湘教版初中数学七年级下册2.2.2完全平方公式同步练习
一、单选题
1．（2021七上·平阳月考）如果 2＋2m ＋16是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．4 B．8 C． 4 D． 8
2．（2021七下·北仑期末）若 ， .则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
3．（2021七下·江宁期末）已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
4．（2021七下·娄星期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为
A．6 B． C． D．无法确定
5．（2021七下·苏州期末）若多项式
是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
6．（2021七下·滨江期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021七下·盐城期末）如图，4张边长分别为 、 的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·长兴期末）已知（a+b）2=8，（a-b）2=2，则a2+b2的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
9．（2021七下·桥西期末）将 变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021七下·昌平期末）如果 是一个完全平方式，则 等于（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．±4
11．（2021七下·上虞期末）将图1中四个阴影小正方形拼成边长为2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021七上·平阳月考）如图，在长方形ABCD中，ABA．17 B．21 C．24 D．28
二、填空题
13．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则 ．
14．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则代数式 的值是 ．
15．（2021七上·奉贤期中）如果（a+ ）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是 ．（只需填写一个）
16．（2021七下·镇海期末）若二次三项式x2﹣kx＋16是一个完全平方式，则k的值是 .
17．（2021七下·鄞州期末）若一个整数能表示成 （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 ，所以5是一个完美数.已知 （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 .
18．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
三、计算题
19．（2021七下·泾县期末）计算：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)
20．（2021七下·濉溪期中）化简：(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)
四、解答题
21．（2018七上·十堰期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．
22．（2017七上·香洲期中）（1）按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：
4
16
（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求 。
23．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．
24．（2019七下·邵阳期中）已知 是 的三边的长，且满足 ，试判断此三角形的形状.
25．（2020七下·泰兴期中）如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积.
五、综合题
26．（2021七上·江阴期中）
（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.
①a2；② . ③b2 ； ④ .
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达： .
（3）利用（2）的结论计算10.232+20.46×9.77+9.772的值.
27．（2021七上·东莞期中）
（1）填写下表：
a，b的值
a=4，b=2 4
a=-1，b=3 16
a=-2，b=-5
（2）比较表中两式的计算结果，你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求2 019 -4 038×2 017+2 017 ．
28．（2021七下·吴中期末）阅读：若 满足 ，求 的值，
解：设 ， ，则 ______， ______，所以 ______.
请仿照上例解决下面的问题：
（1）补全题目中横线处：
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 满足 ，求 的值；
（4）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积是400，四边形 和 都是正方形， 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）.
29．（2021七下·成都期末）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题.请你观察、思考并解决下列问题：
（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；
（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积.
30．（2021七下·汉台期末）已知a+b＝6，ab＝2，求下列各式的值
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： 2＋2m ＋16 =x2±8x+16=(x±4)2，
∴2m=±8，
∴m=±4.
故答案为：C.
【分析】完全平方公式是：（a±b）=a2+2ab+b2，根据公式列式计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平方根；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =±4，
故答案为：A.
【分析】将已知的两个方程相加，将方程的左边分解因式，可求出a+b的值.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）
=3x2-x+3-2x2-3x+1
=x2-4x+4
=（x-2）2≥0，
∴M≥N.
故答案为：A.
【分析】由题意可得M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)=(x-2)2，然后结合平方的非负性进行比较.
4．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 是一个完全平方式，
，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】由完全平方式可得-k=±2×1×3，据此可得k的值.
5．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵9x2-mx+4是一个完全平方式，
∴-m=±12，
∴m=±12.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方的结构特征解答即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.（x+2y）（x-2y）=x2-4y2，故本选项不符合题意；
B.（x-y）（-x-y）=y2-x2，故本选项不符合题意；
C.（x-y）2=x2-2xy+y2，故本选项符合题意；
D.（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，可对A，B作出判断；利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对C，D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，
大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1=（a+b）2，
小正方形的边长为a b，则小正方形面积S2=（a b）2，
四个长方形的面积为4ab，
∵S1 S2=4ab，
∴（a+b）2 （a b）2=4ab，
故答案为：D.
