黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷 （Word版含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣3的倒数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．3a2+2a3＝5a5
C．a6 a2＝a8 D．（a2）3＝a5
3．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C＝90°，∠A＝36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为（　　）
A．16° B．18° C．15° D．17°
6．将抛物线y＝2（x+1）2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣1
7．如图，AD为⊙O切线，点A为切点，DO交⊙O于点C，点B在⊙O上，连接AB、CB，若∠D＝36°，则∠ABC的度数为（　　）
A．36° B．34° C．27° D．24°
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个黑球，3个白球，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸了一个小球，则摸出的小球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在BC边上，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将数3110000用科学记数法表示为　 　．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　 　．
14．计算的结果是　 　．
15．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣3），则k的值为　 　．
16．不等式组的解集是　 　．
17．抛物线y＝（x﹣1）2+7的顶点坐标为　 　．
18．已知扇形的圆心角为120°，弧长为12πcm，则扇形的半径为　 　cm．
19．在△ABC中，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为　 　．
20．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝AB，点E在线段AC上，点F是边AD中点，连接BF、BE，且∠FBE＝30°，CE＝4，则AB的长为　 　．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4sin45°﹣2cos60°．
22．（7分）如图，网格中有一条线段AB，点 A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．
（1）在图①中画出格点△ABC，使△ABC是等腰三角形；
（2）以AB为斜边作Rt△ABC（见图②），在图②中找出格点D（画出一个即可），作锐角△ADC，且使得∠ADC＝∠B．
（3）在（2）中满足条件的点D共有　 　个．
23．（8分）为了弘扬国学文化，加强文化认同，某中学开展了课外国学读书活动，为了解学生某月份内的国学书籍阅读情况，学校随机抽取部分学生，并对该月内国学书籍阅读次数进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）本次抽取的学生有　 　人，抽取学生读书次数的众数是　 　，中位数是　 　；
（2）请你先计算再将图2的统计图补充完整；
（3）若规定读书5次以上（含5次）为“国学学习优秀学员”，则该校七年级900名学生中估计有多少人为“国学学习优秀学员”？
24．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°．
（1）如图1，求证：△AOB为等边三角形．
（2）如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形．
25．（10分）某国产手机销售店去年A型手机的销售总额为6万元，今年每个A型手机的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年每个A型手机的售价．
（2）该国产手机销售店计划新进一批A型手机和B型手机共45个，已知 A、B型手机的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型手机的销售价格是2000元，要使这批手机获得的利润超过25000元，则需最多购进A型手机多少个．
26．（10分）已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，∠CDB＝3∠ABD．
（1）如图1，求证：AC＝AB；
（2）如图2，点E是弧AB上一点，连接CE，AF⊥CE于点F，且∠BAF＝∠ACE，求tan∠BCE的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD交⊙O于点H，连接FH，若EF＝2，BC＝8，求线段FH的长．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）分别与x轴正半轴、负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，0）．
（1）如图1，连接AC、BC，若∠ACB＝90°，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，抛物线对称轴分别交抛物线、x轴于点D、E，点P是抛物线上任意一点，连接PB交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t（3＜t＜8），DQ长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，连接BD，在BD上取点G，使BG＝AF，连接FG，取FG的中点M，连接ME、PM，当∠PME＝135°+∠BDE时，求d值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣3的倒数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．3a2+2a3＝5a5
C．a6 a2＝a8 D．（a2）3＝a5
【分析】利用合并同类项法则以及同底数的幂的乘法法则、幂的乘方法则即可判断．
