人教A版（2019）选修第二册第五章第二节课时2导数的四则运算法则（Word含答案解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第二节 课时2 导数的四则运算法则
一、单选题
1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b
A．1 B． C． D．
5．下列求导运算，正确的是
A． B．
C． D．
6．若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为
A． B． C．和 D．
8．已知是定义在R上的奇函数，且．当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、双空题
9．设函数，则曲线在点处的切线方程为________；函数的极大值点为________.
三、填空题
10．已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为___________.
11．若满足则等于_______．
12．已知实数满足则的取值范围为________.
13．若等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，则关于的函数关系式是________________.
14．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 ，其中 为蜥蜴的体温(单位：℃) 为太阳落山后的时间 (单位：)．当________ 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ．
15．曲线在点处的切线的斜率为，则________.
四、解答题
16．已知函数（其中）.
（1）求在处的切线方程；
（2）若函数的两个零点为，证明：+.
17．求证：曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
18．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-∞，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增在(3，+∞)上单调递减，且函数图象在(2，f(2))处的切线与直线5x+y=0垂直.
(Ⅰ)求实数a b c的值;
(Ⅱ)设函数f(x)=0有三个不相等的实数根，求d的取值范围.
19．已知曲线的一条切线的斜率为，求切点的横坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用导数定义求的导函数，进而求，根据导数的几何意义即知点处的切线的倾斜角.
【详解】
∵，
∴．又切线的倾斜角的范围为，
∴所求倾斜角为．
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
先求解出，然后根据求解出的值.
【详解】
解析：∵，
∴，
∴，∴，
故选：B.
3．D
【解析】
由基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，直接求解即可.
【详解】
由题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，属于基础题.
4．C
【解析】
【详解】
设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而得出，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
5．D
【解析】
【详解】
,A不正确；
，B不正确；
，C不正确；
正确，故选D.
6．A
【解析】
【分析】
求出导数，设出切点，求出切线，将其与联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的最小值.
【详解】
解：，设公切线与曲线相切的切点为，
则公共切线为，
即，其与相切，
联立消去得：，
则有解，
即有解，
令，，
则，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，所以实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题.
7．C
【解析】
【分析】
求导，令，故或，经检验可得点的坐标.
【详解】
因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．
8．A
【解析】
【分析】
利用函数的周期性和奇偶性求值即可．
【详解】
因为，所以，所以是以4为周期的函数，则．因为，所以，所以，故．
故选：A
9．
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点；
【详解】
解：因为，所以，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
，则 ，所以函数在上是减函数，
，解得或，所以在和上是增函数，所以函数的极大值点是 ；
故答案为：；
10．
【解析】
【分析】
设切点分别是，得到，化简可得a，转化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
设，的公切线的斜率为，
直线与，图象的切点分别是，
若不存在，则不是图象的切线，所以存在，
则，可得，所以，
根据题意，此关于的方程有解；
令，则有零点，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以有零点当且仅当，
解得，即所求a的取值范围是.
故答案为：.
11．﹣2
【解析】
【分析】
根据函数的求导法则求得，再由于得出导函数为奇函数，通过奇函数的性质可求得的值.
【详解】
根据函数的求导法则得：，
由于，
所以导函数为奇函数，
所以，
故答案为.
【点睛】
本题考查常见初等函数的求导运算和函数的奇偶性的应用，属于基础题.
12．
【解析】
作出不等式组的可行域，由图可知，当过点时，取得最大值，再设的图象与直线相切于点，根据导数的几何意义，求得时，求得取得最小值，即可求解.
【详解】
由题意，作出不等式组的可行域如图所示(阴影部分)，
可得,
由图可知，当过点时，取得最大值，，
设的图象与直线相切于点，
由，可得，令，可得，
故与切于点时，取得最小值，，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
13．
【解析】
【分析】
根据三角形的周长为可得出关于的函数关系式，再根据三角形三边关系以及可求出的取值范围，作为函数的定义域.
【详解】
由于等腰三角形的周长为，则，.
由，得，由三角形的三边关系可得，即，得.
因此，关于的函数关系式是.
故答案为.
【点睛】
本题考查函数解析式的求解，在求出解析式时，还应根据实际问题求出自变量的取值范围，得出函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
14．5
【解析】
【分析】
求得导函数，令，计算即可得出结果.
【详解】
，
，
令，得：.
解得：.
时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为．
故答案为：5.
15．-4
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求解.
【详解】
因为，
所以，当 时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为，
所以，
解得，
故答案为：-4
16．（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先设并化简不等式，构造函数，利用导数研究函数单调性确定其最小值，即证得结论.
【详解】
（1）因为，所以，
切线方程为
（2）因为是函数的两个零点，所以，相减得
不妨令，则，所以
要证+ ，只要证，
即证，
令，则
令，则
，即原不等式成立.
【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
17．证明见解析.
【解析】
【分析】
首先利用导数的几何意义求切线方程，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
由，得，所以．在曲线上任取一点，则过点的切线斜率，
切线方程为，即．设该切线与轴，轴分别相交于，两点，
则，．故．
所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
18．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得a,b,c的值；
(Ⅱ)由题意得到关于d的不等式组，求解不等式组可得d的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)，函数图象在的切线与直线5x+y=0垂直，
①
由题意可知，1和3为方程的两根，所以：
②
③
由① ② ③解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
x=1和x=3分别是函数f(x)的极小值点和极大值点，
当x取负值且绝对值足够大时，y取正值，
当x时正值且足够大时，y取负值，
所以方程f(x)=0有三个不相等的实数根的充要条件为：，即，
所以d的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的切线方程，导函数研究方程的根的个数等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．3.
【解析】
【分析】
设出切点的横坐标，代入到导函数中，建立方程，求出横坐标，注意定义域.
【详解】
定义域为：
设切点的横坐标为m
则，解得：，（舍去）
所以切点的横坐标为3.
答案第1页，共2页
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