【分析】设大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为a- b，然后表示出S1、S2，四个长方形的面积为4ab，然后根据面积间的和差关系进行解答.
8．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵（a+b）2=8，∴a2+2ab+b2=8，
∵（a-b）2=2，∴a2-2ab+b2=2，
∴a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=10，
∴2（a2+b2）=10，
∴a2+b2=5，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式分别将两式左式展开，然后将两式左右相加整理可得结果.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
10．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 是一个完全平方式，
，
，
即 ，
故答案为：D．
【分析】先将原式写成一个完全平方式，再将其展开，与原式比较即可得出答案。
11．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图2中阴影部分的面积可以为（a-b）2，也可以为a2-2ab+b2
∴（a-b）2=a2-2ab+b2.
故答案为：A.
【分析】用两种方法表示出图2中的阴影部分的面积，根据其面积相等，可得答案.
12．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：正方形PMNF面积+正方形GHCF面积=FC2+EC2= ，
∵EH=EC-HC=EC-FC=，
∴EC2+FC2-2EC×FC=，
∴EC×FC=6，
∴（EC+FC）2=FC2+EC2+2EC×FC=+12=，
∴EC+FC=或-（舍），
长方形ABCD面积=BC×CD=（EC+BE）×（FC+FD）=（EC+2）（FC+2）
=2（EC+FC）+EC×FC+4=11+6+4=21.
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积之和求出FC2+EC2的值，结合EH=EC-FC=求出EC×FC的值，两者结合利用完全平方公式求出EC+FC的值，然后把长方形的面积化成2（EC+FC）+EC×FC+4，最后代值计算即可.
13．【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 -2＝49，
则 51，
故答案为：51．
【分析】根据完全平方公式可将变形为 -2＝49，即可得到 51。
14．【答案】-3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-3．
【分析】根据，，可得，即可求出。
15．【答案】3b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：a2+6ab+9b2= a2+2×a×3b+（3b）2=（a+3b）2，
∴（a+ 3b ）2＝a2+6ab+9b2，
故答案为3b．
【分析】求出a2+6ab+9b2= a2+2×a×3b+（3b）2=（a+3b）2，即可作答。
16．【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2﹣kx＋16可以写成一个完全平方式，
∴x2﹣kx＋16＝（x±4）2＝x2±8x＋16，
∴k＝±8.
故答案是：±8.
【分析】利用完全平方公式可得到x2﹣kx＋16＝（x±4）2，再利用对应项的系数相等，可求出k的值.
17．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：M＝（x2＋4x＋4）＋（4y2 12y＋9）＋k 13
＝（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，
∵M为完美数，
∴k 13＝0，
∴k＝13，
故答案为：13.
【分析】利用配方法将M转化为（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，利用完美数的定义，可得到k-13=0，解方程求出k的值.
18．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
19．【答案】解：(2x+y)2 +(x-y)(x +y) -5x(x-y)
=4x2 +4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy
= 9xy
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行化简，再合并同类项，即可得出答案.
20．【答案】解：原式=4m2+9n2-12mn-（4m2-2mn+2mn-n2）
=4m2+9n2-12mn-4m2+2mn-2mn+n2
=10n2-12mn
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意，由完全平方公式以及平方差公式的性质，化简式子得到答案即可。
21．【答案】解：
∵大正方形的面积= a2
还可以表示为
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】由图乙可知：较大正方形的边长为（a-b）,所以较大正方形的面积=（a-b）2；而此正方形还可看作由最大正方形的面积-两个长和宽分别为（a-b）和b的长方形的面积-边长为b的小正方形的面积；于是整理可得（a-b）2=a2-2ab+b2.
