湘教版初中数学七年级下册2.2.1平方差公式同步练习
一、单选题
1．（2019七下·涡阳期末）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）
2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+b2=（a+b）（a-b）
3．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
4．（2021七上·上海期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）
5．（2021七下·西湖期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2021七下·丽水期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2-1 B．-a2-1 C．a2+1 D．a2+a
7．（2021七下·盐城期末）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·怀化期末）如图，在边长为 的正方形中挖掉一个边长为 的小正方形（ ，把余下部分剪拼成长方形如右图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021七下·越城期末）下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+3y）（2y﹣3x） B．（﹣2x﹣3y）（2x+3y）
C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y） D．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y）
10．（2021七下·永年期末）若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
11．（2021七下·肥东期末）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a＋b)(a－b) B．(x－2y)(－x＋2y)
C．(x－2y)(－x－2y) D．( x－y)(y＋0.5x)
12．（2021七下·余姚期末）下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．m2+n2 B．4x2﹣（﹣y2）
C．﹣4a2﹣b2 D．﹣9x2+4y2
二、填空题
13．（2021七上·黄浦期中）1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ．
14．（2021七上·汨罗期中）根据公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）来解题有时能起到简化计算的效果.比如计算502﹣49＝（50+49）×（50﹣49）＝99×1＝99，根据这种方法计算（ ）2﹣（ ）2结果是
15．计算( +1)( -1)的结果等于
16．计算：(2+ )(2- )=
17．（2021七下·苏州期末）已知 ，则 .
18．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
三、计算题
19．（2021七上·杨浦期中）（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c）．
20．（2021七上·奉贤期中）简便计算：23×54+29×31．
四、解答题
21．（2021七上·龙凤期末）算式2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1计算的结果个位是几？
22．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
23．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
24．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
25．（2020七上·闵行期末）分解因式: .
五、综合题
26．（2021七上·槐荫期中）
（1）例：代数式 表示 、 两数和的平方，仿照上例填空：代数式 表示
（2）试计算 、 取不同数值时， 及 的值，填入表：
、 的值 当 ， 时 当 ， 时 当 ， 时
（3）我的发现： ；
（4）用你发现的规律计算： ．
27．（2021七下·桥西期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
28．（2021七下·江州期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式示：S1= ，S2= （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20182-2019×2017.
29．（2021七下·包河期末）探究规律，解决问题：
（1）化简： ， ．
（2）化简： ，写出化简过程．
（3）化简： ．（n为正整数， 为 项多项式）
（4）利用以上结果，计算 的值．
30．（2021七下·阜南期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如上图1可以求出阴影部分的面积是 ；
（2）如上图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式 ；（用含a，b的式子表示）
（4）小明展示了以下例题：计算： ．
解：原式
= ．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2-b2，
拼成的矩形的面积是：（a+b）（a-b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：B．
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
2．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；
第二个图形是梯形，则面积是：（2a+2b) （a-b)=（a+b)（a-b)．
则a2-b2=（a+b)（a-b)．
故选C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，故A不符合题意；
（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义对每个选项一一判断即可。
5．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图①，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以①符合题意；
（2）如图②，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以②符合题意；
（3）如图③，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，高为（a-b）的梯形，因此面积为 （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故答案为：D.
【分析】按照不同的裁剪方式，拼接乘不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，从而得出结论.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： A、a2-1=(a+1) (a-1)，正确；
B、-a2-1=-(a2+1) ，错误；
C、 a2+1，不能分解因式，错误；
D、a2+a=a(a+1) ，错误；
故答案为：A.
【分析】平方差公式为：a2-b2=(a+b) (a-b)，根据公式分别判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A选项，原式=x2 y2，符合题意；
B选项，没有相反项，不符合题意；
C选项，没有相同项，不符合题意；
D选项，没有相同的项，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据正方形的面积公式可知剩下的面积= ，
拼成的新的矩形是长为（a+b），宽为（a-b），面积为： ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的面积公式求出左边第一个图形中阴影部分的面积= ，再根据矩形的面积公式求出第二个图形中阴影部分的面积= ，根据两个图形中阴影部分的面积不变即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（2x+3y）（2y﹣3x）不能利用平方差公式计算，故A不符合题意；
B、（﹣2x﹣3y）（2x+3y），不能利用平方差公式计算，故B不符合题意；
C、（﹣2x+3y）（2x﹣3y），不能利用平方差公式计算，故C不符合题意；
D、（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y） ，不能利用平方差公式计算，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，再对各选项逐一判断.