【解答】解：A、6a﹣5a＝a，选项错误；
B、3a2和2a3不是同类项，不能合并，选项错误；
C、a6 a2＝a8，正确，选项正确；
D、（a2）3＝a6，选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则以及同底数的幂的乘法法则、幂的乘方法则，正确理解法则是关键．
3．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．
【解答】解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看．
4．下列各图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C＝90°，∠A＝36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为（　　）
A．16° B．18° C．15° D．17°
【分析】由三角形的内角和定理可求∠ABC，由折叠的性质可得∠A＝∠DBA＝36°，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴∠A＝∠DBA＝36°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝54°﹣36°＝18°，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
6．将抛物线y＝2（x+1）2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣1
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为：y＝2（x+1+1）2+1﹣2，即y＝2（x+2）2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．如图，AD为⊙O切线，点A为切点，DO交⊙O于点C，点B在⊙O上，连接AB、CB，若∠D＝36°，则∠ABC的度数为（　　）
A．36° B．34° C．27° D．24°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠OAD＝90°，根据直角三角形的性质、圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA，
∵AD为⊙O切线，
∴∠OAD＝90°，
∵∠D＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOD＝27°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个黑球，3个白球，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸了一个小球，则摸出的小球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里有9个小球，其中6个黑球，3个白球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是：＝．
故选：C．
【点评】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝
10．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在BC边上，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由DE∥BC，结合平行线分线段成比例可得结论．
【解答】解：在△ABC中，DE∥BC，
∴＝，＝，＝，＝＝，
∴C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，题目比较简单，熟知相关定理是解题基础．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将数3110000用科学记数法表示为　3.11×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将数据3110000用科学记数表示为3.11×106．
故答案为：3.11×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠　．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，5x﹣6≠0，
解得，x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
13．把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　4a（b+2c）（b﹣2c）　．
【分析】首先提公因式m，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：4ab2﹣16ac2
＝4a（b2﹣4c2）
＝4a（b+2c）（b﹣2c）．
故答案是：4a（b+2c）（b﹣2c）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是要注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．计算的结果是　　．
【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣4
＝3﹣2
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减，掌握二次根式的性质、二次根式的加减法法则是解题的关键．
15．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣3），则k的值为　﹣4　．
【分析】把（﹣2，﹣3）代入反比例函数y＝得k的方程，即可得到k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣3），
∴2﹣k＝﹣2×（﹣3），
解得k＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
16．不等式组的解集是　1＜x≤6　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣1＞2x，得：x＞1，
解不等式﹣（x﹣4）≥﹣2，得：x≤6，
则不等式组的解集为1＜x≤6，
