湘教版初中数学八年级下册1.2直角三角形的判定与性质（II）同步练习
一、单选题
1．（2021八上·榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．6，8，10
C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
2．（2021八下·蜀山期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． 1，2，3 B． 2，3，5
C． 1， ， D． ，3，5
3．（2020八上·阳信期末）如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= ，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
5．下列说法：
①若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a>b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
6．（2021八上·广南期末）若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（ ）
A．4、6、8 B．3、4、5 C．5、12、13 D．1、3、
7．（2021八上·金塔期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，8，5， B．30，40，50，
C．9，13，15 D．，，
8．（2021八上·宽城期末）如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·九台期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1，，3
10．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
11．（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
12．若直角三角形一锐角为30° ，则它的三边之比可能是（ ）
A．1：2：3 B．1：2： C．1 ： ： D．1：1 ：
二、填空题
13．（2021八上·广南期末）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 ．
14．（2020八上·青岛期末）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 ．
15．如图，假设秋千的绳索始终保O持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹，已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 .
16．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
17．（2021八上·宽城期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为 尺．
18．（2021八上·兰溪月考）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，则 ．
19．（2021八上·瑞安月考）如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB于点D，若AB=2，则CD的长是 ．
20．（2021八上·东明期中）已知 ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则 ABC的面积为 ．
三、解答题
21．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
22．（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．
23．（2021八上·济宁月考）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，于点A，于点B，若，，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
四、综合题
24．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40米，AB=30米
（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？
25．（2021八上·佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
26．（2021八上·河源月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC＝5米，求旗杆AB的高度．
27．图①是美丽的弦图，包含四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密拼接，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，则S2= ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴以1，2， 为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0.16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】若三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：直角形三边边长的关系为a2+b2=c2，C中，符合题意
故答案为：C
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：过A作AE⊥BC于E，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴当AE⊥BC，EB=EC=4，
∴AE=，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C）.若线段AD的长为正整数，
∴3 AD<5，
∴AD=3或AD=4，
当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，
故符合条件的点D有3点.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC于E，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，利用勾股定理得出AE的值，因为D是线段BC上的动点（不含端点B，C）.若线段AD的长为正整数，得出AD=3或AD=4，当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】设AD=x根据勾股定理，得（x+ ）2=b2+（ ）2，整理得x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长.
故答案为：B.
【分析】设AD的长为x，利用勾股定理可得到关于x的方程，将方程整理可得到x2+ax=b2，由此可知该方程的一个正根是AD的长.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，所以①正确；
②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边是5或 ，所以②错误；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误；
④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，所以④正确．
故选C．
【分析】根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A. ∵52+82≠122，∴此选项不符合题意；
B. ∵302+402=502，∴此选项符合题意；
C. ∵92+132≠152，∴此选项不符合题意；
D. ∵()2+()2≠()2，∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别求出各选项中的较小的两数的平方和及较大数的平方，若较小的两数的平方和=较大数的平方，则是勾股数，分别计算，可作出判断.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=a，
∴小直角三角形的斜边长为，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a；
故答案为：A．
【分析】由BC=4a，可得图①中，BE=a，图②中，BE=a，利用勾股定理求出图③中BE=a，由于图③中纸盒底部剩余部分CF=BC-图③中BE，据此计算即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；
B、，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；
C、，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；
D、，则长为1，，3的线段不能组成直角三角形，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可；
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
是的高，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用割补法求出三角形ABC的面积，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用等面积法即可求出。
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为30°，设30°角所对的直角边为x，则斜边的长为2x，
∴最长的直角边长为
∴三边之比为：x：2x：x=.
故答案为：B.
【分析】设30°角所对的直角边为x，则斜边的长为2x，利用勾股定理表示出最长的直角边的长，然后可得到三边之比.
13．【答案】10或26
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD+CD=18+8=26；
②如图2∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD-CD=18-8=10，
综上所述，BC的长为26或10；
故答案为26或10．
【分析】有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，②如图2∵AD是△ABC的高，根据勾股定理得出BD的值，从而得出BC的值。
14．【答案】101寸
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，由题意得出OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，得出r的值，即可得出AB的值。
15．【答案】x2=102+（x-4）2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，根据题意得
x2=102+（x-4）2.
故答案为：x2=102+（x-4）2.
【分析】利用秋千的原理可知OA=OB，同时可证得CD=BE=10尺，BD=CE=5尺，由此可用含x的代数式表示出OE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程.
16．【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
17．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【分析】设水池里水的深度是尺，则，，由勾股定理知，据此建立关于x方程，解之即可.
