湘教版初中数学八年级下册1.4角平分线的性质同步练习
一、单选题
1．（2020八上·德城期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径面弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝ ×14×4＝28，
故答案为：B．
【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
2．（2017八上·下城期中）如图， ， ， 表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在 内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（ ）．
A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三边上的高交点处 D．三边的中垂线的交点处
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】由题意，作出三个内角的平分线，三条角平分线交于一点P，根据角平分线的性质可知点P到 三边的距离相等，则点P为所求．
故答案为： B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：货物中转站到三条公路的距离相等，这个点是三角形三条角平分线的交点，只需作出两个角的平分线，其交点即为所求。
3．（2017八上·衡阳期末）如图，已知∠AOB求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么做法的合理顺序是（ ）.
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应按以下步骤作角平分线：②；③；①.
故答案为：C.
【分析】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应该先确定点C的位置，再作射线OC，故选C.
4．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．（2021八上·陇县期末）如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵ 平分 ，∠C=90°，
∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°
在Rt△BDE中，BD=2DE
∵BD＋DC=BC=15
∴2DE＋DE=15
解得：DE=5，即点D到线段 的距离等于5.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.
6．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．（2021八上·宽城期末）用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．46° B．52° C．56° D．62°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点到射线的距离相等，
∴是的角平分线，
∵∠BOP＝28°，
∴＝28°，
∵
∴＝28°
∴＝56°
故答案为：C
【分析】根据图形及角平分线的判定可得是的角平分线，可得＝28°，利用平行线的性质可得＝28°，利用即可求解.
8．（2021八上·集贤期末）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故答案为：D．
【分析】结合图形，先求出三角形两个内角平分线的交点，共一处，再求出三个外角两两平分线的交点，共三处，最后求解即可。
9．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
10．（2021八上·富裕期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：B．
【分析】先求出DC＝DE，再利用三角形的面积公式求出CD＝2，最后求解即可。
11．（2021八上·密山期末）如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ADB+S△ADC=7，
∴×AB×DE+×AC×DF=7，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得：AC=3．
故答案为：D .
【分析】先求出DE=DF=2，再求出S△ADB+S△ADC=7，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
12．（2021八上·密山期末）如图，若OP平分，，，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、≌，可得，符合题意；
B、不符合题意，应为；
C、≌，可得，符合题意；
D、≌，可得，符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
二、填空题
13．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
14．（2021八上·香坊期末）如图，四边形 中， ，连接 ， 平分 ，E是直线 上一点， ， ，则 的长为 ．
【答案】6或10
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
当点E在线段AD上时，
∵ ， ，
∴ ，
当点E在线段AD延长线上时，
∵ ， ，
∴ ；
故答案是：6或10．
【分析】先求出 ，再求出，最后分类讨论求解即可。
15．（2021八上·五常期末）如图， 是 的平分线， 于点 ， 于点 ， ， ， 的面积是36，则 的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的平分线， ， ，
∴DE=DF，
S△ABC=S△ABD+S△BCD= ，
解得 ．
故答案为 ．
【分析】先求出DE=DF，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
16．（2021八上·盐池期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵ ，AD平分∠BAC，CD ，
∴DE CD ，
∴△ABD的面积 ×AB×DE
故答案为：5.
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CE=2，然后利用三角形的面积公式进行计算.
17．（2021八上·农安期末）如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是 ．
【答案】4.8cm
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S△ABC= S△ABD + S△BCD =ABDE+BCDF=（AB+BC）DE=144，
∴（36+24）DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据平行线的性质可得DF=DE，再利用三角形的面积公式及割补法列出S△ABC= S△ABD + S△BCD
=ABDE+BCDF=（AB+BC）DE=144，再求出DE的长即可。
18．（2021八上·绿园期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积为 ．
故答案为：5
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE=CD=2，利用△ABD的面积为进行计算即可.
19．（2021八上·密山期末）如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。
20．（2021八上·虎林期末）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 ．
【答案】MP≥1
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，
∴，
∵点M是∠AOB平分线上一点，
到的距离相等，
根据垂线段最短，即时，最小值为1，
则MP≥1
故答案为：MP≥1
【分析】先求出，，再求出到的距离相等，最后求解即可。
三、解答题
21．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【答案】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18 cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8 cm．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DE＝DF， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．（2021八上·无棣期中）如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：EA=EB．
【答案】证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，
∴EC=ED，
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE（ASA）
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED，利用ASA证出△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.
