湘教版初中数学七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算同步练习
一、单选题
1．（2021七下·诸暨期末）如图所示，大长方形中放入5张长为 ，宽为 的相同的小长方形，其中 ， ， 三点在同一条直线上.若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】根据图形可知长方形的长为2x+y，宽为x+2y
∵阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，
∴（2x+y）（x+2y）-5xy=52，2（2x+y+x+2y）=36
化简得
∴2xy=（x+y）2- =10
∴xy=5
则一张小长方形的面积为xy=5
故答案为：C.
【分析】观察图形可知长方形的长为2x+y，宽为x+2y，再根据阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，建立关于x，y的方程组，解方程组xy的值.
2．（2021七下·青山期末）下列乘法公式的运用，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A. ，故A项不符合题意．
B. ，故B项符合题意．
C. ，故C项不符合题意．
D. ，故D项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，逐项判定即可。
3．（2021七下·青岛期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、不是同类项不能合并，故A不符合题意，
B、 ，故B不符合题意，
C、（a-1）2=a2-2a+1，故C不符合题意，
D、2a2b÷b=2a2，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式分别进行计算，然后判断即可.
4．（2021七下·新都期末）运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（ ）
A．x2﹣16 B．x2+16 C．16﹣x2 D．﹣x2﹣16
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（4＋x）（x 4）
＝（x＋4）（x 4）
＝x2 42
＝x2 16，
故答案为：A.
【分析】原式可变形为(x+4)(x-4)，然后利用平方差公式进行计算.
5．（2021七下·武侯期末）已知x﹣y＝4，xy＝2，那么（x＋y）2的值为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=42+4×2=24.
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(x+y)2=(x-y)2+4xy，然后代入进行计算.
6．（2021七下·江州期末）计算 结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】将原式转化为，利用平方差公式可求出结果.
7．（2021七下·江州期末）若a+b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2的值为（ ）
A．25 B．19 C．31 D．16
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝﹣5，
∴a2+2ab+b2＝25，
将ab＝3，代入，
得：a2+b2+6＝25，
∴a2+b2＝19，
即a2+b2的值为19.
故答案为：B.
【分析】由a+b＝﹣5，将两边同时平方，可得到a2+2ab+b2＝25，代入计算可求出a2+b2的值.
8．（2021七下·玉门期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（ ）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
.
故答案为：C.
【分析】将等式右边利用完全平方公式展开，观察等式两边二次三项式的系数的关系，即可求出a值.
9．（2021七下·新乐期末） 是一个完全平方式，则k等于（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 是完全平方式，
∴
解得：
故答案为：A．
【分析】根据（ab）2=a22ab+b2， 完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab，可得±2·4·x=kx，据此即得结论.
10．（2021七下·莘县期末）已知a﹣b＝2，ab＝1，则（a+b）2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a﹣b＝2，ab＝1，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4＝8．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的变形即可求解。
11．（2021七下·锦州期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不能用平方差公式计算，不合题意；
B、 ，不能用平方差公式计算，不合题意；
C、 ，能用平方差公式计算，符合题意；
D、 ，不能用平方差公式计算，不合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算，逐项判断即可。
12．（2021七下·槐荫期末） … +1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，故原式的个位数字为6．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
二、填空题
13．（2021七下·江都期末）已知 ， ，则 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （a+b）2=3，
∴a2+b2+2ab=3①，
∵（a b）2=5，
∴a2+b2 2ab=5②，
① ②得4ab=-2，解得ab=- .
故答案为：- .
【分析】利用完全平方公式可得到a2+b2+2ab=3①，a2+b2 2ab=5②，再由① ②，可求出ab的值.
14．（2021七下·娄星期末）已知 a+b=5，ab=1 ， 则 .
【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为：23.
【分析】由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
15．（2021七下·奉化期末）已知 ，则 .
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴
故答案为：8.
【分析】将两边同时平方，利用完全平方公式化简，即可求出结论.
16．（2021七下·乐清期末）若代数式x2-a在有理数范围内可以因式分解，则整数a的值可以为 （写出一个即可）
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：当a=1时，
x2-1=（x-1）（x+1）.
故答案为：1.
【分析】利用平方差公式可得答案，此题答案不唯一.
17．（2020七下·上城期末）计算（﹣s＋t）（﹣s﹣t）＝ .
【答案】s2-t2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（-s+t）（-s-t）
=（-s）2-t2
=s2-t2.
故答案为：s2-t2.
【分析】利用平方差公式进行计算.
18．（2021七下·滨江期末）若 ， ，则 .
