沪教版（2020）必修第一册期中测试卷（Word含答案解析）

沪教版（2020） 必修第一册 期中测试卷
一、单选题
1．已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确命题的个数是
①“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③若“”为假命题，则，均为假命题；
④若命题：，，则：，．A． B． C． D．
3．在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知，且，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知，，则________.（结果用a，b表示）
6．已知数列{an}满足：a1＝，an+1＝an+n（n∈N*），则当n∈N*时，的最小值为_____．
7．下列说法中
①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
其中正确的个数是________.
8．设，，，，则x，y的大小关系为________.
9．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是____________.
10．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．
11．已知集合全集则__________．
12．设集合，与是的两个子集，若，则称为集合的一个分拆，当且仅当时，与是同一个分拆，那么集合的不同的分拆有______个.
13．设，且，则的值为_______.
14．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________
15．若函数的值域为，则其定义域为_________．
16．设集合，且，则实数_______.
三、解答题
17．已知关于的不等式：
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
18．已知集合．
(1)当时，求；
(2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．
问题：是否存在正实数，使得“”是“”的________？
19．设函数的图象过点．
(1)若，，求的最小值；
(2)解关于x的不等式．
20．集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范围．
21．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为万元,年维修费第一年为万元,以后逐年递增万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少 　
22．已知点、、、（），都在函数（，）的图像上；
（1）若数列是等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）设，函数的反函数为，若函数与函数的图像有公共点，求证：在直线上；
（3）设，（），过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，问：数列是否存在最大项？若存在，求出最大项的值，若不存在，请说明理由；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由于为奇函数，整理可得，
，即得解
【详解】
由题意可得：
，
则，
令，定义域为
故是奇函数.
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
由四种命题之间的转化、复合命题的真假判断和充要条件的推导求解.
【详解】
①正确；
由解得且，“”是“”的必要不充分条件，故②正确；
③若“”为假命题，则，至少有一个为假命题，故③错误；
④正确．故选C．
【点睛】
本题考查四种命题、复合命题和充要条件，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件结合直角三角形的性质判定即可.
【详解】
在△ABC中，若AB2+BC2=AC2，
则，
即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出，
所以AB2+BC2=AC2不一定成立，
综上，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件，
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质,逐一判断,即可求得答案.
【详解】
对于A,没有给出,因此不一定成立,故A错误;
对于B,没有给出,因此不一定成立,故B错误;
对于C,若,则．
,当且仅当时取等号;
同理时也成立,故C正确;
对于D,因为,则不一定成立,故D错误.
综上可知:只有C正确．
故选: C．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质,掌握基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
5．
【解析】
直接根据对数的运算及性质计算可得.
【详解】
解：，
，
，，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查对数的运算及性质的应用，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据递推关系式，利用叠加法求出数列的通项公式，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由an+1＝an+n（n∈N*），
可得，
，
，
将式子相加可得，
由a1＝，可得，
所以，
当且仅当时，取等号.
故答案为：
【点睛】
本题考查了叠加法求数列的通项公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
7．2
【解析】
【详解】
由数集性质知①③错误，②④正确. 正确的个数是2
8．
【解析】
根据，得到，从而得到，所以得到，再根据对数函数的单调性，得到答案.
【详解】
由正弦函数、余弦函数的图像可知，当时，
余弦函数的图像在正弦函数图像的上方.
结合三角函数线易知，
故当时，.
因为，所以
所以，
所以
又因为单调递减，
所以
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查通过三角函数线判断大小，对数的运算公式，根据对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
9．
【解析】
【分析】
设原不等式的解集为，首先验证与题意不符；
当时，原不等式化为，再结合可求得，要满足题意则需，据此可求得的取值范围；再求得当时的，然后验证是否满足题意，即可完成解答.
【详解】
设不等式的解集为，
当时，不等式化为，存在整数使不等式成立，所以此时不满足题意，所以；
当时，原不等式化为，
因为,当且仅当即时取等号，
所以，
要使命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则需，
解得；
当时，原不等式化为，
而，当且仅当即时取等号，
所以,所以存在整数使不等式成立，所以不合题意.
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，关键在于对讨论得出一元二次不等式的解的情况，再建立满足题意关于的不等式，属于中档题.
