2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 课后自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》课后自主提升训练（附答案）
1．下列图形中，∠AOB为圆心角的是（　　）
A．B．C．D．
2．下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
3．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）
A．32° B．60° C．68° D．64°
5．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
6．如图，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠OAB之间的关系是（　　）
A．∠AOC＞2∠OAB B．∠AOC＝2∠OAB C．∠AOC＜2∠OAB D．不能确定
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
8．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是（　　）
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
9．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
10．如图，A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD，则下列说法不正确的是（　　）
A．∠AOB＝∠COD B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝BD D．OC＝CD
11．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．EF＝GH
12．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（　　）
A．150° B．75° C．60° D．15°
13．在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
14．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
15．在⊙O中，弧AB的度数为60°，则弧AB所对的圆心角的度数为　 　．
16．AB是⊙O的直径，C，D是上两点，且，，的比为3：2：5（，，弧长之和为），则∠AOC＝　 　．
17．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，
则圆柱上M，N两点间的距离是　 　cm．
18．已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠COA＝120°，则∠CBA的度数为　 　．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D，则的度数为　 　度．
20．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
21．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
22．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；
B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；
D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
3．解：∵，∠BOC＝40°，
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
故选：D．
4．解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
5．解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝＝＝4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
6．解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
又∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
同理△OBC是等边三角形．
∴∠A＝∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝2∠OAB．
故选：B．
7．解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
8．解：∵＝，
∴，
∴，
∴AC＝BD．
故选：A．
9．解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°，
故选：C．
10．解：∵AB＝CD，
∴∠AOB＝∠COD，故A正确；
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，故B正确；
∴AC＝BD，故C正确；
∵△OCD不一定是等边三角形，
∴OC不一定等于CD，故D错误．
故选：D．
11．解：连接EG，AE，
∵AB的中垂线CD分别交于C，
∴＝，故A正确；
∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，
∴＝，故B正确；
∴四边形EFHG是矩形，
∴EF＝GH，故D正确．
∵AE＞AF＝DF，
∴AE＞EC，
∴＞，故C错误．
故选：C．
12．解：∵在⊙O中，，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C；
又∠A＝30°，
∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．
故选：B．
13．解：如图，∵OA＝OB＝AB＝2，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：B．
14．解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧ED的度数都是40度，
∴∠COE＝80°．
故选：C．
15．解：∵弧AB的度数为60°，
∴弧AB所对的圆心角的度数为60°，
故答案为：60°．
16．解：∵，，的比为3：2：5（，，弧长之和为），
∴∠AOC：∠COD：∠BOD＝3：2：5，
∴∠AOC＝×180°＝54°．
故答案为54°．
17．解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为：×360°＝120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．
故答案为：5．
18．解：如图
当B点在优弧AC上，则∠ABC＝∠AOC＝60°；
当B点在劣弧AC上，即B′点，则∠B′+∠B＝180°，
所以∠B′＝120°．
故答案为：60°或120°．
19．解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，
∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝65°，∴∠ACD＝180°﹣2∠A＝50°，
∴弧AD的度数是50度．
20．证明：（1）连接OB、OC，
∵＝．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
21．证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
22．（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A
又∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠DCN＝∠ECF﹣∠DCM＝45°﹣∠DCM
∠BCN＝∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM
＝90°﹣45°﹣∠ACM＝45°﹣∠ACM
∴∠DCN＝∠BCN
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM+∠CDN＝∠A+∠B＝90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2＝DM2+DN2，即MN2＝AM2+BN2．
（Ⅱ）解：关系式MN2＝AM2+BN2仍然成立．
证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM，
又∵CA＝CB，得CG＝CB．
∵∠GCN＝∠GCM+∠ECF＝∠GCM+45°
∴∠BCN＝∠ACB﹣∠ACN＝90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）＝45°+∠ACM
得∠GCN＝∠BCN．
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°﹣∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM﹣∠CGN＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN2＝GM2+GN2，即MN2＝AM2+BN2．