湘教版初中数学九年级下册1.2二次函数的图像与性质同步练习

湘教版初中数学九年级下册1.2二次函数的图像与性质同步练习
一、单选题
1．（2021九上·绿园期末）若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】先求出a=1，再求出b=4，最后比较大小即可。
2．（2021九上·永吉期末）下列关于抛物线的说法，错误的是（　　）
A．开口向下 B．顶点在第一象限
C．对称轴是直线x=1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、y=-（x-1）2+2，
∵a=-1<0，
∴图象的开口向下，故本选项不符合题意；
B、∵y=-（x-1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），在第一象限，故本选项不符合题意；
C、∵y=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，本选项不符合题意；
D、∵y=-（x-1）2+2，
∴开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 抛物线 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
3．（2021九上·集贤期末）抛物线顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是
故答案为：B．
【分析】根据抛物线求顶点坐标即可。
4．（2021九上·温州期末）如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，
根据题意得： ，
解得： ，
∴交点C的坐标为（ ， ），
故答案为：B.
【分析】 利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式；将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C的坐标
5．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
6．（2021九上·富裕期末）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，
故答案为：D
【分析】根据解析式平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
7．（2021九上·铁西期末）若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，
∵3＜x2＜x1，两点都在对称轴右侧，a＜0，
∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，再根据抛物线的性质求解即可。
8．（2021九上·铁西期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＞0 C．2a﹣b＞0 D．3a+c＜0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下知，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
当时，，则，故B选项不符合题意；
∵对称轴为，
∴，即，故C选项不符合题意；
当时，，
，
，
，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再根据抛物线的性质逐项判断即可。
9．（2021九上·和平期末）将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣4）
C．（﹣2，4） D．（2，﹣3）
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得，即，
所以顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据解析式平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。
10．（2021九上·农安期末）由二次函数可知（　　）
A．其图象的开口向上 B．其顶点坐标为
C．其图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2），
当x＞3时，y随x的增大而减小，
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
11．（2021九上·克东期末）抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)
【答案】C
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5．
∴点M（1，-5）．
∴点N（-1，5）．
故答案为：C．
【分析】先求出点M（1，-5），再求点的坐标即可。
12．（2021九上·密山期末）已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故答案为：C
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可得：二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小，再求解即可。
二、填空题
13．（2021九上·密山期末）二次函数图象开口向下且顶点坐标是P（2，3），则函数y随自变量x的增大而减小则x的取值范围是　 　．
【答案】x>2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是，
对称轴为，
又抛物线开口向下，由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，
当时，函数y随自变量x的增大而减小．
故答案为．
【分析】根据抛物线开口向下，由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，再结合顶点坐标为，即可得到答案。
14．（2021九上·铁西期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣3）2+m与y=（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线与的对称轴分别为直线x=3与直线
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为，
∴
则
故答案为
【分析】先求出点C的横坐标为5，点B横坐标为，再求出最后代入求解即可。
15．（2021九上·永吉期末）若抛物线的顶点坐标为（2，1），则k的值为　 　．
【答案】5
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴
解得
故答案为：5
【分析】根据 抛物线的顶点坐标为（2，1）， 求出，再计算求解即可。
16．（2021九上·通榆期末）将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
函数的表达式为：，
故答案为：．
【分析】根据 抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 求函数解析式即可。
17．（2021九上·通榆期末）如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为　 　．
【答案】（2， ）
【知识点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线y＝ax2－2ax＋(a＜0)的对称轴是直线x＝1，
与y轴的交点坐标是（2，），
即点B的坐标是（2，）
由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图象上，
点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，
∴点B与点D关于直线x＝1对称，得到点D的坐标为（2，）．
故答案为（2，）．
【分析】先求出点B的坐标是（2，），再求出点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，最后求点的坐标即可。
18．（2021九上·密山期末）已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝　 　．
【答案】1或0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：Ⅰ.若m≠0，因为图象关于y轴对称，
所以x＝，
即=0，
解得m＝1．
Ⅱ.当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
【分析】分两种情况：当m≠0时，利用对称轴公式可得=0，求出m的值；当m＝0时，函数图象符合题意，即可得到答案。
19．（2021九上·江油期末）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是　 　．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y1），B（﹣0.5，y2），C（3.5，y3）三点都在抛物线上，y1＜y2＜y3；
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
【答案】①②③
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵对称轴为x=-=2，
∴4a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵4a+b=0，
∴b=-4a，
把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=-5a，
∴24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，故②正确；
③由对称性得：点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，
∵当x<2时，y随x的增大而增大，且-3<-0.5＜0.5，
∴y1④∵当x<2时，y随x的增大而增大，故④错误，
∴正确的结论有①②③.
【分析】①根据对称轴公式得出-=2，得出4a+b=0，即可判①正确；
②根据抛物线开口向下，得出a＜0，由①得出b=-4a，再把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，从而得出c=-5a，代入24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，即可判②正确；
③根据抛物线的性质得出点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，当x<2时，y随x的增大而增大，从而得出y120．（2021九上·萧山月考）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为　 　.