【答案】89
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-b=7，ab=10，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=72+4×10=89，
故答案为：89.
【分析】利用完全平方公式可得到（a+b）2=（a-b）2+4ab，然后整体代入求值.
三、计算题
19．（2021七上·上海期中）计算：
【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
20．（2021七下·闵行期末）计算： ．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式展开，再计算即可。
21．（2021七下·商河期中）用乘法公式计算
（1）20202﹣2019×2021．
（2）（x﹣2y+3z）（x﹣2y﹣3z）．
【答案】（1）解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（2）解：原式＝（x﹣2y）2﹣（3z）2
＝x2﹣4xy+4y2﹣9z2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可。
22．（2021七下·瑶海期中）先化简，后求值：已知（x+1）2-（x-2）（x+2），其中 【答案】解： 解：原式=x2+2x+1-（x2-4）
=x2+2x+1-x2+4
=2x+5
∵＜x＜且x为整数
∴x=3
∴原式=2×3+5=11
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及平方差公式，化简式子的值，根据x的取值范围确定x，化简求出答案即可。
23．（2021七下·包河期中）当x=-2，y=2时，先化简，再求(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)的值
【答案】解：原式=4x2+y2+4xy+x2-y2-5x2+5xy
=9xy
当x=-2，y=2时，9xy=9×（-2）×2=-36
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式，化简式子，得到答案即可。
四、解答题
24．（2021七上·威远期中）已知a＝﹣ ，b＝3，试求代数式4a2﹣12ab+9b2的值.
【答案】解：当a＝﹣ ，b＝3时，
4a2﹣12ab+9b2＝（2a）2﹣2×2a×3b+（3b）2
＝（2a﹣3b）2，
＝[2×（﹣ ）﹣3×3]2，
＝（﹣1﹣9）2＝（﹣10）2，
＝100.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式把原式化为（2a﹣3b）2，再把a，b的值代入进行计算，即可得出答案.
25．（2021七上·肇源期末）已知： ， ，求 和 的值．
【答案】解： ；
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
26．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
27．（2020七下·巨野月考）已知a+b=3，ab=2，求① ；② 的值
【答案】解：∵
∴
∴
综上所述： 的值为5， 的值为3
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方变形公式： 代入求算即可．
28．（2020七下·无锡月考）阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
【答案】解：∵a2+b2-4a-6b+13=0
∴（a-2）2+（b-3）2=0，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性
【解析】【分析】利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
五、综合题
29．（2021七下·漳州期末）已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）解：解法一：
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
解法二：
∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：解法一
由（1）知 ，
∴ .
解法二：
∵ ，
∴ .
（3）解：解法一
由（2）知 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值为2020或2016.
解法二：
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值是2020或2016.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）首先由已知条件可得x+y，然后根据x2+y2=(x+y)2-2xy计算即可；
（2）由（1）可得x2+y2的值，然后根据(x-y)2=x2+y2-2xy计算即可；
（3）由（2）可得(x-y)2的值，结合已知条件可得(2a-4036)2=16，据此求解.
30．（2021七下·于洪期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2＋（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b=4，
∴（a+b）2=16．
∴a2+2ab+b2=16．
∵a2+b2=10，
∴ab=3．
②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1．
∵（x-2021）2+（x-2019）2=130，
∴（a-1）2+（a+1）2=130．
∴a2-2a+1+a2+2a+1=130．
∴2a2=128．
∴a2=64．
即（x-2020）2=64．
∴x-2020=±8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S=（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S=a2+2ab+b2．
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【分析】（1）图形②时边长为（a＋b）的正方形，他的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形 组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b=4进行平方，结合a2＋b2＝10即可求得ab的值；②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1则有（a-1）2+（a+1）2=130，进行整理可得a2=64，即可得出答案。
31．（2021七下·新都期末）
（1）已知a+b＝6，a2+b2＝26，求a﹣b的值；
（2）已知多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中不含有x2和x3项，求m+n的值.
【答案】（1）解：∵a＋b＝6，
∴（a＋b）2＝36.
∴a2＋b2＋2ab＝36.
又∵a2＋b2＝26，
∴26＋2ab＝36.
∴ab＝5.
∴（a b）2＝a2＋b2 2ab＝26 10＝16.
∴a b＝±4.
（2）解：（x2＋nx＋3）（x2 3x＋m）
＝x4 3x3＋mx2＋nx3 3nx2＋mnx＋3x2 9x＋3m
＝x4＋（n 3）x3＋（m 3n＋3）x2＋（mn 9）x＋3m.
∵多项式x2＋nx＋3与x2 3x＋m的乘积中不含有x2和x3项，
∴n 3＝0，m 3n＋3＝0.
