2021-2022学年鲁教版六年级数学下册6.6平方差公式 自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版六年级数学下册《6-6平方差公式》自主提升训练（附答案）
1．若m2﹣n2＝24，且m﹣n＝4，则m+n等于（　　）
A．7 B．6 C．5 D．8
2．已知a﹣b＝3，a+b＝2，则a2﹣b2的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
3．若代数式M （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（　　）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
4．若a＝20210，b＝2020×2022﹣20212，c＝（）2020×（）2021，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
5．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝（　　）
A．128 B．32 C．64 D．16
6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2021的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
7．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　 　．
8．若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝　 　．
9．若x+y＝5，x﹣y＝1，则x2﹣y2＝　 　．
10．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是 　 　．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（1）可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝　 　（其中n为正整数）；
（2）根据规律计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝　 　．
12．阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22019﹣22020＝　 　．
13．根据（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…的规律，则计算22021+22020+22019+…+23+22+2+1的结果可表示为 　 　．
14．如果（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，则3m+n的值为　 　．
15．若x2﹣y2＝﹣1．则（x﹣y）2021（x+y）2021＝　 　．
16．若（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝48，则x2+y2＝　 　
17．若x+y＝6，x2﹣y2＝30，则x﹣y＝　 　．
18．发现与探索
你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝　 　．
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）32019+32018+32017+…+3+1；
（2）（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…+（﹣3）．
19．（1）计算：；
（2）计算：（2a+5）（2a﹣5）﹣4a（a﹣2）；
（3）用乘法公式计算：20202﹣2019×2021；
（4）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值．
20．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积　 　
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　
②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为　 　
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
参考答案
1．解：因为m2﹣n2＝24，m﹣n＝4，（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，
所以4（m+n）＝24，
所以m+n＝6．
故选：B．
2．解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
故选：A．
3．解：∵（﹣3x﹣y2） （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，
∴M＝（﹣3x﹣y2）．
故选：A．
4．解：a＝20210＝1；
b＝2020×2022﹣20212
＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
c＝（﹣）2020×（）2021
＝（﹣×）2020×
＝；
∴b＜a＜c．
故选：B．
5．解：∵x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝（2﹣1）（2+1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝…
＝﹣1，
又∵x+1＝2128，
∴﹣1+1＝2128，
∴n＝6，
故选：C．
6．解：（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2021，解得n≤252，
则在不超过2021的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
故选：D．
7．解：因为a2﹣b2＝﹣，
所以（a+b）（a﹣b）＝﹣，
因为a+b＝﹣，
所以a﹣b＝﹣÷（﹣）＝．
故答案为：．
8．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2．
故答案为：2．
9．解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；
把x+y＝5，x﹣y＝1代入原式得，5×1＝5；
故答案为：5．
10．解：观察代数式可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，
把x＝2，n＝2020代入得，
22020+22019+22018+…+22+2+1
＝（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），
＝22021﹣1．
故答案为：22021﹣1．
11．解：（1）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1；
（2）（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝351﹣1．
故答案为：（1）xn﹣1；（2）351﹣1．
12．解：根据题意，总结规律得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+...+x+1）＝xn+1﹣1，
当x＝2，n＝2019时，
（2﹣1）（22019+22018+...+2+1）＝22020﹣1，
∴22019+22018+...+2+1＝22020﹣1，
∴原式＝22020﹣1﹣22020＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．解：由所列举等式的规律可得，
（2﹣1）（22021+22020+22019+…+23+22+2+1）＝22022﹣1，
故答案为：22022﹣1．
14．解：∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，
∴（3m+n）2﹣32＝40，
∴（3m+n）2＝49
∴3m+n＝±7．
故答案为±7．
15．解：原式＝（x﹣y）2021（x+y）2021＝[（x+y）（x﹣y）]2021＝（x2﹣y2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为﹣1．
16．解：因为（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝48，
所以（x2+y2）2﹣12＝48，
所以（x2+y2）2＝49，
x2+y2＝±7（负值舍去）．
故答案为：7．
17．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝30，x+y＝6，
∴x﹣y＝5．
故答案为：5．
18．解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝x2020﹣1；
故答案为：x2020﹣1；
（1）原式＝（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）×＝（32020﹣1）；
（2）原式＝（﹣3﹣1）[（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…（﹣3）+1]×（﹣）﹣1
＝﹣×[（﹣3）51﹣1]﹣1
＝+﹣1
＝．
19．解：（1）原式＝1﹣16+（﹣4×）2020
＝1﹣16+1
＝﹣14；
（2）原式＝4a2﹣25﹣4a2+8a
＝8a﹣25；
（3）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（4）∵10m＝2，10n＝3，
∴103m+2n
＝103m 102n
＝（10m）3 （10n）2
＝23×32
＝8×9
＝72．
20．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）
∴（2m﹣n）＝12÷4＝3
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2
＝4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】①
原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
＝（216﹣1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16
故答案为：6．
②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050