湘教版初中数学八年级下册1.3直角三角形全等的判定同步练习

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湘教版初中数学八年级下册1.3直角三角形全等的判定同步练习
一、单选题
1．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
2．（2021八上·日照期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A．40° B．60° C．45° D．50°
3．（2021八上·南昌期中）如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（　　）
A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E
4．（2021八上·平塘期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
5．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（　　）

A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
6．（2021八上·赵县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则 ABC≌ DCB的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
7．（2021八上·霞山月考）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
8．（2021八上·台安月考）如图， ， ， ，则能直接判断 的理由是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021八上·雷州月考）如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
10．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020八上·元氏期末）如图，点 是 的中点， ， 平分 ，下列结论∶①②③④ ,四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
12．（2021八下·秦都期末）下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等
二、填空题
13．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　 　.（写一种即可）
14．（2021八上·潍坊月考）如图，在 和 中， ， ，若 ，则 　 　．
15．（2021八上·平原月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝　 　．
16．下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 　 　个．
17．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　 　”.
18．（2021八下·滦南期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是　 　．
19．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， 于 ，交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长是　 　．
20．（2020八上·建华期末）已知P是 平分线上一点，点C在射线OA上，且 ，点D在射线OB上运动．若 ，则 　 　．
三、解答题
21．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
22．（2021八上·恩平期中）已知：如图，∠B＝∠C＝90°， AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．
23．（2021八上·东莞期中）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求证：∠B＝∠C．
四、综合题
24．（2021八上·密山期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示），且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
25．（2021八上·大石桥期中）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
26．（2021八上·高邑期中）如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，请直接写出 的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
2．【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：D．
【分析】先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
3．【答案】C
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】由题意可知，一对直角边相等，即BC＝EF，
根“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，还需补充一对斜边相等，即AB＝DE.
故答案为C.
【分析】先求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定方法判断求解即可。
4．【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴△OPM≌△OPN
∴所用的判定定理是HL.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
5．【答案】C
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
6．【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：A．
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB.
7．【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】本题主要能辨别全等三角形的5个判定即可
8．【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故答案为：A．
【分析】利用“HL”可证出Rt△ABD≌Rt△CDB。
9．【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，利用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△EFD≌Rt△ECD，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
10．【答案】B
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
11．【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定及性质、角平分线的定义判断即可。
12．【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、斜边相等，缺少条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一直角边及斜边分别相等，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，据此逐一判断即可.
13．【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
14．【答案】6cm
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△CAB和Rt△DAB中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DAB（HL）．
∴AD＝AC＝6．
故答案为 ．
【分析】利用“HL”证明Rt△CAB≌Rt△DAB，再利用全等三角形的性质即可得到答案。
15．【答案】50°
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
【分析】由∠AFD=140°可知∠DFC=40°，根据“AAS”证明Rt△BED≌Rt△CDF，再利用全等的性质可以得到∠BDE=∠CFD=40°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案。
16．【答案】2
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；
②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；
④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．
所以正确的结论是②④．
故答案为2．
【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．
17．【答案】HL
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
18．【答案】互相平分
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AE=CF， 点E，F不重合，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
又∵AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF，
又∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD和EF互相平分，
故答案为互相平分．
【分析】由已知推出AE+EF=CF+EF，即AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC，得出∠DEC=∠BFA=90°，即得出Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，即DE=BF，证明得出△DOE≌△BOF，则得出OE=OF，OB=OD，即可得出BD与EF的关系。
19．【答案】
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB BD
＝AC＋AB BC＝6＋10 8＝8（cm），
故答案为：8cm．
【分析】连接BE，先利用“HL”证明Rt△BCE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质求解即可。
20．【答案】135°或45°
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如图，过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N,
∵P是 平分线上一点
∴PM=PN.
在Rt△PMD与Rt△PNC中，
DP=CP，PM=PN
∴Rt△PMD≌Rt△PNC（HL），
∴∠PDM=∠PCN
∵∠OCP=135°
∴∠PCN=45°
∴∠PDM=45°
当D落在D1的位置时，∠ODP=135°；
当D落在D2的位置时，∠ODP=45°.
即∠ODP=135或45°．
故填：135°或45°．
【分析】利用HL先证明Rt△PMD≌Rt△PNC，再求出∠PDM=45°，最后求解即可。
21．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
22．【答案】证明：∵BE=CF，∴BF=CE
在 与 中：
∴
∴AB =DC
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等的性质证明AB=DC即可。
23．【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B=∠C．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先求出 △ABF和△DCE都是直角三角形， 再利用HL证明 Rt△ABF≌Rt△DCE ，最后求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．
理由如下：
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB=∠AEC=90°， 再证明 Rt△ABD≌Rt△CAE， 最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可。
25．【答案】（1）解：∵AD⊥BC于D，∴∠BDE=∠ADC=90°．
∵AD=BD，AC=BE，∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠C．
（2）解：DE=DC．理由如下：
由（1）知△BDE≌△ADC，∴DE=DC．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，再利用全等的性质可得∠1=∠C；
（2）根据全等的性质可得DE=DC。
26．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴
（2）解：BE=5
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】（2）解：∵ ，
∴AD=CE，BE=CD，
∴ ．
【分析】（1）根据等角的余角相等可得，再利用，，可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=CD，CE=AD=12，再利用线段的和差计算出CD=CE-DE即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湘教版初中数学八年级下册1.3直角三角形全等的判定同步练习
一、单选题
1．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
2．（2021八上·日照期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A．40° B．60° C．45° D．50°
【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：D．
【分析】先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
3．（2021八上·南昌期中）如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（　　）
A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E
【答案】C
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】由题意可知，一对直角边相等，即BC＝EF，
根“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，还需补充一对斜边相等，即AB＝DE.
故答案为C.
【分析】先求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定方法判断求解即可。
4．（2021八上·平塘期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴△OPM≌△OPN
∴所用的判定定理是HL.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
5．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（　　）

