湘教版初中数学九年级下册1.5抛物线的应用同步练习

湘教版初中数学九年级下册1.5抛物线的应用同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温岭期中）小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离 是（　　）
A．3.5m B．3.8m C．4m D．4.5m
2．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
3．（2021九上·安吉期末）在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，若抛物线与线段MN只有一个公共点，则的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
4．（2021九上·温岭期中）如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·平邑期中）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·定州期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
A．2m B．3m C．4m D．5m
7．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
8．（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x
C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16
9．（2021九上·新昌期中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）
A．此抛物线的解析式是y＝﹣ x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
10．（2021九上·宁波期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）
A．193 B．194 C．195 D．196
11．（2021九上·杭州期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
12．（2021九上·温岭竞赛）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（　　）个
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C ②正方形边长为6cm ③当AP=AQ时，△PAQ面积达到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y= 3x+18
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为　 　.
14．（2021九上·吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是　 　．
15．（2021九上·农安期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m.
16．（2021九上·江油期末）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为　 　米．
17．（2021九上·淮北月考）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第　 　天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是　 　
18．（2021九上·绥宁期末）如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为　 　米.
三、解答题
19．（2021九上·北京月考）如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D为原点、 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．
20．（2021九上·平凉期中）现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长40米），应怎样围才能使矩形的面积S最大？最大是多少？
21．（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
四、综合题
22．（2021九上·温州期末）我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：
（1）若存放 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）
（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润 最大利润是多少
23．（2021九上·东坡期末）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.
24．（2021九上·富裕期末）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，把y=3.05代入函数 ，解得x=1.5或x=－1.5（舍去）
则l=2.5+1.5=4（m）
故答案为：C.
【分析】由题意把y=3.05代入解析式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再根据小敏与篮底的水平距离=2.5+x可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与线段MN只有一个公共点，
∴当这个交点为（-1，3）时，
1+2m+m2-m+2=3
解之：m1=0，m2=-1
∵a=1＞，
∴抛物线的开口向上
∴m的取值范围为-1≤m＜0；
当这个交点为（3，3）时，
9-6m+m2-m+2=3
解之：
∴m的取值范围是：
∴m的取值范围是-1≤m＜0或.
故答案为：A.
【分析】抛物线与线段MN只有一个公共点，分情况讨论：当这个交点为（-1，3）时，代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；当这个交点为（3，3）时，将其代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；综上所述可得到抛物线与线段MN只有一个公共点时的m的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】探索图形规律；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过B2作B2D2⊥x轴于D2，
∵在平面直角坐标系中放置 ， 点 .
∴OB=3，AB=4，OA= ，
∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，
∴ 与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，
∵OA2=OB+B1A1=3+4=7，OC2=OB+B1A1+A2C2=3+4+5=12，
∵△A2B2C2是直角三角形，
∴S△A2B2C2= B2D2·A2C2= A2B2·B2C2，即 ，
∴ ，
∴A2D2= ，OD2= ，
∴A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0），
∴设过A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12），
把点B2（ ， ）代入抛物线解析式， ，
解得 ，
过△A2B2C2的抛物线解析式为 ，
将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为 .
故答案为：D.
【分析】过B2作B2D2⊥x轴于D2，三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，△A14B14C14与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，用待定系数法求出经过点A2B2C2的抛物线，再向右平移四个循环即48个单位长度，可求解.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y= =2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故答案为：A．
【分析】根据正六边形的性质可得：阴影部分的面积为两个半径为x的圆的面积，再利用圆的面积公式可得y= =2πx2（0＜x≤5），再根据解析式即可得到函数图象。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+ ，
把点A（0，10）代入a（x﹣1）2+ ，得a（0﹣1）2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣1）2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米．
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解即可。
7．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为 ，
将原点坐标代入可得 ，
解得： ，
故该抛物线解析式为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5.
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+3.5.
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）.
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m.
故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】由图形可知：抛物线的顶点坐标为（0，3.5），故设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5，将（1.5，3.05）代入求出a，据此判断A；根据图形可直接判断B、C；令解析式中的x＝-2.5，求出y的值，据此判断D.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积S＝AB BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再根据二次函数的性质可求解.