10．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
= ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式展开，再代入计算即可。
11．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为a＋b与a－b中的相同项是a，不同项b与－b互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝a2－b2；故本选项不符合题意；
B、因为x－2y与－x＋2y中两项都互为相反数，所以它们的积不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、因为a＋b与a－b中的相同项是－2y，不同项x与－x互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝4y2－x2；故本选项不符合题意；
D、因为a＋b与a－b中的相同项是0.5x（0.5＝ ），不同项y与－y互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝ x2－y2；故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的定义逐项判定即可。
12．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、是m和n平方的和，不是平方差，故A不符合题意；
B、化简得4x2+y2，是2x与y平方的和，不是平方差，故B不符合题意；
C、﹣4a2﹣b2=-（4a2+b2），是2a和b平方的和，不是平方差，故C不符合题意；
D、﹣9x2+4y2=（2y）2-（3x）2=（2y+3x）（2y-3x），故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式即可求解.
13．【答案】5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 1002-992 + 982-972 + 962-952 +…+22-12
=（100 + 99）（100-99）+（98 + 97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
= 100+ 99+98+ 97+…+2+1
=5050．
故答案为：5050
【分析】先把每两项结合，再利用平方差公式的逆用将原式变形，再计算加减即可.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（ ）2﹣（ ）2
＝（ + ）×（ - ）
＝1×
＝
故答案为： .
【分析】根据平方差公式可得原式=(+)×(-)，据此计算.
15．【答案】6
【知识点】平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ( +1)( -1)
=7-1
=6.
故答案为：6.
【分析】先根据平方差公式将括号展开，再进行有理数的减法运算即可.
16．【答案】1
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=
=4-3
=1.
【分析】根据平方差公式把括号展开，然后进行乘方的运算，最后进行有理数的减法运算即得结果.
17．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x-2y=1，
∴x2-4y-4y2=（x+2y）（x-2y）-4y=x+2y-4y=x-2y=1.
故答案为：1.
【分析】将原式变形为x2-4y-4y2=（x+2y）（x-2y）-4y，然后整体代入计算即可.
18．【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
19．【答案】解：（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】将原式化为（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c），再利用平方差公式展开即可。
20．【答案】解：23×54+29×31，
= ，
=
= ，
= ，
=5899．
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【分析】利用积的乘方和平方差公式分解因式即可。
21．【答案】解：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
，
∵3=3，3=9，3=27，3=81， ，
∴个位数每4个数一循环，
∵ ，
∴ 的个位数为1，
即结果个位是1．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】利用平方差公式计算算式，再找出规律计算求解即可。
22．【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
23．【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
24．【答案】解：(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24n，当n为自然数时，24n就是24的倍数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】 原式利用平方差公式进行因式分解，然后整理得出结果为24n，据此判断即可.
25．【答案】
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式即可因式分解.
26．【答案】（1）两数的和与两数的差的积
（2）解：
、 的值 当 ， 时 当 ， 时 当 ， 时
5 24
5 24
（3）
（4）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 表示两数的和， 表示两数的差，即 表示两数的和与两数的差的积；
【分析】（1）根据代数式的意义用语言表述即可；
（2）直接代入计算即可；
（3） ；
（4）利用（3）中关系，可将原式变形为，再计算即可.
27．【答案】（1） （或
（2）解：
（3）解：
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系可列出关系式；
（2）由（a+b）（a-b）=a2-b2，可解决问题；
（3）可将进行因式分解，变形为，再将 ， ，代入计算即可。
28．【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）解：比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a-b）=a2-b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）解：
.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2-b2；
图2长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
【分析】（1） 图1中阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形的面积；图2中阴影部分是长为a+b，宽为a-b的矩形，可得图2中阴影部分面积=长×宽，据此即得结论；
（2）根据阴影部分的面积相等，可得 （a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）先将原式变形为，然后利用（2）公式进行计算即可.
29．【答案】（1）；
（2）解：
=
= ．
（3）
（4）解：
=
= ．
∴ ．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） ，
．
（3）
=
= ．（n为正整数， 为 项多项式）
【分析】（1）利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
30．【答案】（1）a2-b2
（2）a+b；a-b；（a+b）（a-b）
（3）a2-b2=（a+b）（a-b）
（4）解：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（38-1）（38+1）（316+1）+1
=（316-1）（316+1）+1
=332-1+1
=332.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
阴影部分面积=a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），
故答案为：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）先求出阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，再计算求解即可；
（2）求出拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），即可作答；
（3）根据图1的阴影部分与图2面积相等，求解即可；
（4）利用平方差公式计算求解即可。
1 / 1湘教版初中数学七年级下册2.2.1平方差公式同步练习
一、单选题
1．（2019七下·涡阳期末）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2-b2，
拼成的矩形的面积是：（a+b）（a-b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：B．
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+b2=（a+b）（a-b）
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；
第二个图形是梯形，则面积是：（2a+2b) （a-b)=（a+b)（a-b)．
则a2-b2=（a+b)（a-b)．
故选C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
3．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
4．（2021七上·上海期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，故A不符合题意；
（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义对每个选项一一判断即可。
5．（2021七下·西湖期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图①，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以①符合题意；
（2）如图②，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以②符合题意；
（3）如图③，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，高为（a-b）的梯形，因此面积为 （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故答案为：D.
