人教A版（2019）选修第二册第四章数列第二节课时1等差数列的概念（word版含解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第四章 第二节 课时1 等差数列的概念
一、单选题
1．在等差数列中，，，则
A． B． C． D．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－2(a为常数且a≠0)，则数列{an}(　　)
A．是等比数列
B．当a≠1时是等比数列
C．从第二项起成等比数列
D．从第二项起成等比数列或等差数列
3．在数列中，，，则
A．38 B． C．18 D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．
C．“，”是“”的充分不必要条件
D．设为向量，则“”是“”的必要不充分条件
5．在等差数列中，，，则＝
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若，则an与an+1的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
7．设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则＝（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8．在等差数列中，，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
9．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比是（ ）
A． B． C．或 D．
10．在中，角的对边分别是且成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设为等差数列的前项和，，，则
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
12．等差数列中，首项，公差，如果，则序号等于
A． B．
C． D．
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，改编书中一道题目如下：把60个大小相同的面包分给5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份的面包个数为
A．16 B．18 C．19 D．20
二、多选题
14．设是无穷数列，，则下面给出的四个判断中，正确的有( )
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等差数列，则是等差数列
C．若是等比数列，则是等比数列
D．若是等差数列，则，都是等差数列
三、双空题
15．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．
四、填空题
16．已知数列的各项均为正数,且对任意有成立.设,则使得成等差数列的所有正整数组_______________.
17．已知数列满足 ，则数列的通项公式_______．
18．等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
19．在等差数列中，首项，公差,若，则__________．
20．写出一个公差不为零，且满足的等差数列的通项公式___________.
21．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率e等于___________；
22．已知等差数列中，，，则的值是______.
五、解答题
23．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若（）成等比数列，求的最小值．
24．等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值.
25．已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ，若数列{cn}满足cn＝anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值.
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.
①3Sn＋bn＝4；②bn＝bn－1＋2(n≥2)；③5bn＝－bn－1(n≥2).
26．已知数列的首项，其前n项和为满足.
（1）数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和表达式.
27．在数列中，，当时，满足．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使得对所有都成立的实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【详解】
因为，故即，有，故，所以，选D.
2．D
【解析】
【详解】
由数列的前的和，
可得当，得； 当，得，
所以数列的通项公式为，
当时等比数列，
当时，是等差数列，故选D．
3．B
【解析】
【详解】
由题，数列中，，即该数列为等差数列， 则
4．C
【解析】
【分析】
根据相关知识，对各选项逐个判断即可得出．
【详解】
对A，根据指数函数的值域可知，恒成立，所以A错误；
对B，取，可知B错误；
对C， “，”“”，但“”“，”，所以C正确；
对D， “”是“”的充要条件，所以D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查特称命题和全称命题的真假判断，以及充分条件，必要条件的判断，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.
【详解】
由题意知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.
6．B
【解析】
【详解】
因为数列的通项公式是（n∈N*），显然当n增大时 的值也随之增大，故数列是递增数列，故有an＜an+1．
考点：数列的分类．
7．B
【解析】
由，可得，．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出．
【详解】
，，．
是等差数列，首项为4，公差为2．
．
时，
．
．
当时，．
.
故选：B．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质化简计算即得结果.
【详解】
等差数列中，，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合等比中项公式，得到，利用等差数列的通项公式，求得，进而利用，即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
因为等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，
可得，即，解得，
所以，
所以等比数列的公比为，所以.
故选：C.
10．B
【解析】
首先利用成等差数列，求得角，再利用余弦定理，以及基本不等式求得的取值范围.
【详解】
在中，由成等差数列，
可得
由
得
由余弦定理
可得
即
则
解得
又
的取值范围是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理后得到，利用基本不等式，转化为不等式求解，易错点是不要忽略这个条件.
11．A
【解析】
【详解】
由已知得
解得．
故选A．
考点：等差数列的通项公式和前项和公式．
12．C
【解析】
【详解】
，选C.
13．A
【解析】
【分析】
由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．
【详解】
由题意可得递增的等差数列共5项，设公差为，
由题意可得总和.又，
∴，联立解得，，
∴最多的一份为.
故选A．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题．
14．AD
【解析】
【分析】
对于ABD：利用等差数列的定义即可求解；对于选项C：分别讨论公比是否为并结合等比数列的定义即可求解.
【详解】
对于选项A：若是等差数列，设公差为d，
则，
则，
所以是等差数列，故A正确.
对于选项BD：若是等差数列，设公差为d，，
即数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B错误，D正确.
对于选项C：若是等比数列，设公比为q，
当时，则；
当时，则，故不一定是等比数列，故C错误.
故选：AD.
15． 52
【解析】
【分析】
设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
则,
解得,即每天增加的数量为，
，故答案为，52.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
16．
【解析】
由推出，进而整理得到，即可求出，进而明确，假设存在正整数，运用等差数列的中项性质讨论，结合数列的单调性即可得到所求值.
【详解】
解:由当时, ，数列的各项均为正数，.
设的前项和为，则 ,.
当且时， ，
，,，
两式相减得，
即， 因为数列的各项均为正数，所以.
，是以1为首项,1为公差的等差数列，，则.
