人教A版（2019）选修第二册第五章第二节课时3简单复合函数的导数（Word含答案解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第二节 课时3 简单复合函数的导数
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知下列四个命题，其中正确的个数有
①，②，③（，且），④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．曲线在处的切线经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
7．函数的图像在点处的切线的斜率是________，切线的方程为_____．
8．若实数，则________，________.
9．已知，则______；______．（用数字作答）
三、填空题
10．给出下列四个命题：
①命题“，”的否定是“，”；
②函数只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；
③对于任意实数，有，且当时，，则当时，．
其中正确命题的序号是______．（填所有正确命题的序号）
11．设曲线在点处的切线方程为，则__________．
12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则常数___.
13．设，且，则 .
四、解答题
14．已知是自然对数的底数，函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在单调递增，判断函数是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．
15．函数 .
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
（2）若对任意的，都有，求的取值 .
16．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）记．当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
17．设函数，已知曲线在点处的切线与直垂直.
（1）求的值；
（2）求函数的极值点.
18．已知，求的导数，其中a，b均为常数．
19．（1）求抛物线的标准方程：焦点为直线x2y4=0与坐标轴的交点.
（2）设aR，函数 f (x)=lnxax.若a=3，求曲线y=f (x)在P1，3处的切线方程；
20．某型号汽车的刹车距离s(单位：米)与刹车时间t(单位：秒)的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）
（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k=8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
函数两边同时求导得，即可求，再由解析式求.
【详解】
，则，可得
∴，故.
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
①，所以①错误；
②，所以②错误；
③（，且），所以③错误；
④，所以④错误.
故选A
【点睛】
本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求解曲线在处的切线，进而求得，再根据等比数列的求和公式求解即可
【详解】
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入方程，得，即，
又，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
直接利用导数公式计算判断即可.
【详解】
对于A答案：，故A错误.
对于B答案：，故B正确.
对于C答案：，故C错误.
对于D答案：，故D错误.
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
利用复合函数的求导法则可求出函数的导数.
【详解】
因为函数
所以
故选C.
【点睛】
求一个函数的导函数,应该先判断出函数的形式,然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值.
6．C
【解析】
【分析】
利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则，求得答案.
【详解】
对函数求导，可得导函数
故选：C
【点睛】
本题考查导数的运算中复合函数求导，属于基础题.
7．
【解析】
【分析】
利用导数求得切线的斜率，进而求得切线方程.
【详解】
，故切线的斜率为，
切线方程为，即.
故答案为：；
8．
【解析】
【分析】
解可得的值，解可得的值，即可求解.
【详解】
由得：，
由得：，所以，
由对数恒等式可得，
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
9． 16 81
【解析】
【分析】
将转化为，再利用二项式定理，即可求得；将已知等式两边分别求导，令，即可求出的值.
【详解】
，
展开后含有的项为
，
所以；
，
等号两边分别求导，得
，
令，得，即.
故答案为：16；81.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.
10．①③
【解析】
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定变换原则即可判断①；利用，的图象即可判断②；利用复合函数求导以及奇偶性的特征即可判断③.
【详解】
①全称命题的否定是特称命题，所以①正确．
②根据，的图象，知有三个零点，
故②错误；
③两边对求导数，得，
所以是奇函数，当时，，
当时，．所以③正确．
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了含有一个量词的命题的否定变换原则、求函数的零点个数、复合函数求导、函数奇偶性的特征，属于基础题.
11．
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x＝0时的导数，然后利用切线方程的斜率等于切点处导函数值即可算出结果．
【详解】
y'＝2a，
∵切点坐标（0，0），且切线方程的斜率等于切点处导函数值，
∴2a﹣1＝2，∴a，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．
12．-2
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义，求得在点处的切线斜率为，再根据两直线的位置关系，即可求解．
【详解】
由题意，函数，可得，所以，
即在点处的切线斜率为，
又由在点处的切线与直线垂直，所以，
解得．
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．1
【解析】
【详解】
因为，所以，，故，，
故1.
考点：导数
点评：本题先求导，再进行简单的解方程运算即可，属基础题.
14．（1）（2）没有零点．见解析
【解析】
（1）对函数进行求导，再利用导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）由在单调递增可得，再证明函数在时，函数值均大于0，即可证得函数无零点.
【详解】
解：（1）若，，
∴
∴当时，．
∴曲线在点处的切线的斜率．
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）函数没有零点．
∵在单调递增，
∴当时，，即．
∴．
由得，且．
设，则．
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，取得最小值，
即．
∵，
∴，即．
∴．
∴，即．
∴在定义域单调递增．
∵，
∴当时，，
当时，，．
∴当时，．
∴无实数解，即函数没有零点．
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程、函数零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用函数值大于0证明函数无零点的方法.
15．(1) (2)
【解析】
【详解】
试题分析：(1) 求出，由求得，令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间，从而可得的最大值；（2）对任意的，都有等价于函数在上单调递减，即在上恒成立，分两种情况讨论，分别研究函数的单调性，求出最值利用不等式恒成立列不等式求解即可.
试题解析：（1）由，得，
令，则，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）由题意可知函数在上单调递减，
从而在上恒成立，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，则，
当时，，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，
通过求函数的导数可知它在上单调递增，故，
综上，实数的取值范围是.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点求参数即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
16．（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用导数的几何意义求得a，从而得到函数，再利用导数法求单调区间；
（2）由（1）得到，再利用导数研究函数的单调性，再根据函数在区间上有两个零点区间.
【详解】
（1）直线的斜率为1．函数的定义域为，
，
所以，
所以．
所以，．
由解得；由解得．
所以的单调增区间是，单调减区间是．
（2）依题得，
则．
由解得；由解得．
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．
又因为函数在区间上有两个零点，
所以，
解得．
所以的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一
17．（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，由曲线在点处的切线与直垂直，可知，即可求出；（2）求导，然后分类讨论，确定单调性，进而可以求出极值点．
【详解】
（1）由题意知，，，解得.
（2）函数，定义域为，
则，令，，
则，
①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故函数在区间上无极值点；
②当时，，令，有，，，
当时，，即，得在上递减，
当时，，即，得在上递增，
当时，，即，得在上递减，
此时有一个极小值点为，有一个极大值点为.
③当时，，令，有，，
当时，，即，得在上递增，
当时，，即，得在上递减，
此时有唯一的极大值点为.
综上可知，当时，函数有一个极小值点为，有一个极大值点为；
当时，函数在区间上无极值点；
当时，函数有唯一的极大值点为，无极小值点.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线，及导数的综合应用，属于难题．
18．
【解析】
【分析】
首先求出,再根据复合函数的求导公式计算即可.
【详解】
19．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1） 令，求得的值，从而分两种情况求得抛物线方程.（2）求出当a=3 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
【详解】
解：（1）令，得；令，得，
所以抛物线的焦点坐标为或.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
（2）当时，
则切线方程为，即.
20．（1）应紧急避让；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求汽车的瞬时速度，由，得，计算s即可判断；（2）汽车的瞬时速度为，得 ，汽车静止时，
问题转化为在内有解，分离k求导求最值即可
【详解】
（1）当时，，这时汽车的瞬时速度为，
令，解得（舍）或，
当时，，
故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.
（2）汽车的瞬时速度为，所以，汽车静止时，
故问题转化为在内有解，
即在内有解，
记，，，∴，∴单调递增，
∴在区间上的取值范围为，
∴，即，
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题
答案第1页，共2页
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