【分析】按照不同的裁剪方式，拼接乘不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，从而得出结论.
6．（2021七下·丽水期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2-1 B．-a2-1 C．a2+1 D．a2+a
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： A、a2-1=(a+1) (a-1)，正确；
B、-a2-1=-(a2+1) ，错误；
C、 a2+1，不能分解因式，错误；
D、a2+a=a(a+1) ，错误；
故答案为：A.
【分析】平方差公式为：a2-b2=(a+b) (a-b)，根据公式分别判断即可.
7．（2021七下·盐城期末）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A选项，原式=x2 y2，符合题意；
B选项，没有相反项，不符合题意；
C选项，没有相同项，不符合题意；
D选项，没有相同的项，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断.
8．（2021七下·怀化期末）如图，在边长为 的正方形中挖掉一个边长为 的小正方形（ ，把余下部分剪拼成长方形如右图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据正方形的面积公式可知剩下的面积= ，
拼成的新的矩形是长为（a+b），宽为（a-b），面积为： ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的面积公式求出左边第一个图形中阴影部分的面积= ，再根据矩形的面积公式求出第二个图形中阴影部分的面积= ，根据两个图形中阴影部分的面积不变即可得出答案.
9．（2021七下·越城期末）下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+3y）（2y﹣3x） B．（﹣2x﹣3y）（2x+3y）
C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y） D．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（2x+3y）（2y﹣3x）不能利用平方差公式计算，故A不符合题意；
B、（﹣2x﹣3y）（2x+3y），不能利用平方差公式计算，故B不符合题意；
C、（﹣2x+3y）（2x﹣3y），不能利用平方差公式计算，故C不符合题意；
D、（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y） ，不能利用平方差公式计算，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，再对各选项逐一判断.
10．（2021七下·永年期末）若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
= ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式展开，再代入计算即可。
11．（2021七下·肥东期末）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a＋b)(a－b) B．(x－2y)(－x＋2y)
C．(x－2y)(－x－2y) D．( x－y)(y＋0.5x)
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为a＋b与a－b中的相同项是a，不同项b与－b互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝a2－b2；故本选项不符合题意；
B、因为x－2y与－x＋2y中两项都互为相反数，所以它们的积不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、因为a＋b与a－b中的相同项是－2y，不同项x与－x互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝4y2－x2；故本选项不符合题意；
D、因为a＋b与a－b中的相同项是0.5x（0.5＝ ），不同项y与－y互为相反数，所以它们的积可以用平方差公式计算，即原式＝ x2－y2；故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的定义逐项判定即可。
12．（2021七下·余姚期末）下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．m2+n2 B．4x2﹣（﹣y2）
C．﹣4a2﹣b2 D．﹣9x2+4y2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、是m和n平方的和，不是平方差，故A不符合题意；
B、化简得4x2+y2，是2x与y平方的和，不是平方差，故B不符合题意；
C、﹣4a2﹣b2=-（4a2+b2），是2a和b平方的和，不是平方差，故C不符合题意；
D、﹣9x2+4y2=（2y）2-（3x）2=（2y+3x）（2y-3x），故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式即可求解.
二、填空题
13．（2021七上·黄浦期中）1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ．
【答案】5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 1002-992 + 982-972 + 962-952 +…+22-12
=（100 + 99）（100-99）+（98 + 97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
= 100+ 99+98+ 97+…+2+1
=5050．
故答案为：5050
【分析】先把每两项结合，再利用平方差公式的逆用将原式变形，再计算加减即可.
14．（2021七上·汨罗期中）根据公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）来解题有时能起到简化计算的效果.比如计算502﹣49＝（50+49）×（50﹣49）＝99×1＝99，根据这种方法计算（ ）2﹣（ ）2结果是
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（ ）2﹣（ ）2
＝（ + ）×（ - ）
＝1×
＝
故答案为： .
【分析】根据平方差公式可得原式=(+)×(-)，据此计算.