23．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
四、综合题
24．（2021八上·天津市期末）如图，为的角平分线．
（1）如图1，若于点，交于点，，．则 ；
（2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；
（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）
【答案】（1）2
（2）解：如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F
∵的面积是10，AC=5，
∴DF=2×10÷5=4，
∵为的角平分线，
∴DE=DF=4，
∴=，
∴．
（3）BD=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（3）如图，在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝CAD，
在△ADN与△ADC中，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据角平分线的性质，得出∠BAD＝∠CAD，推出∠CFA＝∠EFA，利用三角形全等得出△AEF≌△ACF（ASA），从而得出答案；
（2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据的面积得出DF的值，再根据为的角平分线，得出DE=DF=4，从而得出面积；
（3）在AB上取AN＝AC，利用三角形全等证出△ADN≌△ADC（SAS），得出∠AND＝2∠B，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得，从而得出答案。
25．（2021八上·建华期末）已知：如图， 中， 与 的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
【答案】（1）证明：∵AD平分 ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴
同理可证：
∴
即
（2）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为：
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出FD=FC，最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出BA=6，最后求三角形的周长即可。
26．（2021八上·香坊期末）已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC
∴∠A+∠B+∠C=180°
∵
∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B
∴∠B=∠C
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°
设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，
∵四边形ACBD
∴∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°，即60°+60°+x+x+∠DAC=360°
∴∠DAC=240°-2x
∵作 的平分线交 于点E
∴∠EAD= ∠DAC=120°-x
∵△AED
∴∠D+∠AED+∠EAD=180°，即∠x+∠AED+120°-x =180°，解得∠AED=60°；
（3）解：作AM⊥BD
∵AB=AD
∴MD=MB
∵AC=AD，AE平分∠CAD
∴AE⊥CD
∵由（2）得∠AED=60°，设ME=x
∴AE=2x，DE=2EF，BM=MF=x+3
∴DE=MD+ME=2x+3
∴EF=
∴AE=EF+AF= +3
∴ +3=2x，解得：x=
∴DE=2x+3=10．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A+∠B+∠C=180° ，再求出 ∠B=∠C ，最后证明即可；
（2）先求出 60°+60°+x+x+∠DAC=360° ，再求出 ∠EAD= ∠DAC=120°-x ，最后计算求解即可；
（3）先求出 DE=MD+ME=2x+3 ，再列方程计算求解即可。
1 / 1湘教版初中数学八年级下册1.4角平分线的性质同步练习
一、单选题
1．（2020八上·德城期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径面弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017八上·下城期中）如图， ， ， 表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在 内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（ ）．
A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三边上的高交点处 D．三边的中垂线的交点处
3．（2017八上·衡阳期末）如图，已知∠AOB求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么做法的合理顺序是（ ）.
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
4．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
5．（2021八上·陇县期末）如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
6．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
7．（2021八上·宽城期末）用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．46° B．52° C．56° D．62°
8．（2021八上·集贤期末）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
9．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2021八上·富裕期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2021八上·密山期末）如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（2021八上·密山期末）如图，若OP平分，，，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
14．（2021八上·香坊期末）如图，四边形 中， ，连接 ， 平分 ，E是直线 上一点， ， ，则 的长为 ．
15．（2021八上·五常期末）如图， 是 的平分线， 于点 ， 于点 ， ， ， 的面积是36，则 的长是 ．
16．（2021八上·盐池期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 ．
17．（2021八上·农安期末）如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是 ．
18．（2021八上·绿园期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 ．
19．（2021八上·密山期末）如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=
20．（2021八上·虎林期末）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是 ．
三、解答题
21．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
22．（2021八上·无棣期中）如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：EA=EB．
23．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
四、综合题
24．（2021八上·天津市期末）如图，为的角平分线．
（1）如图1，若于点，交于点，，．则 ；
（2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；
（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）
25．（2021八上·建华期末）已知：如图， 中， 与 的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
26．（2021八上·香坊期末）已知， 中， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，D是 外一点连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点E，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝ ×14×4＝28，
故答案为：B．
【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】由题意，作出三个内角的平分线，三条角平分线交于一点P，根据角平分线的性质可知点P到 三边的距离相等，则点P为所求．
故答案为： B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：货物中转站到三条公路的距离相等，这个点是三角形三条角平分线的交点，只需作出两个角的平分线，其交点即为所求。
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应按以下步骤作角平分线：②；③；①.
故答案为：C.
