人教A版（2019）选修第二册第四章数列课时练习01数列的通项公式同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选修第二册第四章数列课时练习01数列的通项公式同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 650.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-15 17:37:16 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019） 选修第二册 第四章 数列 课时练习01 数列的通项公式 同步练习
一、单选题
1．将正整数排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
则图中数出现在
A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列
2．数列中，，则数列的前8项和等于（ ）
A．32 B．36 C．38 D．40
3．数列中，，则此数列最大项是（ ）
A．第4项 B．第6项
C．第5项 D．第5项和第6项
4．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列{an}满足a1=2，an=an﹣1+2(n∈N*，n≥2)，则a3=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知正项数列满足，则下列正确的是（ ）
A．当时，递增，递增
B．当时，递增，递减
C．当时，递增，递减
D．当时，递减，递减
7．设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入60，输入50时，的输出是
A．494 B．492 C．485 D．483
9．已知数列中，，则（ ）
A．13 B．12
C．11 D．10
10．下列关于数列的说法错误的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若表示数列，则表示数列的第n项, 表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
11．设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．2019 B． C．2020 D．
二、多选题
12．设正整数，其中对于任意，． 函数满足．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设数列的前项和为，且，，则__________.
14．已知数列，满足，数列有最大值和最小值，则的取值范围为____________
15．数列1，，2，，3，，4，，4，，5，，5，，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2021项是________.
四、解答题
16．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*)，求数列{an}中的最大项和最小项的值．
17．已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
18．化简：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.
【详解】
每行的首个数字为：1,2,4,7,11…
利用累加法：
计算知：
数出现在第行列
故答案选B
【点睛】
本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得.并将原式两边同时乘以后与变形后的式子相加，即可求得，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.
【详解】
由已知，①
得，②
由得，
取及，易得，，，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
3．D
【解析】
【分析】
对配方，利用二次函数的性质求解
【详解】
解：，
因为，所以当或时，取最大值，
故选：D
4．B
【解析】
先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.
【详解】
因为
所以
所以数列是等差数列，
又
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
所以
因为，，且，
所以当时，取最大值2.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式：(为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式：(为常数) ， 则数列是等差数列.
5．B
【解析】
结合等差数列的定义及通项公式即可求解.
【详解】
解：由题意可知数列是以a1=2为是首项，以2为公差的等差数列，
则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题.
6．B
【解析】
【分析】
设，画出函数的图像，利用数形结合的观点即可得到答案.
【详解】
解：设，单调递减，画出图像如图所示：
由图像知，所以对于
当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：
由图像知，，所以，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.
从作图过程可以看出：，
所以可得：数列递增数列，递减数列.
当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：
由图像知，，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.
从图像可以看出：，
所以：数列递减数列，递增数列.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查用函数的观点解决数列问题，考查学生的数形结合能力，属于综合题.
7．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，判断数列出是等差数列，求出数列的通项公式，根据当且仅当，数列的前项和取得最大值，列出不等式组，解不等式组，求出的取值范围.
【详解】
由题意可知：，故，，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为当且仅当，数列的前项和取得最大值，所以且，可得
.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的判定，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
8．D
【解析】
【详解】
由题设可得，则，，，；将以上个等式两边相加可得，取可得；又由题设可得，则，，，；将以上个等式两边相加可得，即，取可得代入可得，故当时，，应填答案D．
点睛：解答本题的关键是构造函数，求解时先依据题设条件获得和，然后再运用赋值法进行叠加从而求得和最后再取特殊值，求得，将代入使得问题巧妙获解．
9．C
【解析】
【分析】
在通项公式中令可得的值.
【详解】
由已知得．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列中指定项的计算，此类问题代入通项公式计算即可，本题属于容易题.
10．D
【解析】
【分析】
本题考察的是数列的性质，我们把按一定次序排列的一列数叫作数列；若表示数列，则表示数列的第n项, 表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一；同一个数列的任意两项有可能相同．
【详解】
因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，
所以D项错误，故选D．
【点睛】
本题考察的是数列的基本性质，要注意数列的每一项的值是有可能相等的．
11．D
【解析】
【分析】
用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.
【详解】
因为，
所以
，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.
【点睛】
本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.
12．ABD
【解析】
【分析】
结合定义可直接证明A正确；对B，C的处理，需结合拼凑法，使和能够应用的形式，即可判断正误；对D，处理得，再结合的定义即可求解.
【详解】
由，可知，
，，故A正确；
，
所以，
，
（此时只能取0或1），
所以，
所以，故B正确；
，
所以，
，故，C错；
，令，
故，故D正确.
故选：ABD
13．1189
【解析】
【分析】
由，两式相加得，然后进一步通过迭代法可求得答案
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
由，可得
所以，
所以
，
故答案为：1189
14．
【解析】
【分析】
由，可得
，分类讨论，求得的最大值和最小值，即可求解．
【详解】
当时，
当时，，符合上式.故
当时，数列不存在最大值和最小值；
当时，，所以最大值，最小值
当时，的最大值，最小值，
所以，综上
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．64
【解析】
【分析】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，再计算出原2021项在这个数列是第几项，可得答案．
【详解】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，
因为，
前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，
故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64.
故答案为：64
16．最大项为a5＝2，最小项为a4＝0
【解析】
【分析】
类比的性质，判断数列随变化的增减性，即可知数列{an}中的最大、最小值.
【详解】
∵，由的性质：在上递减，在上递增，关于中心对称，
∴：在上递减，在上递增，部分点关于中心对称，即1>a1>a2>a3>a4且a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
17．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；
（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；
（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.