故答案为：1＜x≤6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．抛物线y＝（x﹣1）2+7的顶点坐标为　（1，7）　．
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+7，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，7），
故答案为：（1，7）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．已知扇形的圆心角为120°，弧长为12πcm，则扇形的半径为　18　cm．
【分析】设扇形的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件得出＝12π，再求出答案即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的圆心角为120°，弧长为12πcm，
∴＝12π，
解得：r＝18，
即扇形的半径是18cm，
故答案为：18．
【点评】本题考查了弧长的计算，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为．
19．在△ABC中，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为　9或1　．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据∠ABC的正切可得AD和BD的长度，再利用勾股定理可得CD，进而可得BC．
【解答】解：当B、C在AD异侧时，如图，
过点A作AD⊥BC于D，
Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
∵AB＝13，
∴（12x）2+（5x）2＝132，
解得：x＝1，
∴AD＝12，BD＝5．
∴CD＝＝＝4．
∴BC＝5+4＝9．
当B、C在AD同侧时，过点A作AD⊥BC于D，如图，
同理可得BD＝5，CD＝4．
此时，BC＝5﹣4＝1．
故答案为：9或1．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握三角函数的定义和勾股定理是解题关键．
20．如图，在菱形ABCD中，连接AC，AC＝AB，点E在线段AC上，点F是边AD中点，连接BF、BE，且∠FBE＝30°，CE＝4，则AB的长为　20　．
【分析】延长DA至H，使AH＝CE＝4，连接BH，取AC的中点，连接FO，EF，过点O作EQ⊥FO，交FO的延长于Q，先证HF＝EF＝AF+4，利用勾股定理可求解．
【解答】解：如图，延长DA至H，使AH＝CE＝4，连接BH，取AC的中点，连接FO，EF，过点O作EQ⊥FO，交FO的延长于Q，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵AC＝AB，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠BAH＝60°，∠CAD＝∠ACB＝60°，
在△ABH和△CBE中，
，
∴△ABH≌△CBE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBE＝∠ABH，
∵∠FBE＝30°，
∴∠ABF+∠CBE＝30°＝∠ABF+∠ABH＝∠HBF，
∴∠HBF＝∠EBF，
在△HBF和△EBF中，
，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF＝EF＝AF+4，
设AF＝a，
∵点F是AD中点，
∴AD＝2AF＝2a＝AC＝AB，
∵点F是AD中点，点O是AC的中点，
∴OF∥CD，OC＝a，OF＝CD＝a，
∴OE＝a﹣4，∠AOF＝∠ACD＝60°＝∠EOQ，
∴OQ＝（a﹣4），QE＝（a﹣4），
∵FQ2+QE2＝EF2，
∴[（a﹣4）+a]2+[（a﹣4）]2＝（a+4）2，
∴a＝10，
∴AB＝20，
故答案为20．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4sin45°﹣2cos60°．
【分析】先化简原式以及x，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：当x＝4×﹣2×＝2﹣1时，
∴原式＝×
＝
＝
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（7分）如图，网格中有一条线段AB，点 A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．
（1）在图①中画出格点△ABC，使△ABC是等腰三角形；
（2）以AB为斜边作Rt△ABC（见图②），在图②中找出格点D（画出一个即可），作锐角△ADC，且使得∠ADC＝∠B．
（3）在（2）中满足条件的点D共有　4　个．
【分析】（1）根据要求作出图形（答案不唯一）．
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
（3）利用（2）中图形解答即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，点D即为所求作．
（3）满足条件的点D有4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）为了弘扬国学文化，加强文化认同，某中学开展了课外国学读书活动，为了解学生某月份内的国学书籍阅读情况，学校随机抽取部分学生，并对该月内国学书籍阅读次数进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）本次抽取的学生有　50　人，抽取学生读书次数的众数是　5次　，中位数是　5次　；
（2）请你先计算再将图2的统计图补充完整；
（3）若规定读书5次以上（含5次）为“国学学习优秀学员”，则该校七年级900名学生中估计有多少人为“国学学习优秀学员”？
【分析】（1）由7次人数及其所占百分比可得总人数，先求出阅读5次的人数，再根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中阅读5、6、7次人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有6÷12%＝50（名），
∵阅读5次的人数为50﹣（4+10+14+6）＝16，
∴阅读次数的众数为5次，中位数为＝5（次），
故答案为：50、5次，5次；
（2）补全图形如下：