22．【答案】（1）4；16；9；9
（2）解： =
（3）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）
4 4
16 16
9 9
【分析】（1）根据表格中的公式，分别将a和b的数值代入求值即可。
（2）根据（1）表格中数值的计算结果，可以看出 （a-b）2=a2-2ab+b2。
（3）对题目中所要求的式子进行变形化简，化为a2-2ab+b2的形式，根据（a-b）2=a2-2ab+b2简单求值即可。
23．【答案】解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．∵大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】根据图形面积公式得到完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2.
24．【答案】解：将 变形,可得
由完全平方公式可得
由非负数的性质,得
即
所以
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】将原式展开后可得 ,再结合完全平方式的特点分组得到 接下来根据完全平方公式可得 结合非负数的性质即可使问题得解
25．【答案】解：由题意得 ，
∴ a+b=6，
∴ ，
即 ，
∴ab＝8，
∴
=6
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质
【解析】【分析】由题意得a+b=6，a2+b2=20，根据完全平方公式可求出ab的值，由面积的和差关系即可求解.
26．【答案】（1）2ab；（a+b）2
（2）a2+2ab+b2=（a+b）2
（3）10.232+20.46×9.77+9.772=（19+1）2=400.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）a2、2ab、b2、（a+b）2；
故答案为：2ab，（a+b）2；
（2）如图：
a2+2ab+b2=（a+b）2；
故答案为：a2+2ab+b2=（a+b）2；
【分析】（1）根据矩形、正方形的面积公式进行解答；
（2）根据面积之间的和差关系可得a2+2ab+b2=(a+b)2；
（3）原式可变形为(10.23+9.77)2，据此计算.
27．【答案】（1）4；16；9；9
（2）解：（a-b）2=a2-2ab+b2；
（3）解：由（2）中的等式可知：
2 019 -4 038×2 017+2 017
=20192-2×2019×2015+20172
=（2019-2017）2
=4．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）当a=4，b=2时， ；
当a=-1，b=3时， ；
当a=-2，b=-5时， ，
；
故答案为：4； 16； 9； 9．
【分析】（1）将每行的数据代入计算即可；
（2）根据表格的数据可得到结论；
（3）根据（2）中的结论，将数据代入计算即可。
28．【答案】（1）解：设 ， ，
则 ， ，
所以 ；
故答案为：30，20，340；
（2）解：设 ， ，
则 ， ，
；
（3）解：设 ， ，
则 ， ，
，
，
，即 ；
（4）解：由题意得： ， ，
则 ，
设 ， ，
则 ， ，
.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）设60-x=a，x-40=b，可得到ab=30，a+b=20；再根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算，可求出结果.
（2）设30-x=a，x-20=b，由此可得到ab和a+b的值；再利用配方法可求出结果.
（3）设2023-x=m，2022-x=n，由此可求出m2+n2的值及m-n的值，再根据（m-n）2=m2+n2-2mn，代入计算可求出mn的值，即可求解.
（4）设DE=x-10，DG=x-25，可利用长方形EFGD的面积为400，可列出方程；设x-10=a，x-25=b，可分别求出a-b和ab的值，然后利用配方法求出（a+b）2即可.
29．【答案】（1）解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn，m+n＝7，m2+n2＝25，
∴72＝25+2mn，
∴mn＝12，
∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，mn＝12，m2+n2＝25，
∴ ＝25﹣2×12＝1，
又∵m＜n，
∴m﹣n＜0，
∴m﹣n＝﹣1；
（2）解：设BA＝xm，AD＝ym，
∵长方形ABCD的周长是160米，
∴2（x+y）＝160，
即x+y＝80，
又∵两块正方形的面积和为4000平方米，
∴x2+y2＝4000，
∴
答：长方形ABCD的面积为1200平方米.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据 (m+n)2＝m2+n2+2mn结合已知条件可得mn的值，然后根据(m-n)2＝m2+n2﹣2mn结合m（2）设BA＝xm，AD＝ym，则2(x+y)＝160，x2+y2＝4000，然后根据计算即可.
30．【答案】（1）解：把a+b=6两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=36，
把ab=2代入得：a2+b2=32
（2）解：∵a2+b2=32，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=32-4=28.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算；
（2）根据(a-b)2=a2+b2-2ab进行计算.