∴m＝6，n＝3.
∴m＋n＝6＋3＝9.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由已知条件可得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝36，进而求得ab的值，然后求出(a b)2的值，开方即可得到a-b的值；
（2）利用多项式与多项式的乘法法则可得 (x2＋nx＋3)(x2 3x＋m)=x4＋(n-3)x3＋(m-3n＋3)x2＋(mn 9)x＋3m，结合题意可得n-3=0，m-3n+3=0，求解可得m、n的值，进而求得m+n的值.
32．（2021七下·阜南期末）已知实数m，n满足m＋n＝6，mn＝－3.
（1）求 的值
（2）求 的值
【答案】（1）解：因为m＋n＝6，mn＝－3，
所以(m－2)(n－2)
＝mn－2m－2n＋4
＝mn－2(m＋n)＋4
＝－3－2×6＋4
＝－11.
（2）解：m2＋n2
＝(m＋n)2－2mn
＝62－2×(－3)
＝36＋6
＝42.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据 m＋n＝6，mn＝－3， 计算求解即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
33．（2021七下·宣化期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）问题发现
他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形(如图②)．根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为a＋2b，宽为a＋b的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片 张，Ⅲ型卡片 张．
（3）拓展探究
若a＋b=5，ab=6，求a2＋b2的值；
（4）当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2＋3ab＋2b2分解因式，其结果是 ．
（5）解决问题
请你依照嘉嘉的方法，利用拼图分解因式：a2＋5ab＋6b2= ．
【答案】（1）(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
（2）2；3
（3）解：a2＋b2= （a+b）2－2ab=25－2×6=25－12=13．
（4）(a＋2b)(a＋b)
（5）(a＋2b)(a＋3b)
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张．
故答案为2，3．（4）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b） （a+b）．
故答案为（a+2b） （a+b）．（5）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图：
故答案为（a+2b）（a+3b）．
【分析】（1）根据拼图前后面积不变可得公式；
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，据此即得结论；
（3） 将原式变形为a2＋b2= （a+b）2－2ab，然后代入计算即可；
（4）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），根据拼图前后面积不变即得；
（5）先拼图后分解即得结论.
1 / 1湘教版初中数学七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算同步练习
一、单选题
1．（2021七下·诸暨期末）如图所示，大长方形中放入5张长为 ，宽为 的相同的小长方形，其中 ， ， 三点在同一条直线上.若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2021七下·青山期末）下列乘法公式的运用，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021七下·青岛期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·新都期末）运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（ ）
A．x2﹣16 B．x2+16 C．16﹣x2 D．﹣x2﹣16
5．（2021七下·武侯期末）已知x﹣y＝4，xy＝2，那么（x＋y）2的值为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．8
6．（2021七下·江州期末）计算 结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
7．（2021七下·江州期末）若a+b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2的值为（ ）
A．25 B．19 C．31 D．16
8．（2021七下·玉门期末）如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（ ）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
9．（2021七下·新乐期末） 是一个完全平方式，则k等于（ ）
A． B．8 C． D．4
10．（2021七下·莘县期末）已知a﹣b＝2，ab＝1，则（a+b）2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（2021七下·锦州期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021七下·槐荫期末） … +1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13．（2021七下·江都期末）已知 ， ，则 .
14．（2021七下·娄星期末）已知 a+b=5，ab=1 ， 则 .
15．（2021七下·奉化期末）已知 ，则 .
16．（2021七下·乐清期末）若代数式x2-a在有理数范围内可以因式分解，则整数a的值可以为 （写出一个即可）
17．（2020七下·上城期末）计算（﹣s＋t）（﹣s﹣t）＝ .
18．（2021七下·滨江期末）若 ， ，则 .
三、计算题
19．（2021七上·上海期中）计算：
20．（2021七下·闵行期末）计算： ．
21．（2021七下·商河期中）用乘法公式计算
（1）20202﹣2019×2021．
（2）（x﹣2y+3z）（x﹣2y﹣3z）．
22．（2021七下·瑶海期中）先化简，后求值：已知（x+1）2-（x-2）（x+2），其中 23．（2021七下·包河期中）当x=-2，y=2时，先化简，再求(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)的值
四、解答题
24．（2021七上·威远期中）已知a＝﹣ ，b＝3，试求代数式4a2﹣12ab+9b2的值.