（3）该校七年级900名学生中估计“国学学习优秀学员”的人数为900×＝648（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°．
（1）如图1，求证：△AOB为等边三角形．
（2）如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理解答；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形．
（2）解∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，
∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴BE＝OB，
所以△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答．
25．（10分）某国产手机销售店去年A型手机的销售总额为6万元，今年每个A型手机的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年每个A型手机的售价．
（2）该国产手机销售店计划新进一批A型手机和B型手机共45个，已知 A、B型手机的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型手机的销售价格是2000元，要使这批手机获得的利润超过25000元，则需最多购进A型手机多少个．
【分析】（1）设每个A型手机的售价为x元，则去年每个A型手机的售价为（x+400）元，由“卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%”列出方程，解法长即可；
（2）设今年购进A型手机y个，则购进B型手机（45﹣y）个，由“使这批手机获得的利润超过25000元”列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每个A型手机的售价为x元，则去年每个A型手机的售价为（x+400）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原分式方程的解，且符合题意，
答：每个A型手机的售价为1600元；
（2）设今年购进A型手机y个，则购进B型手机（45﹣y）个，
由题意得：（1600﹣1100）y+（2000﹣1400）（45﹣y）＞25000，
解得：y＜20，
答：需最多购进A型手机19个．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；解题的关键找出正确的数量关系，列出方程和不等式．
26．（10分）已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，∠CDB＝3∠ABD．
（1）如图1，求证：AC＝AB；
（2）如图2，点E是弧AB上一点，连接CE，AF⊥CE于点F，且∠BAF＝∠ACE，求tan∠BCE的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD交⊙O于点H，连接FH，若EF＝2，BC＝8，求线段FH的长．
【分析】（1）连接OC，根据三角形外角定理得∠CAB＝2∠ABD，由圆心角是圆周角的一半得∠COB＝4∠ABD，再用外角定理得∠ACO＝∠ABD，两边加上等腰△OCB的两个相等底角得∠ACB＝∠ABC，即得AC＝AB；
（2）考虑△AGF和△CGB的内角和，根据对顶角相等约去一组相等角，剩下的角根据第（1）问转化成和∠BAF，∠ACE，∠BCE相关的角，最后得到∠BCE＝45°，即tan∠BCE＝1；
（3）过点G作GG1⊥BC于G1；过点B作BB1⊥CG于B1；过点O作OO1⊥AB于O1，连接AH，AE，根据三组相似三角形的边长的比例式，主要求出AF、AB、圆的直径HB、HA的长，以及∠BAE＝45°；接下来设HF与AB交于点K，作AF中点K1，过K1作K1K2垂直AE于点K2，在线段AF上取点K3，使得∠K3KA＝90°，根据角的相等得出正切值相等，得到边的关系，解方程，得出各边长，最后得出FH的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠CDB＝∠DAB+∠ABD，∠CDB＝3∠ABD，
∴∠DAB＝2∠ABD，即∠CAB＝2∠ABD，
∵＝，
∴∠COB＝2∠CAB，
∴∠COB＝4∠ABD，
而∠COB＝∠CDO+∠DCO，
∴4∠ABD＝∠CDB+∠ACO＝3∠ABD+∠ACO，
∴∠ACO＝∠ABD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠ABD+∠OBC＝∠ABC，
∴AC＝AB；
（2）设AB与CE交于G点，如图：
∵∠AGF+∠AFG+∠GAF＝180°＝∠CGB+∠GBC+∠BCG，且∠AGF＝∠CGB，
∴∠AFG+∠GAF＝∠GBC+∠BCG，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG＝90°，
∴90°+∠GAF＝∠GBC+∠BCG，
由（1）知：∠ACB＝∠ABC＝∠GBC，
∴∠GBC＝∠ACE+∠BCE，
∴90°+∠GAF＝∠ACE+∠BCE+∠BCG，
∵∠BAF＝∠ACE，即∠GAF＝∠ACE，
∴90°＝∠BCE+∠BCG，即2∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝45°，
∴tan∠BCE＝tan45°＝1；
（3）过点G作GG1⊥BC于G1；过点B作BB1⊥CG于B1；过点O作OO1⊥AB于O1，连接AH，AE，
设CG1＝x＞0，
在直角△GG1C中，∠G1CG＝∠BCE＝45°，
∴直角△GG1C是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在直角△BB1C中，∠B1CB＝∠BCE＝45°，
∴直角△BB1C是等腰直角三角形，
∴，
∴CB1＝BB1＝8，
∴，
∵∠AFG＝∠BB1G＝90°，且∠AGF＝∠BGB1，
∴△AFG∽△BB1G，
∴，即①，
∵∠AFE＝∠GG1B＝90°，且∠AEC＝∠ABC（所对的弧是劣弧），即∠AEF＝∠GBG1；
∴△AFE∽△GG1B，
∴，即，
∴②，
∵∠AFG＝∠CFA＝90°，且∠BAF＝∠ACE，即∠GAF＝∠ACF；
∴△AFG∽△CFA，
∴，
又，
∴③，
由①变形得，代入到③得，
∴将②代入得，
化简得，
解得或（舍弃，否则∠ABC＝90°，同时∠ACB＝∠ABC，△ABC一个等腰三角形，底角不能是90°），