11．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确.
∴正确的有①②③④.
故答案为：C.
【分析】由表格可知抛物线经过点（9，0）及（0，0），故设抛物线的解析式为h＝at(t-9)，把（1，8）代入可得a的值，据此可得函数解析式，进而得到对称轴以及最大值，据此判断①②③；根据表格中的数据可直接判断④.
12．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，CD=AD，
∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，
∴当点P移动到点A时，点Q移动到点C，故①正确；
由图象可知：当2AP=AQ时，△APQ的最大面积为9，
设正方形的边长为a，
根据题意得
当点P到达AD的中点时，点Q到达点B，此时△APQ的面积最大值为9，故③错误；
∴点E（3，9）
解之：a=6（取正值），
∴正方形的边长为6cm，故 ② 正确；
∵当点P运动到点A，则点Q运动到点C，此时PQ与AC重合，即△APQ的面积变为0
∴点F（6，0）
设EF 的解析式为y=kx+b
∴
解之：k=-3，b=18
∴直线EF的解析式为y=-3x+18，故④正确；
正确结论的序号为①②④.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的四边相等，由点P和点Q的运动速度和方向，可知当点P移动到点A时，点Q移动到点C，可对①作出判断；观察函数图象可知当点点P到达AD的中点时，点Q到达点B，此时△APQ的面积最大值为9，可得到点E的坐标，可对③作出判断；设正方形的边长为a，列方程求出a的值，可对②作出判断；当点P运动到点A，则点Q运动到点C，此时PQ与AC重合，即△APQ的面积变为0，可得到点F的坐标，然后利用待定系数法求出直线EF的函数解析式，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
13．【答案】1
【知识点】勾股定理；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，
∴∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠BCP=∠ACP，
∵AC=BC，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴∠B=∠CAQ，BP=AQ，
∵BC=AC=2，
∴∠B=∠CAQ=∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
设BP=AQ=x，则 ，
∴ ，
∵ ，函数开口向下，函数有最大值，
当 时， .
故答案为：1.
【分析】利用旋转的性质可证得∠PCQ=90°，CP=CQ，利用余角的性质可得到∠BCP=∠ACP，利用SAS证明△BPC≌△AQC，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠B=∠CAQ，BP=AQ；再证明∠PAQ-90°，利用勾股定理求出AB的长；设BP=AQ=x，可表示出AP的长，利用三角形的面积公式可得到△PAQ与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出△PAQ的最大面积.
14．【答案】4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=(x 2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
∴A(2，0)，B(0，4)，
∵抛物线y=(x 2)2与的对称轴为x=2，BC∥x轴，AD∥y轴，
∴直线AD就是抛物线y=(x 2)2与的对称轴，
∴B、C关于直线BD对称，
∴BD=DC=2，
∵顶点A到直线BC的距离最大，
∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为DC AD=×2×4=4.
故最大值为4.
【分析】根据抛物线y=(x 2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，得出A(2，0)，B(0，4)，再根据抛物线y=(x 2)2与的对称轴为x=2，BC∥x轴，AD∥y轴，得出BD=DC=2，根据顶点A到直线BC的距离最大，即可得出点P与A重合时，△PCD面积最大，以及得出最大值。
15．【答案】4-4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【分析】先建立平面直角坐标系，再求出抛物线的解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】14
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为M（6，3.2），经过点A（0，1.4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，
把点A（0，1.4）的坐标代入y=a（x-6）2+3.2，得36a+3.2=1.4，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-6）2+3.2，
令y=0，则-（x-6）2+3.2=0，
∴x=14或x=-2（不符合题意，舍去）
∴点C的坐标为（14，0），
∴点C距守门员的水平距离为14米.
故答案为：14.
【分析】根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点C的坐标，即可得出答案.
17．【答案】（1）16
（2）9＜x＜
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）2+k，
则，y随x增大而增大，
，y随x增大而减小，且x为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可。
18．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，令，
解得：
故水面的宽度为2×5=10米.
答：水面的宽度为10米.
故答案为：10.
【分析】令y=-，求出x的值，进而可得水面的宽度.