1 / 1湘教版初中数学七年级下册2.2.2完全平方公式同步练习
一、单选题
1．（2021七上·平阳月考）如果 2＋2m ＋16是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．4 B．8 C． 4 D． 8
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： 2＋2m ＋16 =x2±8x+16=(x±4)2，
∴2m=±8，
∴m=±4.
故答案为：C.
【分析】完全平方公式是：（a±b）=a2+2ab+b2，根据公式列式计算即可.
2．（2021七下·北仑期末）若 ， .则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】平方根；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =±4，
故答案为：A.
【分析】将已知的两个方程相加，将方程的左边分解因式，可求出a+b的值.
3．（2021七下·江宁期末）已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）
=3x2-x+3-2x2-3x+1
=x2-4x+4
=（x-2）2≥0，
∴M≥N.
故答案为：A.
【分析】由题意可得M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)=(x-2)2，然后结合平方的非负性进行比较.
4．（2021七下·娄星期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为
A．6 B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 是一个完全平方式，
，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】由完全平方式可得-k=±2×1×3，据此可得k的值.
5．（2021七下·苏州期末）若多项式
是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵9x2-mx+4是一个完全平方式，
∴-m=±12，
∴m=±12.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方的结构特征解答即可.
6．（2021七下·滨江期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.（x+2y）（x-2y）=x2-4y2，故本选项不符合题意；
B.（x-y）（-x-y）=y2-x2，故本选项不符合题意；
C.（x-y）2=x2-2xy+y2，故本选项符合题意；
D.（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，可对A，B作出判断；利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对C，D作出判断.
7．（2021七下·盐城期末）如图，4张边长分别为 、 的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，
大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1=（a+b）2，
小正方形的边长为a b，则小正方形面积S2=（a b）2，
四个长方形的面积为4ab，
∵S1 S2=4ab，
∴（a+b）2 （a b）2=4ab，
故答案为：D.
【分析】设大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为a- b，然后表示出S1、S2，四个长方形的面积为4ab，然后根据面积间的和差关系进行解答.
8．（2021七下·长兴期末）已知（a+b）2=8，（a-b）2=2，则a2+b2的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵（a+b）2=8，∴a2+2ab+b2=8，
∵（a-b）2=2，∴a2-2ab+b2=2，
∴a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=10，
∴2（a2+b2）=10，
∴a2+b2=5，
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式分别将两式左式展开，然后将两式左右相加整理可得结果.
9．（2021七下·桥西期末）将 变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
10．（2021七下·昌平期末）如果 是一个完全平方式，则 等于（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．±4
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 是一个完全平方式，
，
，
即 ，
故答案为：D．
【分析】先将原式写成一个完全平方式，再将其展开，与原式比较即可得出答案。
11．（2021七下·上虞期末）将图1中四个阴影小正方形拼成边长为2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图2中阴影部分的面积可以为（a-b）2，也可以为a2-2ab+b2
∴（a-b）2=a2-2ab+b2.
故答案为：A.
【分析】用两种方法表示出图2中的阴影部分的面积，根据其面积相等，可得答案.
12．（2021七上·平阳月考）如图，在长方形ABCD中，ABA．17 B．21 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：正方形PMNF面积+正方形GHCF面积=FC2+EC2= ，
∵EH=EC-HC=EC-FC=，
∴EC2+FC2-2EC×FC=，
∴EC×FC=6，
∴（EC+FC）2=FC2+EC2+2EC×FC=+12=，
∴EC+FC=或-（舍），
长方形ABCD面积=BC×CD=（EC+BE）×（FC+FD）=（EC+2）（FC+2）
=2（EC+FC）+EC×FC+4=11+6+4=21.
故答案为：B.
【分析】根据两个正方形的面积之和求出FC2+EC2的值，结合EH=EC-FC=求出EC×FC的值，两者结合利用完全平方公式求出EC+FC的值，然后把长方形的面积化成2（EC+FC）+EC×FC+4，最后代值计算即可.