假设存在正整数使得成等差数列，
则即，故.
因为，所以从第二项开始单调递减.
当时，一定有，否则若，则
即矛盾，所以，此时.
令，则，所以.
综上所述: 或
故答案为:
【点睛】
本题考查了数列通项公式的求解,等差中项,数列的性质.对于已知与 的关系式,求通项公式,一般采用 .本题的易错点是忽略了 的前提条件是.本题难点在于求出的通项公式后,利用数列的增加性求值.
17．
【解析】
【分析】
先对式子进行变形得到可知为等差数列，从而可得通项公式.
【详解】
因为，所以
所以是以1为首项和公差的等差数列，
所以，故.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，通过构造等差数列求解数列的通项公式，如何构造等差数列是求解这类问题的关键，一般是根据递推关系式的特点，结合等差数列的定义形式来进行构造，侧重考查转化与化归的数学思想.
18．
【解析】
【分析】
证明得出，结合等差中项的基本性质可求得结果.
【详解】
因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，.
故答案为：.
19．29
【解析】
【详解】
∵等差数列的首项，公差，，
∴
∴
故答案为
20．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题可得，不妨令，即得.
【详解】
设等差数列的为d,则
，
不妨令，则，
此时等差数列的通项公式.
故答案为：.
21．
【解析】
【详解】
试题分析：因为两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，所以，又所以，即，因此双曲线 的离心率e等于
考点：等差中项及等比中项的概念
22．15
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，由，再由，解方程组，求得和公差的值，从而计算的值，即可.
【详解】
设等差数列的公差为，由可得，即.
再由，可得，.
故.
故答案为：15
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差的值，是解题的关键，属于容易题.
23．（Ⅰ）,（Ⅱ）6．
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求等差数列的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为，则可得方程组解得，，所以，（Ⅱ）因为成等比数列，可得等量关系，可看做二次函数，根据对称轴及正整数限制条件可得当时，有最小值6．
试题解析：（Ⅰ）解：设公差为，
由题意，得 4分
解得，， 5分
所以， 6分
． 7分
（Ⅱ）解：因为成等比数列，
所以， 9分
即， 10分
化简，得， 11分
考察函数，知在上单调递增，
又因为，，，
所以当时，有最小值6． 13分
考点：等差数列的通项及和项
24．（1）；（2）1022.
【解析】
【分析】
（1）首先根据方程组得到，再求通项公式即可.
（2）首先根据（1）得到，再利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由已知得：，
解得：，
所以；
（2）由（1）知：，
所以
.
25．（1）an＝3n-1；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的通项公式和等差中项列方程组解得首项和公比，可得数列{an}的通项公式；
（2）选择①时，构造方程3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)，利用两式相减法求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择②时，根据等差数列的定义求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择③时，根据等比数列的定义求出，再求出，，讨论的奇偶可解得结果.
【详解】
（1）设数列{an}的公比为q，
则由前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列，
得所以
所以，即3q2－10q＋3＝0，解得或
又因为{an}是递增的等比数列，所以q>1，所以q＝3，所以，
所以an＝3n-1.
（2）选择①
因为3Sn＋bn＝4，所以3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)，
两式相减得3(Sn－Sn-1)＋(bn－bn-1)＝0，即4bn－bn-1＝0(n≥2)，
所以(n≥2)，
所以数列{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，
故，
因此，
因为恒成立，即c1>0，c2>0，c3>0，…，
所以(Tn)min＝T1＝c1＝1.
选择②
由bn＝bn-1＋2(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以，
因为cn＝(2n－1)·3n－1>0，即c1>0，c2>0，c3>0，…，
所以(Tn)min＝T1＝c1＝1.
选择③
由5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，所以，
当n为奇数时，由于，故；
当n为偶数时，由于，故，
由在n为偶数时单调递增，
所以当n＝2时，，
综上所述：Tn的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问，选择③时，求出后，讨论的奇偶是解题关键.
26．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列性质,由可知为等差数列,结合首项与公差即可求得的表达式,由即可求得数列的通项公式;
（2）代入数列的通项公式可得数列的通项公式.结合错位相减法,即可求得数列的前n项和.
【详解】
（1）由,可知是等差数列,其公差
又,得,知首项为,
得,即
当时,有
当,也满足此通项,故；
（2）由（1）可知,
所以
可得
由两式相减得
整理得.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法,的应用,错位相减法求数列的前n项和,属于中档题.
27．（Ⅰ）；（Ⅱ）满足题意的实数的取值范围为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求证：数列是等差数列，只需证明等于一个与无关的常数，由已知，，只需将式子整理得，，两边同除以即可，求数列的通项公式，因为数列是以为首项，为公差的等差数列，可写出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）求使得对所有都成立的实数的取值范围，将式子整理为，只需求出的最大值，须求出的解析式，首先求出数列的通项公式，由，可用拆项相消法求得的解析式，进而可得实数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ），两边同除以得，即数列是等差数列，首项，公差；
（Ⅱ）
由题意即对于所有都成立，
设 即函数在上是减函数，在上是增函数，故数列从第二项起递减，而，满足题意的实数的取值范围为.
考点：等差数列的判断，求数列的通项公式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页