19．【答案】解：如图，以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系，
结合题意可得：
且C为抛物线的顶点，
设抛物线为：
所以抛物线的解析式为：
当水面高度下降1米时，即
解得：
所以水面宽度为： ，
答：水面下降1米，此时水面宽度为 米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系， 根据题意求出抛物线的解析式，然后求出当y=-1，求出x的值即可得出答案。
20．【答案】解：设垂直于墙的两边分别为x米，根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时，菜园面积最大，最大面积是450平方米，
此时矩形另一边为 ＜40（符合题意）.
答：当垂直于墙的两边分别为15米，矩形另一边为30米时，矩形的面积最大，最大面积为450平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设垂直于墙的两边分别为x米，则平行于墙的一边的长（60-2x）米，根据矩形的面积等于长乘以宽建立出S与x的函数关系式，对其进行化简，结合二次函数的性质可得最大面积以及x的值，进而求出矩形的另一边长.
21．【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为：
y=（10+0.5x）（2000-6x）
= 3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；
（2）解：设利润为w，由题意得
w= 3x2+940x+20000 10×2000 340x
= 3（x 100）2+30000
∵a= 3＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴x=100时，w最大=30000，
∴李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用销售总额y=销售单价×销售量，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）设利润为w，根据题意可得到W与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质，可求出最大利润.
23．【答案】（1）解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴与的函数关系式为.
（2）解：设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
=，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将点（12，1200），（13，1100）代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数关系式；
（2）设商家线上和线下的月利润总和为w元，根据(售价-进价)×销售量=利润可得线上的月利润为(x-2-10)×400元，线下的月利润为y(x-10)元，据此可得线上和线下的月利润总和w与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行求解.
24．【答案】（1）解：设售价为x元，则销售量为件，
由题意可得，，
化简得，
解得，，
为了减少库存，所以，
故售价应定为每件元，
（2）解：设利润为w元，由题意可得：，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，利润w最大，为元，
故售价应定为每件元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设售价为x元，则销售量为件，根据题意列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，由题意可得：，再利抛物线的性质求解即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.5抛物线的应用同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温岭期中）小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离 是（　　）
A．3.5m B．3.8m C．4m D．4.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，把y=3.05代入函数 ，解得x=1.5或x=－1.5（舍去）
则l=2.5+1.5=4（m）
故答案为：C.
【分析】由题意把y=3.05代入解析式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再根据小敏与篮底的水平距离=2.5+x可求解.
2．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
3．（2021九上·安吉期末）在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，若抛物线与线段MN只有一个公共点，则的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与线段MN只有一个公共点，
∴当这个交点为（-1，3）时，
1+2m+m2-m+2=3
解之：m1=0，m2=-1
∵a=1＞，
∴抛物线的开口向上
∴m的取值范围为-1≤m＜0；
当这个交点为（3，3）时，
9-6m+m2-m+2=3
解之：
∴m的取值范围是：
∴m的取值范围是-1≤m＜0或.
故答案为：A.
【分析】抛物线与线段MN只有一个公共点，分情况讨论：当这个交点为（-1，3）时，代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；当这个交点为（3，3）时，将其代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；综上所述可得到抛物线与线段MN只有一个公共点时的m的取值范围.
4．（2021九上·温岭期中）如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】探索图形规律；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过B2作B2D2⊥x轴于D2，
∵在平面直角坐标系中放置 ， 点 .
∴OB=3，AB=4，OA= ，
∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，
∴ 与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，
∵OA2=OB+B1A1=3+4=7，OC2=OB+B1A1+A2C2=3+4+5=12，
∵△A2B2C2是直角三角形，
∴S△A2B2C2= B2D2·A2C2= A2B2·B2C2，即 ，
∴ ，
∴A2D2= ，OD2= ，
∴A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0），
∴设过A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12），
把点B2（ ， ）代入抛物线解析式， ，
解得 ，
过△A2B2C2的抛物线解析式为 ，
将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为 .
故答案为：D.
【分析】过B2作B2D2⊥x轴于D2，三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，△A14B14C14与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，用待定系数法求出经过点A2B2C2的抛物线，再向右平移四个循环即48个单位长度，可求解.
