沪教版（2020）必修第二册期末测试（Word含答案解析）

沪教版（2020） 必修第二册 期末测试
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且，则向量在方向上的投影为(　　)
A． B． C． D．
3．已知x，，i为虚数单位，且，则　　
A．2 B． C． D．2i
4．已知为单位圆上的两个动点，且满足，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
二、填空题
5．已知向量满足，且，则向量的夹角是_________.
6．若复数，（为虚数单位，）是纯虚数，则_______.
7．已知，，则_______，________，_______，______.
8．在平行四边形中，，且，则________.
9．在中,内角,记,则的取值范围为______.
10．设向量满足,则 __________.
11．已知复数，则________．
12．在中，若，，成等差数列，且三个内角，，也成等差数列，则的形状为____．
13．函数y＝4tan的最小正周期为________．
14．已知 是单位向量，且，若平面向量满足，则___________.
15．设，，则的最小正周期为______
16．函数在区间上的单调递减区间是___________.
三、解答题
17．如图，已知直线，
（1）向量，，求在上的投影的数量；
（2）向量，，求在上的投影的数量．
18．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足.
（1）求A；
（2）若，求的取值范围.
19．已知复数，．
（1）求；
（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数．
20．已知在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
21．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算化简，转化为复数的三角形式，即可求解.
【详解】
因为，
所以，
化为三角形式可得：，
所以，
故选：C
2．A
【解析】
【详解】
分析：先根据平算出面与的数量积，根据向量数量积与投影的定义，可得结果.
详解：因为向量满足，且，可得，从而可得，所以向量在方向上的投影为，故选A.
点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
3．B
【解析】
【分析】
根据对应关系求出x，y的值，结合复数的运算求出代数式的值即可．
【详解】
由，
得：，
所以，，
所以，
故选B．
【点睛】
本题考查了复数的运算，考查对应思想，是一道常规题．复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
4．A
【解析】
【分析】
根据条件可知，即可求出最大值.
【详解】
由可知，为等边三角形，则，
由，，
得，
，又，则，
因此当与同向时，等号成立，此时的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量模的大小关系，属于中档题.
5．
【解析】
利用公式求出两向量夹角的余弦值即可求得两向量夹角.
【详解】
由题意可得，
又，则向量的夹角是.
故答案为：
6．-1
【解析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
【详解】
解：复数是纯虚数，
，解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.
7．
【解析】
【分析】
由向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
解：因为，，
所以，
，
，
，
故答案为：(1) (2) (3) (4) .
【点睛】
本题考查了向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标运算，属基础题.
8．
【解析】
【分析】
根据题意可得，利用向量加法运算的三角形法则以及数乘运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
则，
所以.
故答案为：
9．
【解析】
【分析】
根据三角形的性质可由内角,得到三内角所对边的大小关系,结合正弦定理、已知新定义、分类讨论求出的取值范围.
【详解】
因为内角,所以有,因此有,由正弦定理可知：
.
若时, ,由三角形三边关系可得：
；
若时, ,由三角形三边关系可得：
,
综上所述：
故答案为
【点睛】
本题考查了新定义题,考查了正弦定理、三角形三边关系,考查了分类思想,考查了数学运算能力.
10．
【解析】
【详解】
∵，∴，又，
∴，∴.故答案为.
11．
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．
【详解】
由题意得，
所以．
故答案为：．
12．等边三角形
【解析】
【详解】
分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60°，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案．
详解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得
lgsinA+lgsinC=2lgsinB，
即sin2B=sinAsinB①
又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．
代入①得sinAsinB=②
假设A=60°-α，B=60°+α．
代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=．
展开得，cos2α sin2α＝．
即cos2α=1．
所以α=0°．
所以A=B=C=60°．
故答案为等边三角形．
点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．
13．
【解析】
【分析】
根据，直接计算可得结果.
【详解】
由题可知：T＝.
故答案为：
【点睛】
本题考查正切型函数的最小正周期，识记公式，属基础题.
14．
【解析】
【分析】
根据向量数量积运算法则，求得向量夹角，从而根据向量与的关系，求得模长.
【详解】
∵，∴，
∵是单位向量，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
如图所示，等腰三角形AOB，当时，OP是的角平分线，
故
又∵，.
故答案为：1
15．
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标运算求得的解析式，再利用辅助角公式化简，从而利用周期公式求得答案.
【详解】
∵，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算、三角函数的周期，考查运算求解能力，求解时注意辅助角公式的运用.
16．
【解析】
【分析】
根据题意求出函数在R上的单调区间，进而与求交集即可得到答案.
【详解】
令，解得，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【解析】
根据向量数量积的几何意义，直接计算，即可得出这两问的结果.
【详解】
由向量数量积的几何意义可得：
（1）；
（2）．
【点睛】
本题主要向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于基础题型.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.
（2）根据正弦定理得到，，故，根据角度范围得到答案.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得（*），
在中，，
代入（*）式化简得，因为，所以，
又，所以.
（2）由正弦定理得，所以，.
又，
故.
在中，，，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）先根据复数的运算法则求出，再根据复数模的计算公式即可求出；
（2）设，根据题意可得，，即可解出．
【详解】
（1）因为，所以．
（2）设，因为，所以，
由复数，所以复数的虚部为4，
又因为复数的实部为复数的虚部，所以，
又由，解得，所以或．
20．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由，利用正弦定理可得，整理再利用余弦定理即可得出．（2）由，，利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】
（1）因为，
所以由正弦定理得，
整理得，
所以.
因为，所以.
（2）因为，，，
所以由余弦定理，
得，
解得或（舍）.
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；
（2）把，作为基底，表示出 ，利用求出 .
【详解】
解：由题意得，，所以，
（1）因为，，
所以
.
（2）由（1）知，而
而
因为与不共线，由平面向量基本定理得
解得
所以，即为所求.
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
答案第1页，共2页
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