【分析】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应该先确定点C的位置，再作射线OC，故选C.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵ 平分 ，∠C=90°，
∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°
在Rt△BDE中，BD=2DE
∵BD＋DC=BC=15
∴2DE＋DE=15
解得：DE=5，即点D到线段 的距离等于5.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点到射线的距离相等，
∴是的角平分线，
∵∠BOP＝28°，
∴＝28°，
∵
∴＝28°
∴＝56°
故答案为：C
【分析】根据图形及角平分线的判定可得是的角平分线，可得＝28°，利用平行线的性质可得＝28°，利用即可求解.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故答案为：D．
【分析】结合图形，先求出三角形两个内角平分线的交点，共一处，再求出三个外角两两平分线的交点，共三处，最后求解即可。
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：B．
【分析】先求出DC＝DE，再利用三角形的面积公式求出CD＝2，最后求解即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ADB+S△ADC=7，
∴×AB×DE+×AC×DF=7，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得：AC=3．
故答案为：D .
【分析】先求出DE=DF=2，再求出S△ADB+S△ADC=7，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
12．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、≌，可得，符合题意；
B、不符合题意，应为；
C、≌，可得，符合题意；
D、≌，可得，符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
13．【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
14．【答案】6或10
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
当点E在线段AD上时，
∵ ， ，
∴ ，
当点E在线段AD延长线上时，
∵ ， ，
∴ ；
故答案是：6或10．
【分析】先求出 ，再求出，最后分类讨论求解即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的平分线， ， ，
∴DE=DF，
S△ABC=S△ABD+S△BCD= ，
解得 ．
故答案为 ．
【分析】先求出DE=DF，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵ ，AD平分∠BAC，CD ，
∴DE CD ，
∴△ABD的面积 ×AB×DE
故答案为：5.
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=CE=2，然后利用三角形的面积公式进行计算.
17．【答案】4.8cm
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S△ABC= S△ABD + S△BCD =ABDE+BCDF=（AB+BC）DE=144，
∴（36+24）DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据平行线的性质可得DF=DE，再利用三角形的面积公式及割补法列出S△ABC= S△ABD + S△BCD
=ABDE+BCDF=（AB+BC）DE=144，再求出DE的长即可。
18．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积为 ．
故答案为：5
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE=CD=2，利用△ABD的面积为进行计算即可.
19．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。
20．【答案】MP≥1
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE＝，
∴，
∵点M是∠AOB平分线上一点，
到的距离相等，
根据垂线段最短，即时，最小值为1，
则MP≥1
故答案为：MP≥1
【分析】先求出，，再求出到的距离相等，最后求解即可。
21．【答案】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18 cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8 cm．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DE＝DF， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，
∴EC=ED，
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE（ASA）
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED，利用ASA证出△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.
23．【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
24．【答案】（1）2
（2）解：如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F
∵的面积是10，AC=5，
∴DF=2×10÷5=4，
∵为的角平分线，
∴DE=DF=4，
∴=，
∴．
（3）BD=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（3）如图，在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝CAD，
在△ADN与△ADC中，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据角平分线的性质，得出∠BAD＝∠CAD，推出∠CFA＝∠EFA，利用三角形全等得出△AEF≌△ACF（ASA），从而得出答案；
（2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据的面积得出DF的值，再根据为的角平分线，得出DE=DF=4，从而得出面积；
（3）在AB上取AN＝AC，利用三角形全等证出△ADN≌△ADC（SAS），得出∠AND＝2∠B，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得，从而得出答案。
25．【答案】（1）证明：∵AD平分 ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴
同理可证：
∴
即
（2）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为：
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出FD=FC，最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出BA=6，最后求三角形的周长即可。
26．【答案】（1）证明：∵△ABC
∴∠A+∠B+∠C=180°
∵
∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B
∴∠B=∠C
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°
设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，
∵四边形ACBD
∴∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°，即60°+60°+x+x+∠DAC=360°
∴∠DAC=240°-2x
∵作 的平分线交 于点E
∴∠EAD= ∠DAC=120°-x
∵△AED
∴∠D+∠AED+∠EAD=180°，即∠x+∠AED+120°-x =180°，解得∠AED=60°；
（3）解：作AM⊥BD
∵AB=AD
∴MD=MB
∵AC=AD，AE平分∠CAD
∴AE⊥CD
∵由（2）得∠AED=60°，设ME=x
∴AE=2x，DE=2EF，BM=MF=x+3
∴DE=MD+ME=2x+3
∴EF=
∴AE=EF+AF= +3
∴ +3=2x，解得：x=
∴DE=2x+3=10．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A+∠B+∠C=180° ，再求出 ∠B=∠C ，最后证明即可；
（2）先求出 60°+60°+x+x+∠DAC=360° ，再求出 ∠EAD= ∠DAC=120°-x ，最后计算求解即可；
（3）先求出 DE=MD+ME=2x+3 ，再列方程计算求解即可。
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