A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
【答案】C
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
6．（2021八上·赵县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则 ABC≌ DCB的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：A．
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB.
7．（2021八上·霞山月考）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】本题主要能辨别全等三角形的5个判定即可
8．（2021八上·台安月考）如图， ， ， ，则能直接判断 的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故答案为：A．
【分析】利用“HL”可证出Rt△ABD≌Rt△CDB。
9．（2021八上·雷州月考）如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，利用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△EFD≌Rt△ECD，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
10．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
11．（2020八上·元氏期末）如图，点 是 的中点， ， 平分 ，下列结论∶①②③④ ,四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定及性质、角平分线的定义判断即可。
12．（2021八下·秦都期末）下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等
【答案】D
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、斜边相等，缺少条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一直角边及斜边分别相等，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，据此逐一判断即可.
二、填空题
13．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　 　.（写一种即可）
【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
14．（2021八上·潍坊月考）如图，在 和 中， ， ，若 ，则 　 　．
【答案】6cm
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△CAB和Rt△DAB中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DAB（HL）．
∴AD＝AC＝6．
故答案为 ．
【分析】利用“HL”证明Rt△CAB≌Rt△DAB，再利用全等三角形的性质即可得到答案。
15．（2021八上·平原月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝　 　．
【答案】50°
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
【分析】由∠AFD=140°可知∠DFC=40°，根据“AAS”证明Rt△BED≌Rt△CDF，再利用全等的性质可以得到∠BDE=∠CFD=40°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案。
16．下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 　 　个．
【答案】2
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；
②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；
④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．
所以正确的结论是②④．
故答案为2．
【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．
17．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　 　”.
【答案】HL
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
18．（2021八下·滦南期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是　 　．
【答案】互相平分
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AE=CF， 点E，F不重合，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
又∵AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF，
又∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD和EF互相平分，
故答案为互相平分．
【分析】由已知推出AE+EF=CF+EF，即AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC，得出∠DEC=∠BFA=90°，即得出Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，即DE=BF，证明得出△DOE≌△BOF，则得出OE=OF，OB=OD，即可得出BD与EF的关系。
19．（2021八下·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， 于 ，交 于点 ，若 ， ， ， ，则 的周长是　 　．
【答案】
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴△ADE的周长＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB BD
＝AC＋AB BC＝6＋10 8＝8（cm），
故答案为：8cm．
【分析】连接BE，先利用“HL”证明Rt△BCE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质求解即可。
20．（2020八上·建华期末）已知P是 平分线上一点，点C在射线OA上，且 ，点D在射线OB上运动．若 ，则 　 　．
【答案】135°或45°
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如图，过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N,
∵P是 平分线上一点
∴PM=PN.
在Rt△PMD与Rt△PNC中，
DP=CP，PM=PN
∴Rt△PMD≌Rt△PNC（HL），
∴∠PDM=∠PCN
∵∠OCP=135°
∴∠PCN=45°
∴∠PDM=45°
当D落在D1的位置时，∠ODP=135°；
当D落在D2的位置时，∠ODP=45°.
即∠ODP=135或45°．
故填：135°或45°．
【分析】利用HL先证明Rt△PMD≌Rt△PNC，再求出∠PDM=45°，最后求解即可。
三、解答题
21．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
22．（2021八上·恩平期中）已知：如图，∠B＝∠C＝90°， AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．
【答案】证明：∵BE=CF，∴BF=CE
在 与 中：
∴
∴AB =DC
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先利用“HL”证明，再利用全等的性质证明AB=DC即可。
23．（2021八上·东莞期中）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求证：∠B＝∠C．
【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B=∠C．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先求出 △ABF和△DCE都是直角三角形， 再利用HL证明 Rt△ABF≌Rt△DCE ，最后求解即可。
四、综合题
24．（2021八上·密山期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示），且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．
理由如下：
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB=∠AEC=90°， 再证明 Rt△ABD≌Rt△CAE， 最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可。
25．（2021八上·大石桥期中）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC于D，∴∠BDE=∠ADC=90°．
∵AD=BD，AC=BE，∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠C．
（2）解：DE=DC．理由如下：
由（1）知△BDE≌△ADC，∴DE=DC．
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，再利用全等的性质可得∠1=∠C；
（2）根据全等的性质可得DE=DC。
26．（2021八上·高邑期中）如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴
（2）解：BE=5
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】（2）解：∵ ，
∴AD=CE，BE=CD，
∴ ．
【分析】（1）根据等角的余角相等可得，再利用，，可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=CD，CE=AD=12，再利用线段的和差计算出CD=CE-DE即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1