沪教版（2020）必修第一册期末测试（Word含答案解析）

沪教版（2020） 必修第一册 期末测试
一、单选题
1．已知集合M＝{x|log2（x﹣1）2＜4}，N＝{x|x2+4x+3≤0}，则M∪N＝（　　）
A．{x|﹣3＜x≤﹣1} B．{x|﹣3≤x＜5}
C．{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5} D．{x|﹣3≤x≤5}
2．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、双空题
5．根据事实：，，，，，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为___________，该命题的否定为___________.
三、填空题
6．设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是____________.
7．若幂函数的图像过点，则______.
8．函数f(x)=-2ax+3在区间[-1，1]上最小值记为g(a)．则g(a)的最大值为_________
9．已知函数在上为增函数，则的取值范围为 ______
10．若函数的定义域为，则函数的值域为__________.
11．“x=3”是“x2=9”的_____________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
12．已知函数，则___________．
13．若不等式的解集是，则_________
14．已知函数f（x）=log2（x+），则f[ln（lg2）]+f[ln（log210）]=______．
15．已知一次函数，且，则__________．
16．若幂函数y＝（k﹣2）xm﹣1（k，m∈R）的图象过点），则k+m＝____．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，，，，，，是棱中点且.
（1）求证：平面；
（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.
18．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：．
(1)如果，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
19．求下列函数的定义域：
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝(x－1)0＋.
20．已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明：函数是上的增函数；
（3）若对一切实数满足，求实数的范围.
21．求下列方程组的解集：
（1）；（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质化简集合M，再求解一元二次不等式化简集合N，最后计算并集即可.
【详解】
∵log2（x﹣1）2＜4，根据对数函数的性质可计算得：
（x﹣1）2＜16，且x﹣1≠0，
解得：﹣3＜x＜5且x≠1，
根据题意，
∴，选项C正确，选项ABD错误
故选：C．
2．C
【解析】
【分析】
解不等式，可得集合，根据，可得，进而分和两种情况，分别建立不等关系，进而可求出实数的取值范围.
【详解】
由题意，集合，
∵，∴.
①若，则，即；
②若，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
先求出导函数，再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围.
【详解】
由题意知，，
当时，函数在区间上单调递减，无极值点；
当时，根据与的图象，
设两个函数在第一象限的交点的横坐标为，
当时，，，
函数在区间上单调递增，
当时，，，
函数在区间上单调递减，
故当时，函数有一个极大值点.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题.
4．C
【解析】
由条件，可得，利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的正误，得出答案.
【详解】
因为，所以.
因此，且，且②、③不正确.
所以，所以①正确，
由得 均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.
故选：C.
5． ， ，
【解析】
【分析】
根据题中事实可归纳得，，再根据全称命题的否定为特称命题，即可解出．
【详解】
由归纳推理得，，，
命题的否定为：，，
故答案为：，；，.
6．
【解析】
【详解】
分析：由，通过分离参数思想原题等价于在上恒成立，求出右端在上的最小值，由小于等于该最小值求得实数的取值范围.
详解：由题意对任意，恒成立，
即恒成立，
∴在上恒成立．
∵，
∴当时，取得最小值0，
∴，解得：或，故答案为
点睛：本题考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，将问题通过分离参数转化为求最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题.
7．
【解析】
【分析】
设幂函数,把点的坐标代入求得的值,可得函数的解析式,
【详解】
设幂函数的图象经过点,
,
故答案为
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义,用待定系数法求函数的解析式,属于基础题.
8．3
【解析】
【分析】
通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的表达式，结合的表达式，求出的最大值即可．
【详解】
解：①当时，函数的对称轴，则（a）；
②当时，函数的对称轴，，则（a）；
③当时，函数的对称轴，则（a）（1）．
综上所述，（a）；
当时，（a）；
当时，（a），；
当时，（a）．
所以g(a)的最大值为3．
故答案为：3.
9．
【解析】
【分析】
根据分段函数单调性得各段为增函数且结合点处也单调递增，列不等式，解得结果.
【详解】
令,则
因为在上为增函数，
所以，
令，
则
因为，所以在上单调递增，
因为
所以存在唯一，
因此当时，，
当时，，
当时，，
因此当时，恒成立，即
因为，所以
10．
【解析】
【分析】
先计算函数的定义域A，再利用换元法取化简为二次函数得到值域.
【详解】
由，得，，
∴，∴.
令，则，
∴当时，；当时，.