5．（2021九上·平邑期中）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
∴y= =2πx2（0＜x≤5）．
当x=5时，y=2π×25=50π．
故答案为：A．
【分析】根据正六边形的性质可得：阴影部分的面积为两个半径为x的圆的面积，再利用圆的面积公式可得y= =2πx2（0＜x≤5），再根据解析式即可得到函数图象。
6．（2021九上·定州期中）某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+ ，
把点A（0，10）代入a（x﹣1）2+ ，得a（0﹣1）2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣1）2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB＝3米．
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解即可。
7．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
8．（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝ x2＋ x B．y＝－ x2＋ x
C．y＝－ x2－ x D．y＝－ x2＋ x＋16
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为 ，
将原点坐标代入可得 ，
解得： ，
故该抛物线解析式为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.
9．（2021九上·新昌期中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）
A．此抛物线的解析式是y＝﹣ x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5.
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+3.5.
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）.
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m.
故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】由图形可知：抛物线的顶点坐标为（0，3.5），故设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5，将（1.5，3.05）代入求出a，据此判断A；根据图形可直接判断B、C；令解析式中的x＝-2.5，求出y的值，据此判断D.
10．（2021九上·宁波期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）
A．193 B．194 C．195 D．196
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积S＝AB BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再根据二次函数的性质可求解.
11．（2021九上·杭州期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确.
∴正确的有①②③④.
故答案为：C.
【分析】由表格可知抛物线经过点（9，0）及（0，0），故设抛物线的解析式为h＝at(t-9)，把（1，8）代入可得a的值，据此可得函数解析式，进而得到对称轴以及最大值，据此判断①②③；根据表格中的数据可直接判断④.
12．（2021九上·温岭竞赛）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（　　）个
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C ②正方形边长为6cm ③当AP=AQ时，△PAQ面积达到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y= 3x+18
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，CD=AD，
∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，
∴当点P移动到点A时，点Q移动到点C，故①正确；
由图象可知：当2AP=AQ时，△APQ的最大面积为9，
设正方形的边长为a，
根据题意得
当点P到达AD的中点时，点Q到达点B，此时△APQ的面积最大值为9，故③错误；
∴点E（3，9）
解之：a=6（取正值），
∴正方形的边长为6cm，故 ② 正确；
∵当点P运动到点A，则点Q运动到点C，此时PQ与AC重合，即△APQ的面积变为0
∴点F（6，0）
设EF 的解析式为y=kx+b
∴
解之：k=-3，b=18
∴直线EF的解析式为y=-3x+18，故④正确；
正确结论的序号为①②④.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的四边相等，由点P和点Q的运动速度和方向，可知当点P移动到点A时，点Q移动到点C，可对①作出判断；观察函数图象可知当点点P到达AD的中点时，点Q到达点B，此时△APQ的面积最大值为9，可得到点E的坐标，可对③作出判断；设正方形的边长为a，列方程求出a的值，可对②作出判断；当点P运动到点A，则点Q运动到点C，此时PQ与AC重合，即△APQ的面积变为0，可得到点F的坐标，然后利用待定系数法求出直线EF的函数解析式，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
13．（2021九上·临海期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为　 　.
【答案】1
【知识点】勾股定理；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，
∴∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠BCP=∠ACP，
∵AC=BC，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴∠B=∠CAQ，BP=AQ，
∵BC=AC=2，
∴∠B=∠CAQ=∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
设BP=AQ=x，则 ，
∴ ，
∵ ，函数开口向下，函数有最大值，
当 时， .
故答案为：1.
【分析】利用旋转的性质可证得∠PCQ=90°，CP=CQ，利用余角的性质可得到∠BCP=∠ACP，利用SAS证明△BPC≌△AQC，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠B=∠CAQ，BP=AQ；再证明∠PAQ-90°，利用勾股定理求出AB的长；设BP=AQ=x，可表示出AP的长，利用三角形的面积公式可得到△PAQ与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出△PAQ的最大面积.
14．（2021九上·吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=(x 2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
∴A(2，0)，B(0，4)，
∵抛物线y=(x 2)2与的对称轴为x=2，BC∥x轴，AD∥y轴，
∴直线AD就是抛物线y=(x 2)2与的对称轴，
∴B、C关于直线BD对称，
∴BD=DC=2，
∵顶点A到直线BC的距离最大，
∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为DC AD=×2×4=4.