15．计算( +1)( -1)的结果等于
【答案】6
【知识点】平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ( +1)( -1)
=7-1
=6.
故答案为：6.
【分析】先根据平方差公式将括号展开，再进行有理数的减法运算即可.
16．计算：(2+ )(2- )=
【答案】1
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=
=4-3
=1.
【分析】根据平方差公式把括号展开，然后进行乘方的运算，最后进行有理数的减法运算即得结果.
17．（2021七下·苏州期末）已知 ，则 .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵x-2y=1，
∴x2-4y-4y2=（x+2y）（x-2y）-4y=x+2y-4y=x-2y=1.
故答案为：1.
【分析】将原式变形为x2-4y-4y2=（x+2y）（x-2y）-4y，然后整体代入计算即可.
18．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
三、计算题
19．（2021七上·杨浦期中）（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c）．
【答案】解：（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】将原式化为（a﹣2b＋c）（a＋2b﹣c），再利用平方差公式展开即可。
20．（2021七上·奉贤期中）简便计算：23×54+29×31．
【答案】解：23×54+29×31，
= ，
=
= ，
= ，
=5899．
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【分析】利用积的乘方和平方差公式分解因式即可。
四、解答题
21．（2021七上·龙凤期末）算式2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1计算的结果个位是几？
【答案】解：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
，
∵3=3，3=9，3=27，3=81， ，
∴个位数每4个数一循环，
∵ ，
∴ 的个位数为1，
即结果个位是1．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】利用平方差公式计算算式，再找出规律计算求解即可。
22．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
23．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
24．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
【答案】解：(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24n，当n为自然数时，24n就是24的倍数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】 原式利用平方差公式进行因式分解，然后整理得出结果为24n，据此判断即可.
25．（2020七上·闵行期末）分解因式: .
【答案】
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式即可因式分解.
五、综合题
26．（2021七上·槐荫期中）
（1）例：代数式 表示 、 两数和的平方，仿照上例填空：代数式 表示
（2）试计算 、 取不同数值时， 及 的值，填入表：
、 的值 当 ， 时 当 ， 时 当 ， 时
（3）我的发现： ；
（4）用你发现的规律计算： ．
【答案】（1）两数的和与两数的差的积
（2）解：
、 的值 当 ， 时 当 ， 时 当 ， 时
5 24
5 24
（3）
（4）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） 表示两数的和， 表示两数的差，即 表示两数的和与两数的差的积；
【分析】（1）根据代数式的意义用语言表述即可；
（2）直接代入计算即可；
（3） ；
（4）利用（3）中关系，可将原式变形为，再计算即可.
27．（2021七下·桥西期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） （或
（2）解：
（3）解：
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系可列出关系式；
（2）由（a+b）（a-b）=a2-b2，可解决问题；
（3）可将进行因式分解，变形为，再将 ， ，代入计算即可。
28．（2021七下·江州期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式示：S1= ，S2= （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20182-2019×2017.
【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）解：比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a-b）=a2-b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）解：
.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2-b2；
图2长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
【分析】（1） 图1中阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形的面积；图2中阴影部分是长为a+b，宽为a-b的矩形，可得图2中阴影部分面积=长×宽，据此即得结论；
（2）根据阴影部分的面积相等，可得 （a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）先将原式变形为，然后利用（2）公式进行计算即可.
29．（2021七下·包河期末）探究规律，解决问题：
（1）化简： ， ．
（2）化简： ，写出化简过程．
（3）化简： ．（n为正整数， 为 项多项式）
（4）利用以上结果，计算 的值．
【答案】（1）；
（2）解：
=
= ．
（3）
（4）解：
=
= ．
∴ ．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） ，
．
（3）
=
= ．（n为正整数， 为 项多项式）
【分析】（1）利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则计算求解即可；
30．（2021七下·阜南期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如上图1可以求出阴影部分的面积是 ；
（2）如上图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式 ；（用含a，b的式子表示）
（4）小明展示了以下例题：计算： ．
解：原式
= ．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算： ．
【答案】（1）a2-b2
（2）a+b；a-b；（a+b）（a-b）
（3）a2-b2=（a+b）（a-b）
（4）解：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
=（38-1）（38+1）（316+1）+1
=（316-1）（316+1）+1
=332-1+1
=332.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
阴影部分面积=a2-b2，
故答案为：a2-b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），
故答案为：a+b，a-b，（a+b）（a-b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）先求出阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，再计算求解即可；
（2）求出拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），即可作答；
（3）根据图1的阴影部分与图2面积相等，求解即可；
（4）利用平方差公式计算求解即可。
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