人教A版（2019）选修第二册第四章第一节数列的概念同步练习(word版含解析)

人教A版（2019） 选修第二册 第四章 第一节 数列的概念 同步练习
一、单选题
1．等差数列的通项公式为，有如下四个结论：数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列．其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A．1，2，3，…，20
B．-1，-2，-3，…，-n，…
C．1，2，3，2，5，6，…
D．-1，0，1，2，…，100，…
3．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列{an}满足a1＝0, an＋1＝（n＝1, 2, 3, …）, 则a2008等于
A．0 B． C． D．
5．有下列一列数：1，2，4，（ ），16，32，按照规律，括号中的数应为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
6．数列中，，，则．A． B． C． D．
7．已知数列对任意的满足，且，那么等于
A． B． C． D．
8．数列满足，且．记数列的前n项和为，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，1与数列1，0，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关
二、多选题
10．已知数列，则前六项适合的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
11．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，若a4＝4，则m所有可能的取值为（ ）
A．4 B．5
C．21 D．32
12．（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．3 D．8
13．(多选题)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则（ ）
A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C．当0D．当a<2时，{an}为递增数列
14．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（ ）
A．一定是直角三角形 B．为递增数列
C．有最大值 D．有最小值
三、双空题
15．数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称的值为数列的一个谷值．
①若，则的谷值为__________；
②若，且数列不存在谷值，则实数的取值范围是__________．
16．已知数列的各项均不相同，，，(，)，则正整数的最小值是___________，最大值是___________.
四、填空题
17．数列满足，若该数列中有且仅有三项满足，则实数的取值范围是_________．
18．若等差数列的前n项和为，则数列的公差____
19．若数列满足，且对于任意的都有，则__________．
20．已知，若对不小于4的自然数，恒有不等式成立，则实数的取值范围是__________．
21．已知数列{}满足，若数列{}单调递增，数列{}单调递减，数列{}的通项公式为____.
22．设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：
①若即是等差数列，又是等比数列，则
②若，则是等差数列；
③若，则是等比数列
这些命题中，真命题的序号是_____________.
23．数列的前项和为，且满足，，且，则________.
24．已知数列满足：，，．某同学已经证明了数列和数列都是等比数列，则此数列的通项公式是______．
五、解答题
25．已知数列的前n项和，数列的前n项和．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，证明：当且仅当时，．
26．设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求数列的通项公式.
27．根据下列条件，求角：
（1）已知；
（2）已知，是第三象限角．
28．设数列的前项和为，已知．
（1）求，的值；
（2）求证：数列是等比数列．
29．已知函数，数列的前项和为，且满足．
（1）求的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
30．设数列的前n项和为．已知．
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足， 的前n项和．
①求；
②若对于恒成立，求与的范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质可判断；根据二次函数的性质可判断，；根据反比例类型函数的性质可判断.
【详解】
∵，由一次函数的单调性可知数列是递增数列，即正确；
，由二次函数的单调性可得，其先减后增，即错误；
，反比例类型函数的单调性可得是递增数列，即正确；
，由二次函数的单调性可得，其先减后增，即错误，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查通过数列的函数特征判断数列的单调性，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
直接判断数列的单调性和是否无穷即可.
【详解】
由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.
答案：D
3．A
【解析】
【分析】
根据递推公式可得数列为等比数列,再求即可.
【详解】
因为,故,故数列是以为首项,为公比的等比数列.故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式证明等比数列以及求数列中的某一项的方法.属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
根据递推公式，依次列举数列的第1、2、3、4…项，发现此数列为一个周期性数列，依周期性特点计算a2008即可
【详解】
依题意，a1=0，a2==﹣，a3=，a4=
∴数列{an}是一个以3为周期的周期数列
∴a2008=a669×3+1=a1=0
故选A．
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，解题时要善于使用列举法发现数列规律，进而求出数列的通项公式
5．B
【解析】
根据已知的数字发现规律，直接写出括号中的数字.
【详解】
根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
通过取倒数的方式可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而得到结果.
【详解】
由得：，即
数列是以为首项，为公差的等差数列
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.