故答案为
【点睛】
本题考查了函数的定义域和值域，属于常考题型.
11．充分不必要
【解析】
【分析】
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】
若x=3，则x2=9，所以“x=3”是“x2=9”的充分条件；
若x2=9，则，不能推出x=3，所以“x=3”不是“x2=9”的必要条件；
所以“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
12．；
【解析】
先算出，然后即可求出
【详解】
因为
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查的是分段函数的知识，较简单.
13．5
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用韦达定理建立关系式．
【详解】
由题意，若，则不合题意，∴，
∴．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解集一元二次方程的解的关系．属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
由题意结合真数的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
设m=ln（lg2），则ln（log210）=-m，
f（m）+f（-m）=log28=3．
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．1
【解析】
【详解】
一次函数，
所以，得.
解得.
所以.
故答案为1.
点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
16．2
【解析】
【分析】
根据幂函数定义求得，再由函数图象所过点坐标求得，然后可得结论．
【详解】
解：函数为幂函数，则k﹣2＝1，得k＝3，
则幂函数为y＝f（x）＝xm﹣1，
∵函数过点，
∴，得1﹣m＝2，
得m＝1﹣2＝﹣1，
则k+m＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查求幂函数的解析式，掌握幂函数的定义是解题关键．
17．(1)证明见解析.
(2).
【解析】
【详解】
分析：（1）取中点，连接，，可得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，将问题转化为数的运算的问题，并结合函数的有关知识得到线面角最大时的的值．
详解：（1）如图，取中点，连接，，
因为为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为为的中点，设，
在中，，设，则，
所以，
由余弦定理得，
即，
解得，
则，
所以，
所以．
又，且，
所以平面，且．
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为点是线段上一点，可设，
故，
所以．
又面的法向量为，
设与平面所成角为，
则
，
所以当时，即时，取得最大值.
所以与平面所称的角最大时.
点睛：空间向量的引入为空间角的求法提供了简捷的方法，只需借助于向量的运算便可得到所求的角．但解题时也需注意向量的夹角与空间角的关系，以及空间角的取值范围，这是在解题中比较容易忽视的问题，因此在求得向量的夹角后还得要根据题意再转化成所求的角．
18．（1）1分钟（2）不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
【解析】
【分析】
(1)通过换元得到二次方程，从而解出x值；(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即恒成立亦恒成立，变量分离，转化为函数最值即可.
【详解】
(1)若，则，
当时，，令，则，
即，解得或 (舍去)，
此时.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即恒成立，
亦恒成立，亦即恒成立．
令，则，所以，
由于，所以.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
【点睛】
这个题目考查了利用函数模型解决实际问题的应用；这类题目首先要仔细读题，审清楚题意，注意选择合适的函数模型，将实际问题转化为数学问题来解决.
19．（1）{x|x≠2}；（2）{x| }.（3）{x|x>－1，且x≠1}.
【解析】
【分析】
（1）根据分母不为0，列式可求出；
（2）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式可求出；
（3）根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0，列式可得出.
【详解】
（1）当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
（2）函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x| }.
（3）函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
【点睛】
本题考查具体函数的定义域，常见求定义域的情况有：分母不为0、底数不为0、二次根式的被开方数大于等于0，注意定义域一定要写成集合或者区间的形式.
20．（1）2；（2）见解析；（3）.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据奇函数是定义在R上的函数，利用可求出m的值．
（2）根据定义证明函数单调性的步骤，一设二差三符号四结论证明即可．
（3）根据奇函数的定义和函数单调递增的性质，可化简分离参数式得，根据函数恒成立问题，所以依据三角函数取值有范围的性质，求出实数的范围．
详解：（1）因为函数是奇函数，且在处有意义，所以
，即，解得；
（2）任取，且，
则 ，
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数；
（3）因为对一切实数满足：，
所以有，
即对一切恒成立.
因为，
所以，即.
点睛：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其综合应用，恒成立问题和分离参数法通常结合起来应用，对综合能力要求较高，属于中档题．
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）将原方程组变形为，利用加减消元法可求出原方程组的解集；
（2）将原方程组变形为，利用加减消元法可求出原方程组的解集.
【详解】
（1）将原方程组化简整理，得，
②①，得，将代入②，得，
所以原方程组的解集为；
（2）将原方程组化简整理，得，
①②，得，解得，将代入①，得.
所以原方程组的解集为.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，常用代入消元法和加减消元法求解，考查运算求解能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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