(1)
因为点在函数的图像上，
所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
(2)
解法1：，
==，
解法2：， ①
， ② ①-② 得
，
；
(3)
记的前n项和为，
则=
，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
18．
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】
原式＝，
＝，
＝，
＝.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．将正整数排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
则图中数出现在
A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列
2．数列中，，则数列的前8项和等于（ ）
A．32 B．36 C．38 D．40
3．数列中，，则此数列最大项是（ ）
A．第4项 B．第6项
C．第5项 D．第5项和第6项
4．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列{an}满足a1=2，an=an﹣1+2(n∈N*，n≥2)，则a3=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知正项数列满足，则下列正确的是（ ）
A．当时，递增，递增
B．当时，递增，递减
C．当时，递增，递减
D．当时，递减，递减
7．设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入60，输入50时，的输出是
A．494 B．492 C．485 D．483
9．已知数列中，，则（ ）
A．13 B．12
C．11 D．10
10．下列关于数列的说法错误的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若表示数列，则表示数列的第n项, 表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
11．设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．2019 B． C．2020 D．
二、多选题
12．设正整数，其中对于任意，． 函数满足．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设数列的前项和为，且，，则__________.
14．已知数列，满足，数列有最大值和最小值，则的取值范围为____________
15．数列1，，2，，3，，4，，4，，5，，5，，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2021项是________.
四、解答题
16．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*)，求数列{an}中的最大项和最小项的值．
17．已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
18．化简：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.
【详解】
每行的首个数字为：1,2,4,7,11…
利用累加法：
计算知：
数出现在第行列
故答案选B
【点睛】
本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得.并将原式两边同时乘以后与变形后的式子相加，即可求得，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.
【详解】
由已知，①
得，②
由得，
取及，易得，，，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
3．D
【解析】
【分析】
对配方，利用二次函数的性质求解
【详解】
解：，
因为，所以当或时，取最大值，
故选：D
4．B
【解析】
先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.
【详解】
因为
所以
所以数列是等差数列，
又
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
所以
因为，，且，
所以当时，取最大值2.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式：(为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式：(为常数) ， 则数列是等差数列.
5．B
【解析】
结合等差数列的定义及通项公式即可求解.
【详解】
解：由题意可知数列是以a1=2为是首项，以2为公差的等差数列，
则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题.
6．B
【解析】
【分析】
设，画出函数的图像，利用数形结合的观点即可得到答案.
【详解】
解：设，单调递减，画出图像如图所示：
由图像知，所以对于
当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：
由图像知，，所以，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.
从作图过程可以看出：，
所以可得：数列递增数列，递减数列.
当时，不妨确定的位置，根据，把标到图上，如图所示：
由图像知，，所以，一直根据图像推下去可得：对于数列，所以奇数项，所有偶数项.
从图像可以看出：，
所以：数列递减数列，递增数列.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查用函数的观点解决数列问题，考查学生的数形结合能力，属于综合题.
7．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，判断数列出是等差数列，求出数列的通项公式，根据当且仅当，数列的前项和取得最大值，列出不等式组，解不等式组，求出的取值范围.
【详解】
由题意可知：，故，，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为当且仅当，数列的前项和取得最大值，所以且，可得
.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的判定，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
8．D
【解析】
【详解】
由题设可得，则，，，；将以上个等式两边相加可得，取可得；又由题设可得，则，，，；将以上个等式两边相加可得，即，取可得代入可得，故当时，，应填答案D．
点睛：解答本题的关键是构造函数，求解时先依据题设条件获得和，然后再运用赋值法进行叠加从而求得和最后再取特殊值，求得，将代入使得问题巧妙获解．
9．C
【解析】
【分析】
在通项公式中令可得的值.
【详解】
由已知得．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列中指定项的计算，此类问题代入通项公式计算即可，本题属于容易题.
10．D
【解析】
【分析】
本题考察的是数列的性质，我们把按一定次序排列的一列数叫作数列；若表示数列，则表示数列的第n项, 表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一；同一个数列的任意两项有可能相同．
【详解】
因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，
所以D项错误，故选D．
【点睛】
本题考察的是数列的基本性质，要注意数列的每一项的值是有可能相等的．
11．D
【解析】
【分析】
用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.
【详解】
因为，
所以
，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.
【点睛】
本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.
12．ABD
【解析】
【分析】
结合定义可直接证明A正确；对B，C的处理，需结合拼凑法，使和能够应用的形式，即可判断正误；对D，处理得，再结合的定义即可求解.
【详解】
由，可知，
，，故A正确；
，
所以，
，
（此时只能取0或1），
所以，
所以，故B正确；
，
所以，
，故，C错；
，令，
故，故D正确.
故选：ABD
13．1189
【解析】
【分析】
由，两式相加得，然后进一步通过迭代法可求得答案
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
由，可得
所以，
所以
，
故答案为：1189
14．
【解析】
【分析】
由，可得
，分类讨论，求得的最大值和最小值，即可求解．
【详解】
当时，
当时，，符合上式.故
当时，数列不存在最大值和最小值；
当时，，所以最大值，最小值
当时，的最大值，最小值，
所以，综上
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．64
【解析】
【分析】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，再计算出原2021项在这个数列是第几项，可得答案．
【详解】
将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，
因为，
前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，
故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64.
故答案为：64
16．最大项为a5＝2，最小项为a4＝0
【解析】
【分析】
类比的性质，判断数列随变化的增减性，即可知数列{an}中的最大、最小值.
【详解】
∵，由的性质：在上递减，在上递增，关于中心对称，
∴：在上递减，在上递增，部分点关于中心对称，即1>a1>a2>a3>a4且a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
17．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；
（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；
（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.
(1)
因为点在函数的图像上，
所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
(2)
解法1：，
==，
解法2：， ①
， ② ①-② 得
，
；
(3)
记的前n项和为，
则=
，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
18．
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】
原式＝，
＝，
＝，
＝.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页