2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.5用二次函数解决问题同步测试题（Word版含答案）

5.5 用二次函数解决问题 同步测试题
一、 选择题
1. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A. 150元 B. 160元 C. 170元 D. 180元
3.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）
A. 60m2 B. 63m2 C. 64m2 D. 66m2
4.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2 ， 那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A. 6s B. 4s C. 3s D. 2s
5. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7．如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
8．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m B．4m C．4 m D．4m
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　）
A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞2
10. 向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A.第秒 B.第秒 C.第秒 D.第秒
二、 填空题
11. 将一根长的铁丝围成一矩形，试写出矩形面积与矩形一边长之间的关系式________．

12.如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则方程 的解是________.
13.如图，抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ，点 分别是直线 与抛物线上的点，若点 围成的四边形是平行四边形，则点 的坐标为________.
14.汽车刹车后行驶的距离 (单位： )关于行驶的时间 (单位： )的函数解析式是 ．汽车刹车后到停下来前进了 ________．

15.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为 ，两侧距底面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个隧道入口的最大高度为________ .
16.在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n－1，3n＋2），点Q是抛物线y=－x2＋x＋1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为 .
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为________.
18.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+， 那么圆形水池的半径至少为________ 米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
三、 解答题
19.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．
⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
20.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
21 某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午点开放，而无人售票窗口从上午点开放，某日从上午点到点，每个普通售票窗口售出的车票数（张）与售票时间（小时）的变化趋势如图，每个无人售票窗口售出的车票数（张）与售票时间（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图，若该日截至上午点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．
求图中所确定抛物线的解析式；
若该日共开放个无人售票窗口，截至上午点，两种窗口共售出的车票数不少于张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

参考答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【解答】
解：由题意第二次降价后的价格是．
则函数解析式是．
故选．
2.【答案】 A
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
解：设获得的利润为y元，由题意得：

∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故答案为：A ．
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
3.【答案】 C
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2 ，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2 ，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2 ．
故选C．
【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2 ， 表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．
4.【答案】 A
【考点】二次函数的实际应用-喷水问题
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t﹣5t2得：5t2﹣30t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=6．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．
故选A．
【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t﹣5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
5.
【答案】
A
【解答】
解：在中，
当时，有最大值为．
则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为．
故选．
6.
【答案】
C
【解答】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．
当时代入到抛物线解析式得：
，
解得或．
则由图可知点，点，
∴ ．
设直线的解析式为：．
代入，求得：，
则该直线与轴的交点为：当时，．
∴ 点．
故选．
7．解：设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意得：
y＝x（2÷2﹣x）
＝x（1﹣x）
＝﹣x2+x，
∴矩形的面积与其一边满足的函数关系是y＝﹣x2+x，即满足二次函数关系．
故选：C．
8．解：根据题意，得
OA＝12，OC＝4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣＝＝6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．
所以两排灯的水平距离最小是4．
故选：D．
9．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）
则因斜边上的高为h，
故：h＝b﹣a2，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD＝
∴＝，方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2
即h＝（﹣h）2
因h＞0，得h＝1，是个定值．
故选：B．
10.
【答案】
B
【解答】
解：∵ 此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
∴ 抛物线的对称轴是：，
∴ 炮弹所在高度最高时：
时间是第秒．
故选．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【解答】
解：由题意得：矩形的另一边长，
∴ ．
故答案为：．
12.【答案】 ，
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组 的解为
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-3，x2=2.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-3，x2=2
故答案为： ，
【分析】将点A，B的坐标分别代入两函数解析式，可求出两函数解析式，再将两函数联立方程组，求出两函数的交点坐标，即可得到关于x的方程ax2-bx-c=0的解。
13.【答案】 或 或
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】由抛物线的表达式求得点 的坐标分别为 .
由题意知当 为平行四边形的边时， ，且 ，
∴线段 可由线段 平移得到.
∵点 在直线 上，①当点 的对应点为 时，如图，需先将 向左平移1个单位长度，
此时点 的对应点 的横坐标为 ，将 代入 ，
得 ，∴ .
②当点A的对应点为 时，同理，先将 向右平移2个单位长度，可得点 的对应点 的横坐标为2，
将 代入 得 ，∴
当 为平行四边形的对角线时，可知 的中点坐标为 ，
∵ 在直线 上，
∴根据对称性可知 的横坐标为 ，将 代入
得 ，∴ .
综上所述，点 的坐标为 或 或 .
【分析】根据二次函数 与x轴的负半轴交于点 ，与 轴交于点 .直接令x=0和y=0求出A，B的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E的坐标.
14.【答案】 6
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式 =-6(t -2t+1-1)=-6(t-1) +6
可知，汽车的刹车时间为t=1s，
当t=1时， =12×1-6×1 =6(m)
故答案为：6
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.
15.
【答案】
【解答】
＝
＝
＝，
则小球运动到的最大高度为．
16.【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（n－1，3n＋2），
∴设x= n－1，y=3n＋2，
∴y=3x+5，即：点P在直线y=3x+5上，
设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b，
当直线y=3x+b与抛物线y=－x2＋x＋1相切时，
则3x+b=－x2＋x＋1，即：x2+2x+b-1=0，
∴ = ，解得：b=2，
∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P，Q两点间距离的最小值.
设直线y=3x+5与y轴的交点为C，直线y=3x+2与x，y轴的交点分别为F，E，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F( ，0)，
∴CE=3，OE=2，OF= ，EF= ，
过点C作CD⊥EF于点D，
∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO，
∴ CDE~ FOE，
∴ ，即 ，解得：CD= ，
∴P，Q两点间距离的最小值为 .
故答案是： .
【分析】先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解.
17.【答案】 －2≤m< 或 【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2交于C，D两点，联立解方程：


解得：
∴抛物线与直线交点的横坐标为：
又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数
∴得出在C、D之间恰有两个整数解
当 即 时得出： 解得：
当 即 时得出： 解得：
故答案为： 或
【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可.
18.【答案】 ①②③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①根据图象可知：
a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0．
∴①符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2-4ac＞0，
4ac＜b2 ．
∴②符合题意；
③∵抛物线的对称轴x＜1，
即 ，得2a+b＞0．
∴③符合题意；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为-2．
∴④不符合题意；
⑤根据抛物线的性质可知：
当x＜0时，y随x的增大而减小；
∴⑤符合题意；
⑥当x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
∴⑥不符合题意．
故答案为①②③⑤．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x=1时y的值即可判断．
三、解答题
19.【答案】 解：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x2+600x－5000=－10(x－30)2+4000
∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
⑶由题意得：－10x2＋600x－5000=3000，解得：x1=20，x2=40．
∵a=－10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，W≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
三、 解答题
20.
【答案】
想要每月获得元的利润，销售单价应定为元或元．
（3）当销售量每月不小于件时，即，
解得：，
由题意，得：
∴ 当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．
【解答】
解：（1）由题意，得：，
，
（2）由题意，得：，
解这个方程得：，，
答：想要每月获得元的利润，销售单价应定为元或元．
（3）当销售量每月不小于件时，即，
解得：，
由题意，得：
∴ 当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元．
21.
【答案】
至少需要开放个普通售票窗口．
【解答】
解：设，
当时，，
把代入，
，
解得：，
∴ ．
设，
把，分别代入得：
解得：，
∴ ，
当时，，，
设需要开放个普通售票窗口，
∴ ，
∴ ，
∴ 取整数，
∴ ．
答：至少需要开放个普通售票窗口．