7．C
【解析】
【详解】
∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．
又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30．
8．C
【解析】
【分析】
设，由递推式依次求得，由范围求得的范围，判断BD，已知中令得，归纳出数列奇数项、偶数项分别成等差数列，分组求和可得，判断出各选项后得正确选项．
【详解】
解：设，由，得，
可得，，，，，，，…，
由可得，可得，即，
则数列的奇数项为首项为t，公差为1的等差数列；
偶数项为首项为，公差为－3的等差数列，且每隔两项的和为9，7，5，3，1，－1，…，为递减，可得.
故选：C．
9．D
【解析】
【分析】
根据数列的概念，逐项判断即可.
【详解】
A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，是一个集合；根据数列的概念，D是正确的.
故选：D.
10．AC
【解析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】
对于选项A，取前六项得：，满足条件；
对于选项B，取前六项得：，不满足条件；
对于选项C，取前六项得：，满足条件；
对于选项D，取前六项得：，不满足条件；
故选：AC
11．ABD
【解析】
【分析】
通过，结合的表达式，依次求得，也即求得的值.
【详解】
①若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，(舍去)，
若a1为偶数，则；
②若a3为偶数，则；
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，(舍去).
若a2为偶数，则.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则.
故m所有可能的取值为4，5，32.
故选：ABD
12．AB
【解析】
【分析】
结合“谷值”和“谷值点”定义，可依次求出前8项，当时，结合对勾函数性质可判断，进而判断出“谷值点”.
【详解】
因为，所以，，，，，，，，当，，，∴，此时数列单调递增，，，，，所以数列的“谷值点”为2，7.
故选：AB
13．ABCD
【解析】
【分析】
A.由f(x)＝x＋的单调性判断；B.由an＝n－的得到性判断；C.由方程an＝n＋＝a的解的情况判断；D.由{an}是递增数列，则an＋1>an，即a【详解】
当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；
当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；
令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋>n＋，得a故选：ABCD
14．ABD
【解析】
先结合已知条件得到，进而得到，得A正确，再利用面积公式得到递推关系，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】
由，得，，故，
又，，，故一定是直角三角形，A正确；
的面积为，而，
故，
故，
又（当且仅当时等号成立）
，又由，知不是恒成立，即，故，故为递增数列，有最小值，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到，进而得到，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
15．
【解析】
【详解】
①，，，，，时，， ，根据谷值的定义可得的谷值为
②，开口向下，且对称轴为，，，当，且 时没有谷值 ，解出，若，数列是递减数列，没有谷值，综上，故答案为(1) ， (2)．
16． 678 2023
【解析】
【分析】
若要最小，则需满足数列增长最快，即需要出现最多的3，需要675个3和2个即可；若要最大，按为一组循环操作，可使最大.
【详解】
，
若要最小，则需满足数列增长最快，即需要出现最多的3，
，
需要675个3和2个，即有次，
，的最小值是678；
若要最大，且因为的各项均不相同，
观察数列，……
可知按为一组循环操作，此时可实现数字的全覆盖，且增长最慢，可使最大，
观察数列可得，，
，，
则，故最大值为2023.
故答案为：678；2023.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是判断出该如何搭配可得最大最小.
17．
【解析】
【分析】
将题中递推关系变形得到，然后使用累加法求解得出数列是通项公式，然后求解不等式得出结果.
【详解】
根据题意，可得到，
，
，
……
将以上个式子累加可得，，
，
，
又因为为爆炸型增长函数，因此可得从第4项起逐项递减，且可得为最大项，
又因为只有三项满足，
所以只有三项满足，
即得.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：本题考查求数列的通项公式，考查分组求和法，求通项公式除公式法外，如果递推式是数列前后的差，则可用累加法求解，如果是前后项的商，则可用连乘法求解，这是两种基本方法，有时还可能通过求出数列的前几项，归纳出数列的性质，得出结论.
18．6
【解析】
【分析】
利用数列与的关系运算可得，运算即可得解.
【详解】
由题意，当时，，
当时，满足上式；
所以数列的公差.
故答案为：6.
19．
【解析】
【分析】
先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求解.
【详解】
由题得
所以，适合n=1.