【答案】y＝(x﹣1)2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为：y＝（x+1﹣2）2+1，即y＝(x﹣1)2+1.
故答案为：y＝(x﹣1)2+1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
三、解答题
21．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
22．（2021九上·淮北月考）用配方法求二次函数的顶点坐标．
【答案】解：由题意得：
，
∴顶点坐标为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再根据顶点式直接求出顶点坐标即可。
23．（2021九上·萧山月考）已知点（0，3）在二次函数 的图象上，且当 时，函数 有最小值2，这个二次函数的表达式。
【答案】解：∴点（1，2）为抛物线的顶点，
于是可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得，
a+2＝3，
∴a＝1，
∴抛物线的关系式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式设函数解析式，代入已知点坐标求出a值，即可解答.
四、综合题
24．（2021九上·安吉期末） 对于二次函数，请回答下列问题：
（1）求出此函数图象的顶点坐标；
（2）当时，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：，
顶点坐标为
（2）解：
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）当x=2时y=4+4-3=5；
当x=-2时y=4-4-3=-3，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当-2＜x＜2时，-4＜y＜5.
【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为，将a，b，c分别代入顶点坐标，可求出此函数的顶点坐标.
（2）将x=2和x=-2分别代入函数解析式，可求出对应的y的值；再利用二次函数的图象和性质可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），由此可求出y的取值范围.
25．（2021九上·农安期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若．求m的值；
（4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）m2
（2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2．
解得m1=-3，m2=1；
（3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2．
①-2m+3-m2=2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）-3＜m≤-1或m＞1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x=m代入y=x2，得y=m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案为：m2；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。
26．（2021九上·江油期末）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式，并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6），
则，
解得：，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝2，顶点为（1，﹣2），
令y＝0，则x＝0或2，
∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0）
图象如图所示：
（2）由图象知，当y＜0时，x的取值范围为0＜x＜2；
（3）y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
由平移的性质，把图象向右平移3个单位后的函数解析式为：y＝2（x﹣1﹣3）2﹣2＝2x2﹣12x+30，
∴平移后图象所对应的函数关系式为y＝2x2﹣12x+30．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标，在平面直角坐标系中画出抛物线即可；
（2）结合图象得出当0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，即可得出答案；
（3）先把抛物线的解析式化为顶点式，再根据平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后图象所对应的函数关系式，即可得出答案.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.2二次函数的图像与性质同步练习
一、单选题
1．（2021九上·绿园期末）若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（　　）
A． B． C． D．无法确定
2．（2021九上·永吉期末）下列关于抛物线的说法，错误的是（　　）
A．开口向下 B．顶点在第一象限
C．对称轴是直线x=1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
3．（2021九上·集贤期末）抛物线顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·温州期末）如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（　　）
A． B． C．3 D．
5．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021九上·富裕期末）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
7．（2021九上·铁西期末）若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
8．（2021九上·铁西期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＞0 C．2a﹣b＞0 D．3a+c＜0
9．（2021九上·和平期末）将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣4）
C．（﹣2，4） D．（2，﹣3）
10．（2021九上·农安期末）由二次函数可知（　　）
A．其图象的开口向上 B．其顶点坐标为
C．其图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
11．（2021九上·克东期末）抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)
12．（2021九上·密山期末）已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021九上·密山期末）二次函数图象开口向下且顶点坐标是P（2，3），则函数y随自变量x的增大而减小则x的取值范围是　 　．
14．（2021九上·铁西期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣3）2+m与y=（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为　 　．
15．（2021九上·永吉期末）若抛物线的顶点坐标为（2，1），则k的值为　 　．
16．（2021九上·通榆期末）将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 　 　．
17．（2021九上·通榆期末）如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为　 　．
18．（2021九上·密山期末）已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝　 　．
19．（2021九上·江油期末）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是　 　．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y1），B（﹣0.5，y2），C（3.5，y3）三点都在抛物线上，y1＜y2＜y3；
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
20．（2021九上·萧山月考）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为　 　.
三、解答题
21．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
22．（2021九上·淮北月考）用配方法求二次函数的顶点坐标．
23．（2021九上·萧山月考）已知点（0，3）在二次函数 的图象上，且当 时，函数 有最小值2，这个二次函数的表达式。
四、综合题
24．（2021九上·安吉期末） 对于二次函数，请回答下列问题：
（1）求出此函数图象的顶点坐标；
（2）当时，请直接写出的取值范围.
25．（2021九上·农安期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若．求m的值；
（4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
26．（2021九上·江油期末）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式，并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】先求出a=1，再求出b=4，最后比较大小即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、y=-（x-1）2+2，
∵a=-1<0，
∴图象的开口向下，故本选项不符合题意；
B、∵y=-（x-1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），在第一象限，故本选项不符合题意；
C、∵y=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，本选项不符合题意；
D、∵y=-（x-1）2+2，
∴开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 抛物线 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是
故答案为：B．
【分析】根据抛物线求顶点坐标即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，
根据题意得： ，
解得： ，
∴交点C的坐标为（ ， ），
故答案为：B.
