
3.【解析】对于A，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误．故选C．
4．【解析】 非零向量模长一定大于零．故选C .
5.【解析】A. 若，则不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；
B. 若，则不一定平行，所以该选项错误；
C. 若，，则，所以该选项是正确的；
D. 若，，则错误，如：，都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足，所以该选项错误.
故选：C
6.【解析】因为，是两个单位向量；所以其模长相等，方向不定；故选D．
7.【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.故选：A.
8.【解析】所以DF∥BC，且，又E是BC的中点，所以，
所以与向量相等的向量是，．故选C.
9.【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．故选D .
10．【解析】共线向量有：，，，，，，7个．故选D .
11.【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；
对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题；
对于③，显然若，，则，故③是真命题；
对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.
12.【解析】，则的方向不确定,则不一定相等, ①错误;
若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;
若,,则,③正确；
若，，则时,不一定成立,所以④错误.
综上,假命题的是①②④,共3个.故选:C.
13．【解析】当时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
在 ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，所以C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，所以，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
14．【解析】与共线的向量是与其方向相同或相反的向量，所以C A，故A对；A∩B={，}，故B错；因为B中的向量与的长度相同，方向任意，故C B，故C对；A∩B={，}，所以{} A∩B，故D对．故选B．
15.【解析】解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量.
②不正确，若与中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故这两个向量的方向不一定相同或相反.
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较大小.
故答案为：③
16．【解析】 ，所以．
17.【解析】化简，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量、、与向量方向不同，
根据向量相等的定义可得向量、、与向量不相等，
②③④不合题意；
因为＋+ ，⑤不合题意；
－，⑥不合题意；
，⑦不合题意，故答案为①.
18.【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
19.【解析】（1）由得，四边形是平行四边形；
（2）,并且与不平行，则.四边形是梯形；
（3）由得四边形是平行四边形，，即，四边形是菱形．
20.【解析】（1）画出所有的向量如图所示；
（2）由（1）所画的图知，
①当点C在于点或时，取得最小值；
②当点C在于点或时，取得最大值．
所以的最大值为，最小值为．
2
2