2021-2022学年初数北师大版九下1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
2．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
3．（2021九上·泰山期中） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
4．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
5．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
6．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
7．（2021九上·永年期中）下列计算错误的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：① ， ，故左右不相等，不符合题意；
② ，符合题意；③ ，不符合题意；④ ，不符合题意．
错误的有3个，
故答案为：C
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
8．（2021九上·肇源期中）点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
9．（2021·迁西模拟）如图，在 中， ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠B=60°，再根据特殊角的锐角三角函数值求值即可。
10．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
二、填空题
11．（2021九上·泰安期中）
锐角A满足2sin(A-15°)= ，则∠A=
【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 2sin（A-15°）= ，
∴sin（A-15°）=，
∴∠A-15°=45°，
∴∠A=60°.
【分析】根据sin45°=，得出∠A-15°=45°，即可得出∠A=60°.
12．（2021九上·沙坪坝月考）计算： .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质计算，同时代入特殊角的三角函数值然后根据有理数的加法法则进行计算.
13．（2021九上·金塔期末）计算： × ﹣sin45°＝ .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： × ﹣sin45°
＝
＝
＝ .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及特殊角的三角函数值可得原式=-，据此计算.
14．（2021九上·栖霞期中）计算： ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
15．（2021九上·无锡期中）已知 是锐角， ，则 = °.
【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ，
∴ ，
又∵ ，
.
故答案为： .
【分析】根据已知条件可得tanα=，然后由α为锐角结合特殊角的三角函数值可得α的度数.
三、计算题
16．（2021九上·皇姑期末）计算：2cos30°×tan30°sin45°﹣tan60°．
【答案】解：2cos30°×tan30°+sin45°﹣tan60°
=2××+×-
=1+1-
=2-．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
17．（2021九上·哈尔滨月考）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
四、解答题
18．（2011·内江）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°． 为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段， ≈1.414， ≈1.732．最后结果精确到1米）
【答案】解：设CD为x米．
∵∠ACD=90°，
∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD÷tan30°= x，
在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= x，
∵AC﹣BC=AB=7米，
∴ x﹣x=7，
又∵ ≈1.414， ≈1.732，
∴x=10米，
则小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣ x≈6（米）
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设CD为x米，根据三角函数即可表示出AC于BC的长，根据AC﹣BC=AB即可得到一个关于x的方程，解方程即可求得x的值．
19．（2016九下·崇仁期中）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？
【答案】解：过点C作CE⊥AB于E和过点D作DF⊥AB于F，
设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，
则根据BE﹣AE=AB和AF﹣BF=AB得：
∴h1= =50（ +1）=50（1.732+1）=136.6≈137（米）
h2= = = =50 （ +1）=50（3+1.732）=236.6≈237（米）
答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，然后根据BA=100得到关系式后表示出h1和h2后即可求得结论．
五、综合题
20．（2021九上·东昌府期中）计算题
（1） ；
（2）已知 是锐角，且 ，计算 的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：∵ 是锐角，且
∴ =45°，
故
=
=
=
= ．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角形函数值、负指数幂和0指数幂化简，再计算即可；
（2）先利用求出的度数，再利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
1 / 12021-2022学年初数北师大版九下1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2021九上·泰山期中） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
5．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
7．（2021九上·永年期中）下列计算错误的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021九上·肇源期中）点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·迁西模拟）如图，在 中， ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
二、填空题
11．（2021九上·泰安期中）
锐角A满足2sin(A-15°)= ，则∠A=
12．（2021九上·沙坪坝月考）计算： .
13．（2021九上·金塔期末）计算： × ﹣sin45°＝ .
14．（2021九上·栖霞期中）计算： ．
15．（2021九上·无锡期中）已知 是锐角， ，则 = °.
三、计算题
16．（2021九上·皇姑期末）计算：2cos30°×tan30°sin45°﹣tan60°．
17．（2021九上·哈尔滨月考）先化简，再求值： ，其中 ．
四、解答题
18．（2011·内江）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°． 为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段， ≈1.414， ≈1.732．最后结果精确到1米）
19．（2016九下·崇仁期中）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？
五、综合题
20．（2021九上·东昌府期中）计算题
（1） ；
（2）已知 是锐角，且 ，计算 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
2．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
3．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：① ， ，故左右不相等，不符合题意；
② ，符合题意；③ ，不符合题意；④ ，不符合题意．
错误的有3个，
故答案为：C
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
9．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠B=60°，再根据特殊角的锐角三角函数值求值即可。
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
11．【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 2sin（A-15°）= ，
∴sin（A-15°）=，
∴∠A-15°=45°，
∴∠A=60°.
【分析】根据sin45°=，得出∠A-15°=45°，即可得出∠A=60°.
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质计算，同时代入特殊角的三角函数值然后根据有理数的加法法则进行计算.
13．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： × ﹣sin45°
＝
＝
＝ .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及特殊角的三角函数值可得原式=-，据此计算.
14．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
15．【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ，
∴ ，
又∵ ，
.
故答案为： .
【分析】根据已知条件可得tanα=，然后由α为锐角结合特殊角的三角函数值可得α的度数.
16．【答案】解：2cos30°×tan30°+sin45°﹣tan60°
=2××+×-
=1+1-
=2-．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
17．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．【答案】解：设CD为x米．
∵∠ACD=90°，
∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD÷tan30°= x，
在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= x，
∵AC﹣BC=AB=7米，
∴ x﹣x=7，
又∵ ≈1.414， ≈1.732，
∴x=10米，
则小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣ x≈6（米）
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设CD为x米，根据三角函数即可表示出AC于BC的长，根据AC﹣BC=AB即可得到一个关于x的方程，解方程即可求得x的值．
19．【答案】解：过点C作CE⊥AB于E和过点D作DF⊥AB于F，
设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，
则根据BE﹣AE=AB和AF﹣BF=AB得：
∴h1= =50（ +1）=50（1.732+1）=136.6≈137（米）
h2= = = =50 （ +1）=50（3+1.732）=236.6≈237（米）
答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，然后根据BA=100得到关系式后表示出h1和h2后即可求得结论．
20．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：∵ 是锐角，且
∴ =45°，
故
=
=
=
= ．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角形函数值、负指数幂和0指数幂化简，再计算即可；
（2）先利用求出的度数，再利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
1 / 1
