2021-2022学年湘教新版九年级下册数学第2章 圆单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年湘教新版九年级下册数学《第2章 圆》单元测试卷
一．选择题
1．下列说法，正确的是（　　）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是弧 D．过圆心的线段是直径
2．⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝ D．∠BCA＝∠DCA
3．已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
5．如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）
A．131° B．119° C．122° D．58°
7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
9．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为　 　．
12．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为　 　．
13．如图，以点P为圆心，以2为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为　 　．
14．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝　 　．
15．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO＝　 　度．
16．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为　 　度．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于　 　度．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为　 　度．
19．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是　 　．
20．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是　 　．
三．解答题
21．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
22．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE＝DE，求证：＝．
23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．
24．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC＝8，，试求⊙O的半径；
（3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
26．如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为2.5 m（手臂与拉直的绳子在一条直线上）手臂肩部距地面1.5 m．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图．
27．如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD＝R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；
B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；
C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．
D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．
故选：C．
2．解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴＝，
∴BC＝CD．
故选：B．
3．解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为的14，
故选：D．
4．解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP＝AB，
∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．
故选：C．
5．解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE＝，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA＝AD＝，
在Rt△AGF中，GF＝AF＝，AG＝GF＝，
在Rt△AGC中，CG＝AG＝，
∴S△ACF＝CF AG＝×（+）×＝．
故选：D．
6．解：∵∠AOB＝122°，
∴∠D＝∠AOB＝61°，
∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故选：B．
7．解：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意；
（2）半圆是弧，故符合题意；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意；
（4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意；
其中真命题的个数有2个；
故选：C．
8．解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
9．解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
10．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC＝QP QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
故答案为：120°．
12．解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为4．
13．解：作PC⊥AB于C，如图，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴OA＝2，OB＝6，
∴AB＝OB﹣OA＝4，
∵PC⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△PAC中，∵PA＝2，AC＝2，
∴PC＝＝4，
∵OC＝OA+AC＝4，
∴P点坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．
14．解：∵OA＝OB＝5，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
故AB＝5．
故答案为：5．
15．解：由图可知，∠OBC＝60°
∵OC＝OB
∴△OBC是等边三角形
∴∠BCO＝60°
则∠ACO＝120°．
16．解：连接OC、OD，
∵＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠P＝60°，
故答案为：60．
17．解：连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，
有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，
∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60度．
18．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
19．解：根据相交弦定理，AE BE＝CE DE，
又∵BE＝3，AE＝4，DE＝2，
∴CE＝6
∴CD＝CE+DE＝8
那么圆的半径等于4．
故答案为：4．
20．解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是1：：：2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1：：：2．
故答案为：1：：：2．
三．解答题
21．解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
22．证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS）．
∴AD＝BC，
∴＝．
23．解：连接OB，OA，
∵∠BCA＝45°，
∴∠BOA＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝．
24．（1）证明：∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO．
∴∠CAO＝∠BAC．
即：AC平分∠DAB．（2分）
（2）解：AC＝8，弧AC与CD之比为2：1，
∴∠DAC＝30°，
又∵AD是圆的直径，
∴∠ACD＝90°
∴CD＝AC tan∠DAC＝，
∵∠COD＝2∠DAC＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形．
∴圆O的半径＝CD＝（2分）
（3）解：∵点B为弧AC的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC＝∠OCA．
∴OA∥BC．又OC∥AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．
∵AO＝CO，
∴四边形ABCO为菱形．（3分）
25．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
26．解：由题意可知AB＝2.5m，AC＝1.5m，
小狗在地平面上环绕跑圆的半径为＝2.0（m），
小狗活动的区域是以2.0m为半径的圆，如图．
27．解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD＝CD AM＝CD AE sinα，S△BCD＝CD BN＝CD BE sinα，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD＝CD AE sinα+CD BE sinα
＝CD （AE+BE）sinα＝CD AB sinα＝m2 sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB＝CD＝知S四边形ACBD＝AB CD sinα＝R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB＝CD＝，OC＝OD＝OA＝OB＝R，
∴∠AOB＝∠COD＝90°．
而S四边形ABCD＝SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC＝R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD＝S△OCE
∴S△AOD+S△BOC＝S△OCE+S△BOC＝S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE＝BE CH＝R CH．
∴当CH＝R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1＝∠2＝90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD＝R2+R2＝2R2为最大值．