∴，
∴由②得：，
∴代入①得：，解得GF＝，
在直角△AFG中，根据勾股定理，，
∴代入①后一个等式得，解得GB＝，
∴，
由（1）得：∠CAB＝2∠ABD，∠ACB＝∠ABC，
∴2∠ABD+2∠ACB＝180°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
又∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝∠ACE+45°，
∴∠ABD+∠ACE+45°＝90°，
∴∠ABD+∠ACE＝45°，
∴∠ABD+∠BAF＝45°
∵＝，
∴∠BAE＝∠BCE＝45°，即∠BAF+∠EAF＝45°，
∴∠ABD＝∠EAF，即∠O1BO＝∠EAF，
∴tan∠O1BO＝tan∠EAF，
在直角△AFE中，，
在直角△OO1B中，
∴，
∴OO1＝，
根据垂径定理，可得，
在直角△OO1B中，，
∴，
直角△HAB中，，
设HF与AB交于点K，作AF中点K1，过K1作K1K2垂直AE于点K2，在线段AF上取点K3，使得∠K3KA＝90°，如下图：
∵，
∴直角△K1FE是等腰直角三角形，
∴，
∴∠EK1F＝∠EAK1+∠K1EA＝45°，而45°＝∠KAE＝∠BCE＝∠KAK3+∠EAK1，
∴∠KAK3＝∠K1EA，
∴tan∠KAK3＝tan∠K1EA，
∵△EAK1的面积为AK1 EF＝AE K1K2，即2×2＝AE K1K2，
在直角△AEF中，，
∴K1K2＝＝，
在直角△EK1K2中，EK2＝＝＝，
∴，
在直角△K3KA中，，
设KK3＝t＞0，那么AK＝3t，
∴，
∴FK3＝AF﹣AK3＝4﹣t，
∵∠HAK＝∠K3KA＝90°，
∴AH∥KK3，
∴∠AHF＝∠K3KF，且∠K3FK＝∠AFH，
∴△K3FK∽△AFH，
∴，即，解得，
而，
∴，
∴AK＝3t＝3×＝，
在直角△HAK中，HK＝＝＝5，
∴，解得，
即线段FH的长为．
方法二：过A作AN⊥BC于N，过F作FQ⊥BC于Q，连接HC，AE，如图：
由（2）知∠BCE＝45°，
∴NM＝NC＝NB＝4，设FA＝FM＝x，则AM＝x，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠E，∠ANC＝∠AFE＝90°，
∴△ANC∽△AFE，
∴AN：AF＝NC：FE，即（x+4）：x＝4：2，
解得x＝4，
∴MA＝4，AN＝8，
∴AC＝AB＝＝4，
在Rt△ONB中，（AN﹣r）2+NB2＝r2，
∴（8﹣r）2+（4）2＝r2，解得r＝5，
∴HB＝10，
在Rt△BHC中，CH＝＝6，
在RtAFC中，CF＝12，cos∠HCF＝＝，
∴∠HCF＝45°，可得四边形FQCH是正方形，
∴FH＝CH＝6．
【点评】本题综合考查了外角定理、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、分式方程的解法、勾股定理等知识点；其中45°角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）分别与x轴正半轴、负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，0）．
（1）如图1，连接AC、BC，若∠ACB＝90°，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，抛物线对称轴分别交抛物线、x轴于点D、E，点P是抛物线上任意一点，连接PB交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t（3＜t＜8），DQ长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，连接BD，在BD上取点G，使BG＝AF，连接FG，取FG的中点M，连接ME、PM，当∠PME＝135°+∠BDE时，求d值．
【分析】（1）由∠ACB＝∠AOC＝90°，所以∠BCO+∠ACO＝∠ACO+∠CAB，则∠BCO＝∠CAB，由抛物线解析式可以求得C点坐标，进而得到∠BCO的正切值，从而得到∠CAB的正切值，求出A点坐标，将A，B两点坐标代入到抛物线解析式中，得到关于a和b的二元一次方程组，即可求解；
（2）求出BP的函数关系式，求出QE和DE的长，进而表示出d；
（3）在AB的延长线截取BH＝BG，得出E是HF的中点，进而推出K是BF的中点，然后得出PK∥BD，最后得出P是DF的中点．
【解答】解：（1）如图1，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵B（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴tan∠BCO＝＝，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝∠ACO+∠CAB＝90°，
∴∠BCO＝∠CAB，
∴tan∠CAB＝＝，
∴OA＝2OC＝4，
∴A（8，0），
将A，B两点坐标代入到二次函数解析式中得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝；
（2）如图2，
∵＝，
∴D（3，），对称轴为直线x＝3，
设P（t，），直线BP为y＝k（2x+2），
代入点P的坐标得，
k（t+2）＝，
∵3＜t＜8，
∴k＝，
∴直线BP为：y＝，
令x＝3，则y＝，
∴Q（3，），
∴DQ＝＝，
∴d＝；
（3）如图3，
设∠BDE＝α，
∴∠DBE＝90°﹣α，
在AB的延长线截取BH＝BG，连接GH，
∴∠GHB＝∠HGB，
∵∠GBH+∠HGB＝∠DBE，
∴∠GHB＝∠DHB＝（90°﹣α）＝45°﹣，
∵AF＝BG，
∴BH＝AF，
又∵AE＝BE，
∴HE＝EF，
∵M是GF的中点，
∴EM∥GH，
∴∠MEK＝∠GHB＝45°﹣，
∵∠PME＝135°+∠BDE＝135°+，
∴∠MKE＝∠PME﹣∠MEK＝（135°+）﹣（45°﹣）＝90°+α，
∴∠PKA＝180°﹣∠MKE＝90°﹣α＝∠DBE，
∴PK∥BD，
又∵M是GF的中点，
∴K是BF的中点，P是DF的中点，
过P点作PI⊥AB，
∴PI∥DE，
∴PI＝＝，
当y＝时，
＝，
∴x1＝，x2＝（舍去），
即：t＝，
∴d＝＝﹣
＝．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质等综合知识运用，难度很大，解决问题的关键是构造辅助线，发现特殊性．
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