2020-2021学年人教版数学七年级下册5.3.2命题、定理、证明课件（44张）

(共44张PPT)
人教版 · 数学· 七年级（下）
第5章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论。
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用。
学习目标
　请同学读出下列语句：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
新知一 命题的概念
合作探究
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
例 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并
说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；
（2）是做一件事情，也不是命题.
典例精析 命题的识别
下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6）玫瑰花是动物；
（7）若a2＝4，求a的值；
（8）若a2＝b2，则a＝b.
否
是
否
否
是
否
是
是
巩固新知
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式.
新知二 命题的构成
合作探究
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
例 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线；
(2)等角的补角相等；
(3)内错角相等.
解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
典例精析 命题表述形式的变换
请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．
巩固新知
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立.
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题.
确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法.
新知三 真假命题的概念
合作探究
例 下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
√
√
√
典例精析 真假命题的识别
×
×
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
（1）猪有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）你的作业做完了吗？
（6）同位角相等，两直线平行；
（7）同角的补角相等；
（8）同垂直于一直线的两直线平行；
（9）过点P画线段MN的垂线；
（10）x＞2.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
真命题
是
真命题
否
否
巩固新知
“因为早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家，还发现我果园的苹果被人偷了，我知道王五家没有苹果树.
所以我家苹果肯定是王五偷的.”
情节1：一天早上，张老汉来到公安局里告状说：王五刚刚在他地里偷了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯:
文局长问张老汉：“你怎知是王五偷了你的苹果 ”
这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.
新知四 证明和反证法（举反例）
张老汉想证明什么？他是怎么证明的？
根据张老汉的证明，你能断定苹果是王五偷的吗？你觉得有疑点吗？
合作探究
情节2：文局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：“梁局长，你怎么看？”
梁局长说“这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚摘的苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行.
如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就一定是他偷的.”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、
基本事实、定理等.
证明的概念
确定一个命题是假命题的方法：
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.
）
）
1
2
A
O
C
B
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
【讨论】如何判定一个命题是假命题呢？
举反例
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
典例精析 利用证明推理解决问题
证明：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴AB∥CD.
B
D
C
E
A
F
1
2
3
如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线
BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，
剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程
①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2
题设(已知)； .
结论(求证)： .
①②
③
巩固新知
理由：
证明：∵AB∥CD，
∠ABC＝∠DCB，
又∵BE∥CF.
∴∠EBC＝∠FCB.
∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，
∴∠1＝∠2.
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行线公理：
公理的概念
新知五 公理和定理的概念
合作探究
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
定理的概念
例 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）,
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又∵ b ∥ c（已知）,
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析 利用公理定理进行推理
填空:
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知）, ∠AEF=∠1 （ ）,
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）,∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE （ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
巩固新知
1．(3分)下列语句，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．两直线不平行就相交
C．连接A，B两点
D．对顶角相等
C
课堂练习
2．(4分)“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的
题设是_________________________，结论是________________．
两条直线和同一条直线垂直
这两条直线平行
3．(6分)把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)平行于同一直线的两条直线互相平行；
(2)两点确定一条直线；
(3)同旁内角互补．
解：(1)如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行　
(2)如果有两个已知点，那么经过这两个已知点有且只有一条直线　
(3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补
4．(3分)下列命题中，是假命题的是( )
A．内错角相等
B．等角的补角相等
C．能被6整除的数一定能被3整除
D．一个角的余角可以等于它本身
A
A
6．(6分)判断下列命题的真假，是假命题的举出反例．
(1)两个锐角的和是钝角；
(2)一个角的补角大于这个角；
(3)不相等的角不是对顶角．
解：(1)假命题．反例为30°＋30°＝60°
(2)假命题．反例为120°的补角为60°
(3)真命题
7．(3分)下列说法错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题是定理
C
角平分线的定义
55
DAC
等量代换
内错角相等，两直线平行
9．(6分)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中是真命题的是_________(填写所有真命题的序号)，
请你选出一个真命题给出证明．
解：答案不唯一，选择①证明：已知：如图，a∥b，a⊥c，求证：b⊥c.
证明：∵a∥b，∴∠1＝∠2.又∵a⊥c，∴∠1＝∠2＝90°，∴b⊥c
①②④
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
归纳新知
1．下列命题中真命题的个数是( )
(1)过一点作已知直线的垂线，有且只有一条；
(2)垂线段最短；
(3)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(4)垂直于同一直线的两条直线平行；
(5)内错角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
课后练习
2．下列命题中，假命题有( )
①若a2＝4，则a＝2；②若a＞b，则a2＞b2；
③若a＞b，b＞c，则a＞c；④若a2＝b2，则|a|＝|b|.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．把“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式
是_______________________________________，该命题是____命题．(填“真”或“假”)
B
如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等
真
4．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_____________．(用序号写出一个即可)
①② ④
5．如图所示，如果已知∠1＝∠2，则AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
解：是假命题，添加BE∥DF，∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠FDN.∵∠1＝∠2，
∴∠ABD＝∠CDN，
∴AB∥CD
6．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
7．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题，并证明该命题的正确性．
解：答案不唯一．如选②∠B＝∠D；③∠A＝∠C.
求证：①∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C，∴AB∥CD.∴∠B＝∠BFC.
∵∠B＝∠D，∴∠BFC＝∠D.
∴DE∥BF.∴∠DMN＝∠BNM.
∵∠1＝∠DMN，∠2＝∠BNM，
∴∠1＝∠2
8．阅读以下两题后作出相应的解答：
(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；
(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字表述．
已知：过直线AB上一点O任作射线OC，OM，ON分别平分∠AOC，
∠BOC，则OM⊥ON.
解：(1)逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点
在这个角的平分线上　题设：在角的内部到角两边距离相等的点　
结论：这个点在这个角的平分线上
(2)图略，邻补角的角平分线互相垂直
再见