2021-2022学年湘教新版八年级下册数学第2章四边形单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年湘教新版八年级下册数学《第2章 四边形》单元测试卷
一．选择题
1．一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正（　　）边形．
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为2，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（　　）
A． B．π C． D．
4．下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（　　）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．能铺满地面的正多边形的组合是（　　）
A．正五边形和正方形 B．正六边形和正方形
C．正八边形和正方形 D．正十边形和正方形
7．如图，在 ABCD中，若∠A+∠C＝130°，则∠D的大小为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
8．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．15 C．30 D．60
9．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
二．填空题
11．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　 　．
12．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是　 　边形．
13．一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是 　 　边形．
14．已知O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，请写出一个与OE有关的结论：　 　．（答案不唯一，参考举例）
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则AF的长为　 　．
16．如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝7，EM＝8，则五边形ABCDE的面积为　 　．
17．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°
②S ABCD＝AB AC
③OB＝AB
④OE＝BC
成立的有　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上）
18．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为　 　．
19．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是　 　．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为　 　．
三．解答题
21．如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为“三角形数“；把1，4，9，16，25，……称为“正方形数“．同样，可以把数1，5，12，22，……，称为“五边形数”，
将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：
三角形数 1 3 6 10 15 21 a …
正方形数 1 4 9 16 25 b 49 …
五边形数 1 5 12 22 c 51 70 …
（1）按照规律，表格中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）观察表中规律，第n个“五边形数”是　 　．
22．已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数．
23．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为　 　．
24．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．
25．如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
m 个数 n 1 2 3 …
3 3 5 7 …
4 4 　 　 　 　 …
（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成 　 　个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成 　 　个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成 　 　个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．
26．某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．
27．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　 　，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝　 　；（用含n的式子表示）
（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝3，解得n＝6．
故多边形的边数为6．
故选：D．
2．解：外角是180﹣135＝45度，
360÷45＝8，
则这个多边形是八边形．
故选：A．
3．解：由图可知，∠1+∠2＝90°，∠3＝45°，
∵正方形的边长均为2，
∴阴影部分的面积＝＝π．
故选：D．
4．解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，
而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，
故选：A．
5．解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，
故选：B．
6．解：正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n＝360，n＝4﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n＝360°，m＝4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，∵90°+2×135°＝360°∴正八边形和正方形能铺满．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝130°，
∴∠A＝65°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝115°．
故选：D．
8．解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，
∴S阴影＝S ABCD，
∵BC＝10，BC边上的高为6，
∴S ABCD＝10×6＝60，
∴S阴影＝×60＝30．
故选：C．
9．解：由七巧板的面积是16可知：
图1中，AB＝BC＝4，
∴EF＝2，
BF＝FC＝DE＝CE＝2，
DH＝OH＝OG＝BG＝，
∴图2的周长是+2+2++++4+2＝8+6．
故选：D．
10．解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
二．填空题
11．解：a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，
通过图象可知a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝4+×6﹣1＝6，
故答案为：6．
12．解：设多边形是n边形，由对角线公式，得
n﹣2＝6．
解得n＝8，
故答案为：八．
13．解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n＝10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：10．
14．解：O是ABCD的对称中心，E是AB的中心，
则AE＝BE，OA＝OC．
则与OE有关的结论：BC＝2OE，OE∥BC．
15．解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝3，
故答案为：3．
16．解：如图，延长BM到点F，使FM＝BM，连接BE，EF，DF，
在△BMC和△FDM中，
，
∴△BMC≌△FDM（SAS），
∴BC＝DF＝AB，∠C＝∠CDF，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED＝（5﹣2）×180°＝540°，
∵∠ABC+∠AED＝180°，
∴∠A+∠C+∠CDE＝360°，
∵∠CDE+∠CDF+∠EDF＝360°，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABE和△DFE中，
，
∴ABE≌△DFE（SAS），
∴BE＝EF，
∵BM＝MF，
∴EM⊥BF，
∴五边形ABCDE的面积＝S△ABE+S△BCM+S四BMDE
＝S△EDF+S△MDF+S四BMDE
＝S△BEF
＝BF EM
＝×7×2×8
＝56．
故答案为：56．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC．故④正确．
故答案为：①②④．
18．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为： cm2．
19．解：如图所示：
图1的周长为1+2+3+2＝6+2；
图2的周长为1+4+1+4＝10；
图3的周长为3+5++＝8+2．
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．
故答案为：6+2或10或8+2．
20．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
三．解答题
21．解：（1）∵前6个“三角形数”分别是：
1＝、3＝、6＝、10＝、15＝、21＝，
∴第n个“三角形数”是，
∴a＝＝28．
∵前5个“正方形数”分别是：
1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，
∴第n个“正方形数”是n2，
∴b＝62＝36．
∵前4个“五边形数”分别是：
1＝，5＝，12＝，22＝，
∴c＝＝35．
（2）根据（1）中的规律得出：第n个“五边形数”是；
故答案为：．
22．解：设这个多边形的边数为x，依题意得
（x﹣2）×180＝360×2
解得x＝6
答：这个多边形的边数为6．
23．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
24．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝5，
∴BQ＝5﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝5﹣t，
t＝，
∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）t＝，
方法一：如图，
Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴AO＝CO＝AC＝2，
∵，
∴AB AC＝BC EF，
∴3×4＝5×EF，
∴，
∴，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，
∴，
∴t＝或﹣（舍），
∴当t＝秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
方法二：如图，连接AQ，CP，
∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∵O在线段AP的垂直平分线上，
∴OA＝OP，
∴AC＝PQ，
∴四边形AQCP为矩形，
∴∠AQC＝90°，
同方法一求出EF＝AQ＝，
∴BQ＝＝＝，
∴QC＝BC﹣BQ＝5﹣＝，
∴，
∴当t＝秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
25．解：（1）观察图形，完成下表，
m 个数 n 1 2 3 …
3 3 5 7 …
4 4 6 8 …
故答案为：6，8；
（2）三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3+2（1﹣1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3+2（2﹣1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3+2（3﹣1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）＝2m+1，
四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）＝2m+2，
n边形内部有m个点，则原n边形被分割成n+2（m﹣1）＝2m+n﹣2个不重叠的小三角形；
故答案为：（2m+1），（2m+2），（2m+n﹣2）；
（3）设这个多边形的边数为n，则内部的点的个数为n，
根据题意得，2×n+n﹣2＝2021，
解得：n＝1445，
答：这个多边形的边数为1445．
26．解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为： ++＝360，
两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣＝2，
两边都除以2得： +＝．
27．解：（1）如图所示：
（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）∵＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，
∴﹣＝，
解得n＝99．
故答案为：42，n（n+1）；99．