2021-2022学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明 同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC＝3，BC＝6，AD＝5，则点D到AB的距离是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠CAB的平分线AE交CD于点H、交CB于点E，EF⊥AB于点F，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．CH＝HD D．AC＝AF
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则BE等于（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm
6．在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
7．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC＝124°，则∠DAE的度数为（　　）
A．68° B．62° C．66° D．56°
9．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
11．以方程组，的解作等腰三角形两边的长，则得到的三角形周长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，某班学生在一次数学活动课中，探索出如下结论，其中错误的是（　　）
A．EF＝BE+CF B．点O到△ABC各边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是　 　．
14．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于　 　．
15．等腰三角形中有一个内角是70°，则另外两个内角的度数分别为　 　．
16．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　 　．
17．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，∠CDE＝20°，则∠BAD的大小为 　 　．
18．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为　 　．
19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，若AB＝10，则CD＝　 　．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　 　度．
21．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是　 　cm．
22．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　．
三．解答题（共5小题，满分44分）
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AC，AB边上的高BD和CE相交于点F．
求证：△BFC是等腰三角形．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）请说明：AB＝CD．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，BD是∠ABC的平分线，E是AB的中点．
（1）证明DE∥BC；（2）求∠EDB的度数．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝3，
即点D到AB的距离是3．
故选：B．
2．解：A、∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACD＝∠B，正确，故本选项错误；
B、∵AE平分∠CAB，∠ACB＝90°，EF⊥AB，
∴CE＝EF，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠B＝∠ACD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE＝EF，正确，故本选项错误；
C、CH＝EF＞HD，错误，故本选项正确；
D、在Rt△ACE和Rt△AFE中，AE＝AE，CE＝EF，由勾股定理得：AC＝AF，正确，故本选项错误；
故选：C．
3．解：连接EA，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣BE）2＝BE2，
解得，BE＝，
故选：C．
4．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，
解得x＝17，
此时三边长7cm、7cm、17cm，
∵7+7＜17
∴此三角形不成立；
若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得
7+x+x＝31，
解得x＝12，
此时三边长7cm、12cm、12cm．
答：该等腰三角形的腰长为12cm．
故选：D．
6．解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
7．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
8．解：∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝56°，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝124°﹣56°＝68°，
故选：A．
9．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
10．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故选：C．
11．解：方程组，得，
若4为腰，三边长为4，4，2，周长为4+4+2＝10；
若2为腰，三边长为2，2，4，不能构成三角形．
故选：C．
12．解：A、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF，正确，故本选项不符合题意；
B、过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于 N，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AC，
∴OM＝ON，OD＝ON，
∴OM＝ON＝OD，
即点O到△ABC各边的距离相等，正确，故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+A，错误，故本选项符合题意；
D、连接AO，
∵OD＝m＝OM，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝+
＝×AE×m+m
＝m（AE+AF）
＝mn，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分40分）
13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
14．解：∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∵AC的垂直平分线交BC与E，
∴AE＝CE，
∵BC＝10，
∴BD+CE+DE＝10，
∴AD+ED+AE＝10，
∴△ADE的周长为10，
故答案为：10．
15．解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：55°，55°或70°，40°．
16．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
17．解：∵∠ADC是三角形ABD的外角，∠AED是三角形DEC的一个外角，∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠ADE+20°，∠AED＝∠C+20°，
∵AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝AE，∠CDE＝20°，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+20°，
∴∠C+∠BAD＝∠C+20°+20°，
∴∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
18．解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×10＝5（cm）．
故答案为：5cm．
19．解：∵△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AB，
∵AB＝10，
∴CD＝5，
故答案为：5．
20．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
即∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45．
21．解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
22．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故答案为6．
三．解答题（共5小题，满分44分）
23．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
在△BEC和△CDB中，
，
∴△BEC≌△CDB（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴FB＝FC，
∴△BFC是等腰三角形．
24．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
（2）证明：∵∠DAB＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD．
25．解：（1）证明：
∵BD是等腰△ABC的∠ABC的平分线，
∴D是AC的中点，
又E是AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．
（2）∵DE∥BC，
∴．
26．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
27．（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．