2021-2022学年初数北师大版九下1.4解直角三角形 同步测试
一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2020九上·太和期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·惠民期末）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．
5．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
6．（2021九上·长兴期末）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·任城期末）如图，在 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
8．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
10．（2021九上·农安期末）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
12．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
13．（2020·金昌模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则tan B的值为 .
14．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
15．（2021九上·高邑期中）如图，在 中， ， ， ，点D是边 上的动点，过点D作 于E点．请探究下列问题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，设点F是边 上的动点，连接 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，且使得顶点G恰好落在 边上，则 ．
三、解答题
16．（2021九上·铁东期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
17．（2021九上·肇源期中）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
四、综合题
18．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
19．（2021九上·芝罘期中）如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB= ，点A的坐标为（10，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）求sin∠OAB的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵在 中， ，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数，结合图形计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tanC=tan40°= ，
∴AB=atan40°．
故答案为：C
【分析】先求出tanC=tan40°= ，再求解即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】在 中，先根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数的定义计算即可.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵ 中， ， 、 、 所对的边分别为a、b、c
∴ ，即 ，则A选项不成立，B选项成立
，即 ，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数进行计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O=AO=5，
∴sinα=，
∴A′C=5sinα，
故答案为：C．
【分析】先求出A′O=AO=5，再利用锐角三角函数求解即可。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵sinA= ，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC= =12x，
故tan∠B= .
故答案为： .
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA= ，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1) ∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
(2)如图所示， 四边形 是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠BEF=∠A，∠EFB=∠C=90°，
∵ ，
∴AD=5，
∵
∴AE=4，BE=AB-AE=6，
∵ ，
∴
∴BF= ，CF=BC-BF= ；
故答案为： ．
【分析】（1）根据 的正弦值求出AD，根据勾股定理求出AC，相减即可；
（2）根据 EF∥DG，可知，利用三角函数即可得出BF，进而求出CF。
16．【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4 = BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝ =
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
【知识点】解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】先根据∠C＝90°，∠A＝45°，得出△ABC是等腰直角三角形，再根据tan∠DBC的值得出CD=3，即可得出AD的长．
17．【答案】解：根据题意，
∵ ，AD是BC边上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
19．【答案】（1）解：过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△BOC 中，
sin∠AOB= ，
∴BC=3，
由题意， ，
∴ ，
∴点B的坐标为（4，3）．
（2）∵点A的坐标为（10，0）
∴OA＝10，
∵OC＝4，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
，
∴sin∠OAB＝ ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 BC=3， 再利用勾股定理求出OC=4，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 AC＝6， 再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
1 / 12021-2022学年初数北师大版九下1.4解直角三角形 同步测试
一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．（2020九上·太和期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵在 中， ，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数，结合图形计算求解即可。
3．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
4．（2020九上·惠民期末）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tanC=tan40°= ，
∴AB=atan40°．
故答案为：C
【分析】先求出tanC=tan40°= ，再求解即可。
5．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
6．（2021九上·长兴期末）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】在 中，先根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数的定义计算即可.
7．（2020九上·任城期末）如图，在 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵ 中， ， 、 、 所对的边分别为a、b、c
∴ ，即 ，则A选项不成立，B选项成立
，即 ，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数进行计算求解即可。
8．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
9．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
10．（2021九上·农安期末）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O=AO=5，
∴sinα=，
∴A′C=5sinα，
故答案为：C．
【分析】先求出A′O=AO=5，再利用锐角三角函数求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
12．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
13．（2020·金昌模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则tan B的值为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵sinA= ，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC= =12x，
故tan∠B= .
故答案为： .
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA= ，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B.
14．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
15．（2021九上·高邑期中）如图，在 中， ， ， ，点D是边 上的动点，过点D作 于E点．请探究下列问题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，设点F是边 上的动点，连接 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，且使得顶点G恰好落在 边上，则 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1) ∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
(2)如图所示， 四边形 是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠BEF=∠A，∠EFB=∠C=90°，
∵ ，
∴AD=5，
∵
∴AE=4，BE=AB-AE=6，
∵ ，
∴
∴BF= ，CF=BC-BF= ；
故答案为： ．
【分析】（1）根据 的正弦值求出AD，根据勾股定理求出AC，相减即可；
（2）根据 EF∥DG，可知，利用三角函数即可得出BF，进而求出CF。
三、解答题
16．（2021九上·铁东期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4 = BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝ =
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
【知识点】解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】先根据∠C＝90°，∠A＝45°，得出△ABC是等腰直角三角形，再根据tan∠DBC的值得出CD=3，即可得出AD的长．
17．（2021九上·肇源期中）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
【答案】解：根据题意，
∵ ，AD是BC边上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
四、综合题
18．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
19．（2021九上·芝罘期中）如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB= ，点A的坐标为（10，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）求sin∠OAB的值．
【答案】（1）解：过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△BOC 中，
sin∠AOB= ，
∴BC=3，
由题意， ，
∴ ，
∴点B的坐标为（4，3）．
（2）∵点A的坐标为（10，0）
∴OA＝10，
∵OC＝4，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
，
∴sin∠OAB＝ ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 BC=3， 再利用勾股定理求出OC=4，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 AC＝6， 再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
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