周期律 28．1．3圆周角
教学内容
28.1圆周角
课型
新授课
主备人
执教人
教学目标
1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理．
2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算．
3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点、难点
重点：1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题
难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
一、复习引入
1.圆心角定义： 。
二、实践与探索
究竟什么样的角是圆周角呢？
知识点1---圆周角定义： 。（见课本）
练习1：判断下列各图中的角是否是圆周角。
练习2:找出右图中所有的圆周角。
探索1：圆周角的度数
（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那 么，
∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
用量角器量出的度数，
②证明：因为OA＝OB＝OC，
所以△AOC、△BOC都是
所以∠OAC＝ ，∠OBC＝
又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝ 。
所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，
即知识点2-----半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的 。
应用举例: 如图，BC是⊙O的直径，∠B＝80°．
求∠BCA的度数．
（二）探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
(1)发现此时∠BOC与∠BAC的关系
(2)量角度,验证猜想: 在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：①折痕是圆周角的一条边，② 折痕在圆周角的内部，③折痕在圆周角的外部。
（3）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图（1）
（2）圆心在圆周角的内部，如图（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1= ，∠2=
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠ACD= ，∠2=
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
（4）归纳总结：
知识点3：----在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。（如图28.1.10）
(5)应用举例:
1、试分别求出图中∠x的度数。
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_ __；
3.（12河北省）如图，点0为优弧所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D= ．
4、一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
三、课堂练习：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数.
2、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
第二课时作业设计—圆的认识
一、选择题．
1．如图1，是⊙Ｏ的直径，弦与相交于点，则下列结论一定成立的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
图1 图2 图3
2、如图2，是⊙Ｏ上三点，若，则的度数是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、如图3，⊙Ｏ中弧的度数为，是⊙Ｏ的直径，那么等于（ ）
A．60° B．50° C． 40° D．30°
4、如图，圆心角∠AOB=，P是上任一点（不与A，B重合），点在的延长线上，则∠BPC等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
1、如图4，是⊙Ｏ的直径，=，若，则的度数为 ．
图4 图５ 图６
2、如图５，在⊙Ｏ中，．则的度数为 ．
3、如上图６，，，为⊙Ｏ上三点，若，则 度．
4、如图７，内接于⊙Ｏ，，，则⊙Ｏ半径的长为
图７ 图8 图9
5、如图８，在⊙Ｏ中，∠ＡＯＢ＝100°，C为优弧AB的中点，则
6、如图9，四边形内接于⊙Ｏ，若它的一个外角，则
三、解答题：
1. 如图，在⊙Ｏ中，已知，，求△的周长．
2、如图，已知在⊙Ｏ中，直径为10cm，弦为6cm，的平分线交⊙Ｏ于．求，和的长．
3. 如图，⊙Ｏ的直径，，求弦的长．