25．（2021七上·肇源期末）已知： ， ，求 和 的值．
26．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
27．（2020七下·巨野月考）已知a+b=3，ab=2，求① ；② 的值
28．（2020七下·无锡月考）阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
五、综合题
29．（2021七下·漳州期末）已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
30．（2021七下·于洪期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2＋（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
31．（2021七下·新都期末）
（1）已知a+b＝6，a2+b2＝26，求a﹣b的值；
（2）已知多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中不含有x2和x3项，求m+n的值.
32．（2021七下·阜南期末）已知实数m，n满足m＋n＝6，mn＝－3.
（1）求 的值
（2）求 的值
33．（2021七下·宣化期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）问题发现
他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形(如图②)．根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为a＋2b，宽为a＋b的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片 张，Ⅲ型卡片 张．
（3）拓展探究
若a＋b=5，ab=6，求a2＋b2的值；
（4）当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2＋3ab＋2b2分解因式，其结果是 ．
（5）解决问题
请你依照嘉嘉的方法，利用拼图分解因式：a2＋5ab＋6b2= ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】根据图形可知长方形的长为2x+y，宽为x+2y
∵阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，
∴（2x+y）（x+2y）-5xy=52，2（2x+y+x+2y）=36
化简得
∴2xy=（x+y）2- =10
∴xy=5
则一张小长方形的面积为xy=5
故答案为：C.
【分析】观察图形可知长方形的长为2x+y，宽为x+2y，再根据阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，建立关于x，y的方程组，解方程组xy的值.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A. ，故A项不符合题意．
B. ，故B项符合题意．
C. ，故C项不符合题意．
D. ，故D项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，逐项判定即可。
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、不是同类项不能合并，故A不符合题意，
B、 ，故B不符合题意，
C、（a-1）2=a2-2a+1，故C不符合题意，
D、2a2b÷b=2a2，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式分别进行计算，然后判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（4＋x）（x 4）
＝（x＋4）（x 4）
＝x2 42
＝x2 16，
故答案为：A.
【分析】原式可变形为(x+4)(x-4)，然后利用平方差公式进行计算.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=42+4×2=24.
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(x+y)2=(x-y)2+4xy，然后代入进行计算.
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】将原式转化为，利用平方差公式可求出结果.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝﹣5，
∴a2+2ab+b2＝25，
将ab＝3，代入，
得：a2+b2+6＝25，
∴a2+b2＝19，
即a2+b2的值为19.
故答案为：B.
【分析】由a+b＝﹣5，将两边同时平方，可得到a2+2ab+b2＝25，代入计算可求出a2+b2的值.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
.
故答案为：C.
【分析】将等式右边利用完全平方公式展开，观察等式两边二次三项式的系数的关系，即可求出a值.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ 是完全平方式，
∴
解得：
故答案为：A．
【分析】根据（ab）2=a22ab+b2， 完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab，可得±2·4·x=kx，据此即得结论.
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a﹣b＝2，ab＝1，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4＝8．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的变形即可求解。
11．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不能用平方差公式计算，不合题意；
B、 ，不能用平方差公式计算，不合题意；
C、 ，能用平方差公式计算，符合题意；
D、 ，不能用平方差公式计算，不合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算，逐项判断即可。
12．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，故原式的个位数字为6．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （a+b）2=3，
∴a2+b2+2ab=3①，
∵（a b）2=5，
∴a2+b2 2ab=5②，
① ②得4ab=-2，解得ab=- .
故答案为：- .
【分析】利用完全平方公式可得到a2+b2+2ab=3①，a2+b2 2ab=5②，再由① ②，可求出ab的值.
14．【答案】23
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为：23.
【分析】由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
15．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴
故答案为：8.
【分析】将两边同时平方，利用完全平方公式化简，即可求出结论.
16．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：当a=1时，
x2-1=（x-1）（x+1）.
故答案为：1.
【分析】利用平方差公式可得答案，此题答案不唯一.
17．【答案】s2-t2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（-s+t）（-s-t）
=（-s）2-t2
=s2-t2.
故答案为：s2-t2.
【分析】利用平方差公式进行计算.
18．【答案】89
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-b=7，ab=10，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=72+4×10=89，
故答案为：89.
【分析】利用完全平方公式可得到（a+b）2=（a-b）2+4ab，然后整体代入求值.