18．【答案】2.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴AC==5，
∵D为斜边AC的中点，
∴BD=AC=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，再根据直角三角形斜边中线的性质求BD长即可.
19．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=1，
∴CD=.
故答案为；.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC=2，再根据等腰三角形的性质得出AD=AB=1，再根据勾股定理即可得出CD的长.
20．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则a2+b2=c2=132=169，
∵a+b=17，
∴（a+b）2=289，即a2+b2+2ab=289，
∴2ab=289-169=120，
∴S△ABC= ab=30（cm2），
故答案为：30cm2．
【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积。
21．【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
22．【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理
【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出 ∠CAB=180°-40°-50°=90°，再利用勾股定理求出AB的长，利用速度=路程÷时间即可求解.
23．【答案】解：设E点在距A点xkm处，
则AE长为xkm，BE长为km.
，是直角三角形.
由勾股定理，得.
同理，在中，，由题意，得，即..
，
解得.
答：E应建在距A点15km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设E点在距A点xkm处，则AE长为xkm，BE长为km，再利用勾股定理可得，再列出方程求解即可。
24．【答案】（1）解：出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴B1C1= =35>25，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰.
（2）解：设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，
根据题意得，（40-4t）2+（30-3t）2=252，
解得t1=5，t2=15（不合题意，舍去），
答：出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，结合AC、AB的值可得AC1=28米，AB1=21米，然后利用勾股定理求出B1C1，与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，则CC1=4t米，BB1=3t米，AC1=(40-4t)米，AB1=(30-3t)米，由勾股定理可建立方程，求解即可.
25．【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
根据勾股定理可得：，
解得，．
答：旗杆的高度为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理可得，求出x的值即可。
26．【答案】解：设旗杆的高度为，则，
在中，由勾股定理即可得
解得：
故旗杆的高度为米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆的高度为，则，利用勾股定理可得，求出x的值即可。
27．【答案】（1）解：S小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2 ，S小正方形=c2 -4× ab=c2 -2ab，
∴ a2-2ab+b2=c2 -2ab．∴a2+b2=c2
（2）解：24÷4=6，
设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，
∴该飞镖状图案的面积是 ×(3+1)×3×4=24．
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）通过图中小正方形的面积证明勾股定理即可；
（2）设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形，MNKT的面积为x，将其余八个全等的三角形面积一个是为y，从而用x、y表示出得出答案即可。
1 / 1湘教版初中数学八年级下册1.2直角三角形的判定与性质（II）同步练习
一、单选题
1．（2021八上·榆林期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．6，8，10
C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴以1，2， 为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0.16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】若三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．（2021八下·蜀山期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． 1，2，3 B． 2，3，5
C． 1， ， D． ，3，5
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：直角形三边边长的关系为a2+b2=c2，C中，符合题意
故答案为：C
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可。
3．（2020八上·阳信期末）如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：过A作AE⊥BC于E，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴当AE⊥BC，EB=EC=4，
∴AE=，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C）.若线段AD的长为正整数，
∴3 AD<5，
∴AD=3或AD=4，
当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，
故符合条件的点D有3点.
故答案为：B.
【分析】过A作AE⊥BC于E，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，利用勾股定理得出AE的值，因为D是线段BC上的动点（不含端点B，C）.若线段AD的长为正整数，得出AD=3或AD=4，当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，即可得出答案。
4．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= ，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】设AD=x根据勾股定理，得（x+ ）2=b2+（ ）2，整理得x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长.
故答案为：B.
【分析】设AD的长为x，利用勾股定理可得到关于x的方程，将方程整理可得到x2+ax=b2，由此可知该方程的一个正根是AD的长.
5．下列说法：
①若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a>b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，所以①正确；
②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边是5或 ，所以②错误；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误；
④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，所以④正确．
故选C．
【分析】根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．
6．（2021八上·广南期末）若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（ ）
A．4、6、8 B．3、4、5 C．5、12、13 D．1、3、
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可。
7．（2021八上·金塔期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，8，5， B．30，40，50，
C．9，13，15 D．，，
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A. ∵52+82≠122，∴此选项不符合题意；
B. ∵302+402=502，∴此选项符合题意；
C. ∵92+132≠152，∴此选项不符合题意；
D. ∵()2+()2≠()2，∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别求出各选项中的较小的两数的平方和及较大数的平方，若较小的两数的平方和=较大数的平方，则是勾股数，分别计算，可作出判断.
8．（2021八上·宽城期末）如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=a，
∴小直角三角形的斜边长为，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a；
故答案为：A．
【分析】由BC=4a，可得图①中，BE=a，图②中，BE=a，利用勾股定理求出图③中BE=a，由于图③中纸盒底部剩余部分CF=BC-图③中BE，据此计算即可.