所以，
所以 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．
【解析】
【详解】
由题设可得，即，也即对一切的正整数恒成立，则，即，所以，应填答案．
点睛：解答本题的关键是运用转化与化归的数学思想，借助题设条件将不等式化为以为变量的一次不等式对一切的正整数恒成立的形式，再运用函数方程思想将其化为不等式，然后通过解不等式使得问题获解．
21．
【解析】
【分析】
分别求出{}、{}的通项公式，再统一形式即可得解．
【详解】
解：根据题意，
又单调递减， {}单调递减增
…①
…②
①+②,得，
故
代入，有成立，
又 …③
…④
③+④，得，
故
代入，成立．
，
综上，
【点睛】
本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题．
22．①②③
【解析】
【详解】
试题分析：①：即是等差数列，又是等比数列的数列是非零的常数数列，①正确；②：，则n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a,∴an-an-1=2a(常数)∴是等差数列，②正确；③：n=1时，a1=,n≥2时，an=Sn-Sn-1=2-2an-(2-2an-1)∴an=an-1,∴是等比数列, ③正确,.
考点；等差数列与等比数列的概念及性质．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的概念及性质．
23．.
【解析】
【分析】
将整理得，得为等比数列即可求解
【详解】
，则,因为
则故，故为首项为1，公比为2的等比数列，
则
故答案为
【点睛】
本题考查数列递推关系求通项，等比数列求和公式，考查计算能力，是基础题
24．.
【解析】
【分析】
由递推公式求出，因为和数列都是等比数列，利用等比数列的通项公式得出：①和②，联立①，②知：求出
【详解】
当时，，
令，为等比数列，，，
，，即：①.
令，为等比数列，，，
，，即：②.
联立①，②知：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，同时考查了计算能力，属于中档题.
25．（1），（2）见解析
【解析】
（1）根据公式计算得到的通项公式，根据确定数列为等比数列，其首项为1，公比为，计算得到答案.
（2）确定，计算，解不等式得到答案.
【详解】
（1），当时，．
验证时成立，故．
，故，当时，，，数列为等比数列，其首项为1，公比为，.
（2），．
由，得即，即．
又时成立，即，由于恒成立，
因此当且仅当时.
【点睛】
本题考查了求数列的通项公式，数列的增减性，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
26．(Ⅰ)，，；(Ⅱ).
【解析】
【详解】
试题分析：
(Ⅰ)在中，分别令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．
试题解析：
（Ⅰ）∵，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴．
（Ⅱ）∵ … ① ，
∴ …②，
∴①-②得， ，
又也满足上式，
∴…③ ，
∴…④，
③-④得，
∴．
又，
∴数列是首项为3，公比为的等比数列．
∴，
∴．
点睛：
数列的通项an与前n项和Sn的关系是．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．
27．（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果；
（2）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果；
【详解】
（1）由得，
因为，所以，因此或，
故或；
（2）由得或，
又是第三象限角，所以.
【点睛】
本题主要考查由三角函数值求角，熟记特殊角所对应的三角函数值即可，属于基础题型.
28．（1），（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）依次令,,解出即可．
（2）由知
当时，
两式相减，化简即可得证．
【详解】
解（1）∵，
∴当时，；
当时，，∴；
当时，，∴.
（2）证明：∵，①
∴当时，，②
①-②得，
∴，即.
∴．∵.
∴，∴.
即是以4为首项，2为公比的等比数列．
【点睛】
本题考查公式的应用，属于基础题．
29．（1）（2）猜想．见解析
【解析】
【分析】
（1）先求得的值，然后根据已知条件求得，由此求得的值.
（2）由（1）猜想数列的通项公式为，然后利用数学归纳法进行证明.
【详解】
（1）由，即，①
所以，由①得，②
，得．
当时，；
当时，；
当时，．
（2）由（1）猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由（1）可知猜想成立；
②假设时猜想成立，即，此时，当时，，
整理得，
所以当时猜想成立．
综上所述，对任意成立．
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.
30．（I）（II）①；②．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求,需注意当时的讨论；（2）题目中当时，是等差乘以等比的形式，用错位相减来解决，运算过程一定要注意，这是易错点；（3）最后一问主要是恒成立问题，把它转化为求最值问题，即求的最值，可通过函数单调性来求．
试题解析：解：（I）因为 所以， ，故
当 时，
此时，，即，
所以，
（Ⅱ）因为，所以
当时，
所以
当时，
所以
两式相减得
所以
②由知道递增，而当
若对于恒成立，有
考点：数列前n项和求数列的通项公式，错位相减求和，恒成立问题．
【方法点睛】（1）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解．（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性．而数列是一种特殊的函数，所以数列问题可以通过函数知识来解决．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页