二、填空题
13．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则 ．
【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 -2＝49，
则 51，
故答案为：51．
【分析】根据完全平方公式可将变形为 -2＝49，即可得到 51。
14．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则代数式 的值是 ．
【答案】-3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-3．
【分析】根据，，可得，即可求出。
15．（2021七上·奉贤期中）如果（a+ ）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是 ．（只需填写一个）
【答案】3b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：a2+6ab+9b2= a2+2×a×3b+（3b）2=（a+3b）2，
∴（a+ 3b ）2＝a2+6ab+9b2，
故答案为3b．
【分析】求出a2+6ab+9b2= a2+2×a×3b+（3b）2=（a+3b）2，即可作答。
16．（2021七下·镇海期末）若二次三项式x2﹣kx＋16是一个完全平方式，则k的值是 .
【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2﹣kx＋16可以写成一个完全平方式，
∴x2﹣kx＋16＝（x±4）2＝x2±8x＋16，
∴k＝±8.
故答案是：±8.
【分析】利用完全平方公式可得到x2﹣kx＋16＝（x±4）2，再利用对应项的系数相等，可求出k的值.
17．（2021七下·鄞州期末）若一个整数能表示成 （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 ，所以5是一个完美数.已知 （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：M＝（x2＋4x＋4）＋（4y2 12y＋9）＋k 13
＝（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，
∵M为完美数，
∴k 13＝0，
∴k＝13，
故答案为：13.
【分析】利用配方法将M转化为（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，利用完美数的定义，可得到k-13=0，解方程求出k的值.
18．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
三、计算题
19．（2021七下·泾县期末）计算：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)
【答案】解：(2x+y)2 +(x-y)(x +y) -5x(x-y)
=4x2 +4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy
= 9xy
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行化简，再合并同类项，即可得出答案.
20．（2021七下·濉溪期中）化简：(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n)
【答案】解：原式=4m2+9n2-12mn-（4m2-2mn+2mn-n2）
=4m2+9n2-12mn-4m2+2mn-2mn+n2
=10n2-12mn
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据题意，由完全平方公式以及平方差公式的性质，化简式子得到答案即可。
四、解答题
21．（2018七上·十堰期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．
【答案】解：
∵大正方形的面积= a2
还可以表示为
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】由图乙可知：较大正方形的边长为（a-b）,所以较大正方形的面积=（a-b）2；而此正方形还可看作由最大正方形的面积-两个长和宽分别为（a-b）和b的长方形的面积-边长为b的小正方形的面积；于是整理可得（a-b）2=a2-2ab+b2.
22．（2017七上·香洲期中）（1）按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：
4
16
（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求 。
【答案】（1）4；16；9；9
（2）解： =
（3）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）
4 4
16 16
9 9
【分析】（1）根据表格中的公式，分别将a和b的数值代入求值即可。
（2）根据（1）表格中数值的计算结果，可以看出 （a-b）2=a2-2ab+b2。
（3）对题目中所要求的式子进行变形化简，化为a2-2ab+b2的形式，根据（a-b）2=a2-2ab+b2简单求值即可。
23．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．
【答案】解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．∵大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】根据图形面积公式得到完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2.
24．（2019七下·邵阳期中）已知 是 的三边的长，且满足 ，试判断此三角形的形状.
【答案】解：将 变形,可得
由完全平方公式可得
由非负数的性质,得
即
所以
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】将原式展开后可得 ,再结合完全平方式的特点分组得到 接下来根据完全平方公式可得 结合非负数的性质即可使问题得解
25．（2020七下·泰兴期中）如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积.
【答案】解：由题意得 ，
∴ a+b=6，
∴ ，
即 ，
∴ab＝8，
∴
=6
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质
【解析】【分析】由题意得a+b=6，a2+b2=20，根据完全平方公式可求出ab的值，由面积的和差关系即可求解.
五、综合题
26．（2021七上·江阴期中）
（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.
①a2；② . ③b2 ； ④ .
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达： .