9．（2021八上·九台期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1，，3
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；
B、，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；
C、，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；
D、，则长为1，，3的线段不能组成直角三角形，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可；
10．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
11．（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
是的高，，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用割补法求出三角形ABC的面积，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用等面积法即可求出。
12．若直角三角形一锐角为30° ，则它的三边之比可能是（ ）
A．1：2：3 B．1：2： C．1 ： ： D．1：1 ：
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为30°，设30°角所对的直角边为x，则斜边的长为2x，
∴最长的直角边长为
∴三边之比为：x：2x：x=.
故答案为：B.
【分析】设30°角所对的直角边为x，则斜边的长为2x，利用勾股定理表示出最长的直角边的长，然后可得到三边之比.
二、填空题
13．（2021八上·广南期末）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 ．
【答案】10或26
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD+CD=18+8=26；
②如图2∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD-CD=18-8=10，
综上所述，BC的长为26或10；
故答案为26或10．
【分析】有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，②如图2∵AD是△ABC的高，根据勾股定理得出BD的值，从而得出BC的值。
14．（2020八上·青岛期末）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 ．
【答案】101寸
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，由题意得出OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，得出r的值，即可得出AB的值。
15．如图，假设秋千的绳索始终保O持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹，已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 .
【答案】x2=102+（x-4）2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，根据题意得
x2=102+（x-4）2.
故答案为：x2=102+（x-4）2.
【分析】利用秋千的原理可知OA=OB，同时可证得CD=BE=10尺，BD=CE=5尺，由此可用含x的代数式表示出OE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程.
16．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
17．（2021八上·宽城期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【分析】设水池里水的深度是尺，则，，由勾股定理知，据此建立关于x方程，解之即可.
18．（2021八上·兰溪月考）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，则 ．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴AC==5，
∵D为斜边AC的中点，
∴BD=AC=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，再根据直角三角形斜边中线的性质求BD长即可.
19．（2021八上·瑞安月考）如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB于点D，若AB=2，则CD的长是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=1，
∴CD=.
故答案为；.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC=2，再根据等腰三角形的性质得出AD=AB=1，再根据勾股定理即可得出CD的长.
20．（2021八上·东明期中）已知 ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则 ABC的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则a2+b2=c2=132=169，
∵a+b=17，
∴（a+b）2=289，即a2+b2+2ab=289，
∴2ab=289-169=120，
∴S△ABC= ab=30（cm2），
故答案为：30cm2．
【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积。
三、解答题
21．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
22．（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．
【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理
【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出 ∠CAB=180°-40°-50°=90°，再利用勾股定理求出AB的长，利用速度=路程÷时间即可求解.
23．（2021八上·济宁月考）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，于点A，于点B，若，，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
【答案】解：设E点在距A点xkm处，
则AE长为xkm，BE长为km.
，是直角三角形.
由勾股定理，得.
同理，在中，，由题意，得，即..
，
解得.
答：E应建在距A点15km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设E点在距A点xkm处，则AE长为xkm，BE长为km，再利用勾股定理可得，再列出方程求解即可。
四、综合题
24．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40米，AB=30米
（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？
【答案】（1）解：出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴B1C1= =35>25，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰.
（2）解：设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，
根据题意得，（40-4t）2+（30-3t）2=252，
解得t1=5，t2=15（不合题意，舍去），
答：出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，结合AC、AB的值可得AC1=28米，AB1=21米，然后利用勾股定理求出B1C1，与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，则CC1=4t米，BB1=3t米，AC1=(40-4t)米，AB1=(30-3t)米，由勾股定理可建立方程，求解即可.
25．（2021八上·佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
根据勾股定理可得：，
解得，．
答：旗杆的高度为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理可得，求出x的值即可。
26．（2021八上·河源月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一端C刚好着地（如图②）．量得BC＝5米，求旗杆AB的高度．
【答案】解：设旗杆的高度为，则，
在中，由勾股定理即可得
解得：
故旗杆的高度为米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆的高度为，则，利用勾股定理可得，求出x的值即可。
27．图①是美丽的弦图，包含四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密拼接，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，则S2= ．
【答案】（1）解：S小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2 ，S小正方形=c2 -4× ab=c2 -2ab，
∴ a2-2ab+b2=c2 -2ab．∴a2+b2=c2
（2）解：24÷4=6，
设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，
∴该飞镖状图案的面积是 ×(3+1)×3×4=24．
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）通过图中小正方形的面积证明勾股定理即可；
（2）设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形，MNKT的面积为x，将其余八个全等的三角形面积一个是为y，从而用x、y表示出得出答案即可。
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