故最大值为4.
【分析】根据抛物线y=(x 2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，得出A(2，0)，B(0，4)，再根据抛物线y=(x 2)2与的对称轴为x=2，BC∥x轴，AD∥y轴，得出BD=DC=2，根据顶点A到直线BC的距离最大，即可得出点P与A重合时，△PCD面积最大，以及得出最大值。
15．（2021九上·农安期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m.
【答案】4-4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【分析】先建立平面直角坐标系，再求出抛物线的解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
16．（2021九上·江油期末）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为　 　米．
【答案】14
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为M（6，3.2），经过点A（0，1.4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，
把点A（0，1.4）的坐标代入y=a（x-6）2+3.2，得36a+3.2=1.4，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-6）2+3.2，
令y=0，则-（x-6）2+3.2=0，
∴x=14或x=-2（不符合题意，舍去）
∴点C的坐标为（14，0），
∴点C距守门员的水平距离为14米.
故答案为：14.
【分析】根据题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3.2，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点C的坐标，即可得出答案.
17．（2021九上·淮北月考）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第　 　天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是　 　
【答案】（1）16
（2）9＜x＜
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）2+k，
则，y随x增大而增大，
，y随x增大而减小，且x为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可。
18．（2021九上·绥宁期末）如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为　 　米.
【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，令，
解得：
故水面的宽度为2×5=10米.
答：水面的宽度为10米.
故答案为：10.
【分析】令y=-，求出x的值，进而可得水面的宽度.
三、解答题
19．（2021九上·北京月考）如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D为原点、 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．
【答案】解：如图，以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系，
结合题意可得：
且C为抛物线的顶点，
设抛物线为：
所以抛物线的解析式为：
当水面高度下降1米时，即
解得：
所以水面宽度为： ，
答：水面下降1米，此时水面宽度为 米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 以D为坐标原点， 所在的直线为x轴建立直角坐标系， 根据题意求出抛物线的解析式，然后求出当y=-1，求出x的值即可得出答案。
20．（2021九上·平凉期中）现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长40米），应怎样围才能使矩形的面积S最大？最大是多少？
【答案】解：设垂直于墙的两边分别为x米，根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时，菜园面积最大，最大面积是450平方米，
此时矩形另一边为 ＜40（符合题意）.
答：当垂直于墙的两边分别为15米，矩形另一边为30米时，矩形的面积最大，最大面积为450平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设垂直于墙的两边分别为x米，则平行于墙的一边的长（60-2x）米，根据矩形的面积等于长乘以宽建立出S与x的函数关系式，对其进行化简，结合二次函数的性质可得最大面积以及x的值，进而求出矩形的另一边长.
21．（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
四、综合题
22．（2021九上·温州期末）我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：
（1）若存放 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）
（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为：
y=（10+0.5x）（2000-6x）
= 3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；
（2）解：设利润为w，由题意得
w= 3x2+940x+20000 10×2000 340x
= 3（x 100）2+30000
∵a= 3＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴x=100时，w最大=30000，
∴李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用销售总额y=销售单价×销售量，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）设利润为w，根据题意可得到W与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质，可求出最大利润.
23．（2021九上·东坡期末）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.
【答案】（1）解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴与的函数关系式为.
（2）解：设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
=，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将点（12，1200），（13，1100）代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数关系式；
（2）设商家线上和线下的月利润总和为w元，根据(售价-进价)×销售量=利润可得线上的月利润为(x-2-10)×400元，线下的月利润为y(x-10)元，据此可得线上和线下的月利润总和w与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行求解.
24．（2021九上·富裕期末）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
【答案】（1）解：设售价为x元，则销售量为件，
由题意可得，，
化简得，
解得，，
为了减少库存，所以，
故售价应定为每件元，
（2）解：设利润为w元，由题意可得：，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，利润w最大，为元，
故售价应定为每件元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设售价为x元，则销售量为件，根据题意列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，由题意可得：，再利抛物线的性质求解即可。
1 / 1