【分析】 利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式；将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C的坐标
5．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，
故答案为：D
【分析】根据解析式平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，
∵3＜x2＜x1，两点都在对称轴右侧，a＜0，
∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，再根据抛物线的性质求解即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下知，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
当时，，则，故B选项不符合题意；
∵对称轴为，
∴，即，故C选项不符合题意；
当时，，
，
，
，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再根据抛物线的性质逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得，即，
所以顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据解析式平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2），
当x＞3时，y随x的增大而减小，
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
11．【答案】C
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5．
∴点M（1，-5）．
∴点N（-1，5）．
故答案为：C．
【分析】先求出点M（1，-5），再求点的坐标即可。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故答案为：C
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可得：二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小，再求解即可。
13．【答案】x>2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是，
对称轴为，
又抛物线开口向下，由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，
当时，函数y随自变量x的增大而减小．
故答案为．
【分析】根据抛物线开口向下，由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，再结合顶点坐标为，即可得到答案。
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线与的对称轴分别为直线x=3与直线
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为，
∴
则
故答案为
【分析】先求出点C的横坐标为5，点B横坐标为，再求出最后代入求解即可。
15．【答案】5
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴
解得
故答案为：5
【分析】根据 抛物线的顶点坐标为（2，1）， 求出，再计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后，
函数的表达式为：，
故答案为：．
【分析】根据 抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 求函数解析式即可。
17．【答案】（2， ）
【知识点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线y＝ax2－2ax＋(a＜0)的对称轴是直线x＝1，
与y轴的交点坐标是（2，），
即点B的坐标是（2，）
由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图象上，
点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，
∴点B与点D关于直线x＝1对称，得到点D的坐标为（2，）．
故答案为（2，）．
【分析】先求出点B的坐标是（2，），再求出点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，最后求点的坐标即可。
18．【答案】1或0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：Ⅰ.若m≠0，因为图象关于y轴对称，
所以x＝，
即=0，
解得m＝1．
Ⅱ.当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
【分析】分两种情况：当m≠0时，利用对称轴公式可得=0，求出m的值；当m＝0时，函数图象符合题意，即可得到答案。
19．【答案】①②③
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵对称轴为x=-=2，
∴4a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵4a+b=0，
∴b=-4a，
把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=-5a，
∴24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，故②正确；
③由对称性得：点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，
∵当x<2时，y随x的增大而增大，且-3<-0.5＜0.5，
∴y1④∵当x<2时，y随x的增大而增大，故④错误，
∴正确的结论有①②③.
【分析】①根据对称轴公式得出-=2，得出4a+b=0，即可判①正确；
②根据抛物线开口向下，得出a＜0，由①得出b=-4a，再把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，从而得出c=-5a，代入24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，即可判②正确；
③根据抛物线的性质得出点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，当x<2时，y随x的增大而增大，从而得出y120．【答案】y＝(x﹣1)2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为：y＝（x+1﹣2）2+1，即y＝(x﹣1)2+1.
故答案为：y＝(x﹣1)2+1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
21．【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
22．【答案】解：由题意得：
，
∴顶点坐标为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再根据顶点式直接求出顶点坐标即可。
23．【答案】解：∴点（1，2）为抛物线的顶点，
于是可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，把（0，3）代入得，
a+2＝3，
∴a＝1，
∴抛物线的关系式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式设函数解析式，代入已知点坐标求出a值，即可解答.
24．【答案】（1）解：，
顶点坐标为
（2）解：
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）当x=2时y=4+4-3=5；
当x=-2时y=4-4-3=-3，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当-2＜x＜2时，-4＜y＜5.
【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为，将a，b，c分别代入顶点坐标，可求出此函数的顶点坐标.
（2）将x=2和x=-2分别代入函数解析式，可求出对应的y的值；再利用二次函数的图象和性质可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），由此可求出y的取值范围.
25．【答案】（1）m2
（2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2．
解得m1=-3，m2=1；
（3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2．
①-2m+3-m2=2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）-3＜m≤-1或m＞1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x=m代入y=x2，得y=m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案为：m2；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。
26．【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6），
则，
解得：，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝2，顶点为（1，﹣2），
令y＝0，则x＝0或2，
∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0）
图象如图所示：
（2）由图象知，当y＜0时，x的取值范围为0＜x＜2；
（3）y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
由平移的性质，把图象向右平移3个单位后的函数解析式为：y＝2（x﹣1﹣3）2﹣2＝2x2﹣12x+30，
∴平移后图象所对应的函数关系式为y＝2x2﹣12x+30．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标，在平面直角坐标系中画出抛物线即可；
（2）结合图象得出当0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，即可得出答案；
（3）先把抛物线的解析式化为顶点式，再根据平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后图象所对应的函数关系式，即可得出答案.
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