（3）利用（2）的结论计算10.232+20.46×9.77+9.772的值.
【答案】（1）2ab；（a+b）2
（2）a2+2ab+b2=（a+b）2
（3）10.232+20.46×9.77+9.772=（19+1）2=400.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）a2、2ab、b2、（a+b）2；
故答案为：2ab，（a+b）2；
（2）如图：
a2+2ab+b2=（a+b）2；
故答案为：a2+2ab+b2=（a+b）2；
【分析】（1）根据矩形、正方形的面积公式进行解答；
（2）根据面积之间的和差关系可得a2+2ab+b2=(a+b)2；
（3）原式可变形为(10.23+9.77)2，据此计算.
27．（2021七上·东莞期中）
（1）填写下表：
a，b的值
a=4，b=2 4
a=-1，b=3 16
a=-2，b=-5
（2）比较表中两式的计算结果，你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求2 019 -4 038×2 017+2 017 ．
【答案】（1）4；16；9；9
（2）解：（a-b）2=a2-2ab+b2；
（3）解：由（2）中的等式可知：
2 019 -4 038×2 017+2 017
=20192-2×2019×2015+20172
=（2019-2017）2
=4．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）当a=4，b=2时， ；
当a=-1，b=3时， ；
当a=-2，b=-5时， ，
；
故答案为：4； 16； 9； 9．
【分析】（1）将每行的数据代入计算即可；
（2）根据表格的数据可得到结论；
（3）根据（2）中的结论，将数据代入计算即可。
28．（2021七下·吴中期末）阅读：若 满足 ，求 的值，
解：设 ， ，则 ______， ______，所以 ______.
请仿照上例解决下面的问题：
（1）补全题目中横线处：
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 满足 ，求 的值；
（4）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积是400，四边形 和 都是正方形， 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）.
【答案】（1）解：设 ， ，
则 ， ，
所以 ；
故答案为：30，20，340；
（2）解：设 ， ，
则 ， ，
；
（3）解：设 ， ，
则 ， ，
，
，
，即 ；
（4）解：由题意得： ， ，
则 ，
设 ， ，
则 ， ，
.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）设60-x=a，x-40=b，可得到ab=30，a+b=20；再根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算，可求出结果.
（2）设30-x=a，x-20=b，由此可得到ab和a+b的值；再利用配方法可求出结果.
（3）设2023-x=m，2022-x=n，由此可求出m2+n2的值及m-n的值，再根据（m-n）2=m2+n2-2mn，代入计算可求出mn的值，即可求解.
（4）设DE=x-10，DG=x-25，可利用长方形EFGD的面积为400，可列出方程；设x-10=a，x-25=b，可分别求出a-b和ab的值，然后利用配方法求出（a+b）2即可.
29．（2021七下·成都期末）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题.请你观察、思考并解决下列问题：
（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；
（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn，m+n＝7，m2+n2＝25，
∴72＝25+2mn，
∴mn＝12，
∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，mn＝12，m2+n2＝25，
∴ ＝25﹣2×12＝1，
又∵m＜n，
∴m﹣n＜0，
∴m﹣n＝﹣1；
（2）解：设BA＝xm，AD＝ym，
∵长方形ABCD的周长是160米，
∴2（x+y）＝160，
即x+y＝80，
又∵两块正方形的面积和为4000平方米，
∴x2+y2＝4000，
∴
答：长方形ABCD的面积为1200平方米.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据 (m+n)2＝m2+n2+2mn结合已知条件可得mn的值，然后根据(m-n)2＝m2+n2﹣2mn结合m（2）设BA＝xm，AD＝ym，则2(x+y)＝160，x2+y2＝4000，然后根据计算即可.
30．（2021七下·汉台期末）已知a+b＝6，ab＝2，求下列各式的值
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2.
【答案】（1）解：把a+b=6两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=36，
把ab=2代入得：a2+b2=32
（2）解：∵a2+b2=32，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=32-4=28.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算；
（2）根据(a-b)2=a2+b2-2ab进行计算.
1 / 1