10．
【解析】
【分析】
由A∩B有4个子集得A∩B中有2个不同的元素，又，故，进而得到关于的不等式，解不等式可得所求的范围．
【详解】
由题意得．
所以．
因为A∩B有4个子集，
所以A∩B中有2个不同的元素，
所以，
所以，
解得且．
故实数a的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
由的子集的个数得到集合中元素的个数是解题的关键；另一关键是由题意得到，并由此得到关于的不等式．考查阅读理解和转化能力，属于基础题．
11．
【解析】
【详解】
由题意可得：，
则：.
12．9
【解析】
【分析】
先写出集合的子集，再根据并集运算及所给定义列举出所有的分拆即可.
【详解】
集合，则其子集为，，，.
由定义可知，其所有分拆为，
，，，，，.
所以集合的不同的分拆有9个.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了集合的子集，集合中新定义的应用，属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
,可以根据指对互化，求出再代入到中，我们就能得到一个关于的方程，这样就能求出的值.
【详解】
由条件可知：，
，所以.
故填写：
【点睛】
,可以根据指对互化，再代入到得到关于的方程，最后还需要用到对数运算中的换底公式.
14．
【解析】
【分析】
分离参数，把不等式变形为，只需小于等于的最小值即可.
【详解】
由，，
则，
而，当且仅当取等号，
且，等号当且仅当时成立；
所以，等号当且仅当时成立；
故
故答案为：
【点睛】
本题考查了不等式在某个区间内恒成立求参数的取值范围，求解时可采用分离参数法，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，注意应用时验证等号成立的条件，此题属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
根据题意得到分式不等式，然后分类讨论，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
因为函数的值域为，
所以，化简得：，
当时，即当时，不等式成立；
当时，即当时，
由，
综上所述：函数的定义域为：.
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知函数的值域求定义域，考查了分式不等式的解法，考查了转化思想和数学运算能力.
16．－4
【解析】
【分析】
－5∈A，则－5是方程的根，代入方程即可解得a的值﹒
【详解】
∵集合，
解得：，
故答案为：－4
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可知和1是方程的两个实数根，利用韦达定理即可求解；
（2）可知成立，时，利用判别式进行求解.
【详解】
（1）因为关于的不等式：的解集为，
所以和1是方程的两个实数根，
由韦达定理可得:，得．
（2）因为关于的不等式的解集为．
当时，-3<0恒成立.
当时，由，解得：
故的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，
（2）若选择①，则从而可求出的范围，若选择②，则时，不成立，从而可得结果
(1)
由，得，解得，
所以，
当时，，
由，得，解得，
所以，
所以．
(2)
当时，，
选择①充分条件，则有，则解得，
在正实数，使得“是“”的充分条件，
的取值范伟为．
选择②必要条件，则有，
时，不成立，
所以不存在正实数，使得“”是“”的必要条件．
19．(1)9
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由的图象过点，可得，则，化简后利用基本不等可求得答案，
（2）由题意将不等式化简为，然后分，和三种情况求解即可
(1)
函数，由，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，因为，，，
解得，时等号成立，此时取得最小值9．
(2)
由，得，即，即．
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
20．（1）或，或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出集合A、B，再根据集合的交并补运算即可求解；
（2）分和两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.
【详解】
解：（1）因为，
或，
或，
所以或，或；
（2）当时，显然，此时，即；
当时，由题意有或，解得，
综上，.
21．这种汽车使用年时,它的年平均费用最小
【解析】
【详解】
设这种汽车使用年时,它的年平均费用为万元，
则，
于是，
当，即时，取得最小值，
所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）结合指数函数性质，根据等比数列定义进行论证；
（2）先求反函数，再利用反证法证明结论；
（3）先根据点斜式得直线方程，再根据截距以及三角形面积公式求出，再利用数列单调性确定其最大值.
【详解】
（1）设数列公差为
因为在函数上，所以
因此数列是等比数列；
（2）
假设不在直线上，所以
，即M不在上，与为函数与函数的图像有公共点矛盾，所以在直线上；
（3）因为，，所以、
令得，令得，
所以为单调递减数列，其最大项为
【点睛】
本题考查证明等比数列、数列单调性以及反函数性质，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
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