19．【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算求解即可。
20．【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式展开，再计算即可。
21．【答案】（1）解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（2）解：原式＝（x﹣2y）2﹣（3z）2
＝x2﹣4xy+4y2﹣9z2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可。
22．【答案】解： 解：原式=x2+2x+1-（x2-4）
=x2+2x+1-x2+4
=2x+5
∵＜x＜且x为整数
∴x=3
∴原式=2×3+5=11
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及平方差公式，化简式子的值，根据x的取值范围确定x，化简求出答案即可。
23．【答案】解：原式=4x2+y2+4xy+x2-y2-5x2+5xy
=9xy
当x=-2，y=2时，9xy=9×（-2）×2=-36
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式，化简式子，得到答案即可。
24．【答案】解：当a＝﹣ ，b＝3时，
4a2﹣12ab+9b2＝（2a）2﹣2×2a×3b+（3b）2
＝（2a﹣3b）2，
＝[2×（﹣ ）﹣3×3]2，
＝（﹣1﹣9）2＝（﹣10）2，
＝100.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式把原式化为（2a﹣3b）2，再把a，b的值代入进行计算，即可得出答案.
25．【答案】解： ；
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
26．【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
27．【答案】解：∵
∴
∴
综上所述： 的值为5， 的值为3
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方变形公式： 代入求算即可．
28．【答案】解：∵a2+b2-4a-6b+13=0
∴（a-2）2+（b-3）2=0，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性
【解析】【分析】利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
29．【答案】（1）解：解法一：
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
解法二：
∵ ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：解法一
由（1）知 ，
∴ .
解法二：
∵ ，
∴ .
（3）解：解法一
由（2）知 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值为2020或2016.
解法二：
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值是2020或2016.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）首先由已知条件可得x+y，然后根据x2+y2=(x+y)2-2xy计算即可；
（2）由（1）可得x2+y2的值，然后根据(x-y)2=x2+y2-2xy计算即可；
（3）由（2）可得(x-y)2的值，结合已知条件可得(2a-4036)2=16，据此求解.
30．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b=4，
∴（a+b）2=16．
∴a2+2ab+b2=16．
∵a2+b2=10，
∴ab=3．
②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1．
∵（x-2021）2+（x-2019）2=130，
∴（a-1）2+（a+1）2=130．
∴a2-2a+1+a2+2a+1=130．
∴2a2=128．
∴a2=64．
即（x-2020）2=64．
∴x-2020=±8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S=（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S=a2+2ab+b2．
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【分析】（1）图形②时边长为（a＋b）的正方形，他的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形 组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b=4进行平方，结合a2＋b2＝10即可求得ab的值；②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1则有（a-1）2+（a+1）2=130，进行整理可得a2=64，即可得出答案。
31．【答案】（1）解：∵a＋b＝6，
∴（a＋b）2＝36.
∴a2＋b2＋2ab＝36.
又∵a2＋b2＝26，
∴26＋2ab＝36.
∴ab＝5.
∴（a b）2＝a2＋b2 2ab＝26 10＝16.
∴a b＝±4.
（2）解：（x2＋nx＋3）（x2 3x＋m）
＝x4 3x3＋mx2＋nx3 3nx2＋mnx＋3x2 9x＋3m
＝x4＋（n 3）x3＋（m 3n＋3）x2＋（mn 9）x＋3m.
∵多项式x2＋nx＋3与x2 3x＋m的乘积中不含有x2和x3项，
∴n 3＝0，m 3n＋3＝0.
∴m＝6，n＝3.
∴m＋n＝6＋3＝9.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由已知条件可得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝36，进而求得ab的值，然后求出(a b)2的值，开方即可得到a-b的值；
（2）利用多项式与多项式的乘法法则可得 (x2＋nx＋3)(x2 3x＋m)=x4＋(n-3)x3＋(m-3n＋3)x2＋(mn 9)x＋3m，结合题意可得n-3=0，m-3n+3=0，求解可得m、n的值，进而求得m+n的值.
32．【答案】（1）解：因为m＋n＝6，mn＝－3，
所以(m－2)(n－2)
＝mn－2m－2n＋4
＝mn－2(m＋n)＋4
＝－3－2×6＋4
＝－11.
（2）解：m2＋n2
＝(m＋n)2－2mn
＝62－2×(－3)
＝36＋6
＝42.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据 m＋n＝6，mn＝－3， 计算求解即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
33．【答案】（1）(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
（2）2；3
（3）解：a2＋b2= （a+b）2－2ab=25－2×6=25－12=13．
（4）(a＋2b)(a＋b)
（5）(a＋2b)(a＋3b)
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张．
故答案为2，3．（4）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b） （a+b）．
故答案为（a+2b） （a+b）．（5）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图：
故答案为（a+2b）（a+3b）．
【分析】（1）根据拼图前后面积不变可得公式；
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，据此即得结论；
（3） 将原式变形为a2＋b2= （a+b）2－2ab，然后代入计算即可；
（4）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），根据拼图前后面积不变即得；
（5）先拼图后分解即得结论.
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