人教A版（2019）选修第二册第五章第三节课时1函数的单调性同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第三节 课时1函数的单调性 同步练习
一、单选题
1．设函数是其定义域内的可导函数，其函数图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的导函数的图像如图所示，则
A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
3．已知函数是奇函数，当时，，当时，，则的解集时
A． B．
C． D．
4．已知为的可导函数，且对任意的，均有，则有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．函数的导函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y＝f ′(x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．在内的单调性是（ ）
A．增加的
B．减少的
C．在内是减少的，在内是增加的
D．在内是增加的，在内是减少的
11．已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为
A． B． C． D．
12．设为函数f（x）的导数且f（x）= 则=
A．4 B．3 C．2 D．1
13．设函数为偶函数，且当时，当时，则（ ）
A． B． C． D．2
14．定义在上的函数的图象关于点对称，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知在R上是增加的，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
16．已知函数在内连续且可导，其导函数为，且满足，恒成立，则下列命题正确的个数为（ ）
A．函数在上单调递增
B．时，有
C．曲线在点处的切线方程为
D．，都有
17．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有，则下列判断正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．若，则的最大值为3
三、双空题
18．函数的增区间为________，减区间为________.
四、填空题
19．函数在上单调递增，则实数的最小值是___________.
20．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′(x)＞0，且f (0)＝0，，则不等式f (x)＜0的解集为________.
21．已知、，且，若，则________
五、解答题
22．已知函数（），其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值．
23．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.
24．已知函数，是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
25．设函数，.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）①若，试讨论的单调性；
②若有两个不同的零点，求的取值范围，并说明理由.
26．设函数（），其图象在点，处的切线的斜率分别为，．
（1）求证：；
（2）若函数的递增区间为，求的取值范围．
27．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在两个零点，，使，求的最大值.
28．已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为,求函数的单调区间;
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和导函数符号之间的关系即可判断.
【详解】
由函数的图像可得，当时，函数单调递减，
所以导函数，故排除B；
当时，函数先单调递增后单调递减再单调递增，所以导函数
先大于再小于再大于，只有C满足；
故选：C
【点睛】
本题考查导数的应用，考查函数的单调性和导函数符号之间的关系以及数形结合的思想，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.
【详解】
由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选A.
【点睛】
本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.
3．A
【解析】
对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可．
【详解】
因为函数是奇函数，且当时，
所以当，即：时，，
当，即：时，可化为：
，解得：.
当，即：时，
利用函数是奇函数，将化为：
，解得：
所以的解集是
故选A
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．
4．C
【解析】
【分析】
构造函数，再求导分析的单调性，再根据选项分析的大小关系求解即可.
【详解】
构造函数，则，故为减函数.
故，，
即，.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了构造函数求解函数式大小的关系，需要熟悉常见的构造函数，并根据选项中的自变量得出所构造函数的大小关系进行求解.属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】
将函数的解析式化简，求出其导数，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.
【详解】
因为，.
当时，，，则；
当时，，，则.
所以，当时，，排除ABD选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，结合导数与单调性的关系，通过构造函数进行求解即可.
【详解】
解：∵函数在上单调递增，
∴当时，有；
当时，恒成立，
令，，则，
∵，∴，即在上单调递增，∴，
要使当时恒成立，则，解得.
∵函数在上单调递增，∴还需要满足，即，
综上，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是除了考虑每段函数是单调递增，还要考虑不等式成立这一条件.
7．D
【解析】
【分析】
利用导数求得的单调递增区间.
【详解】
函数的定义域为，
，所以在区间上，函数单调递增.
故选：D
8．D
【解析】
根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的符号，结合选项，即可求解．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C；
当时，，排除B．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的基本性质和特殊点的函数值求解是解答的关键，着重考查了推理与识别能力．
9．B
【解析】
【分析】
根据函数的图象，得到函数的单调区间，根据导数的正负与函数的单调性的关系，得到导数的正负区间，然后做出选择即可.
【详解】
由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，
当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，
故只有B符合.
故选：B.
10．C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据导数的符号，即可求得函数的单调区间，得到答案.
【详解】
由题意，函数的定义为，且，
令，即，可得；
令，即，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：C.
11．A
【解析】
【详解】
分析：利用已知条件判断导函数与原函数的关系，利用导函数的单调性以及函数的极值，判断选项即可.
详解：函数的导函数只有一个极值点，结合选项可知，
导函数是二次函数，原函数是三次函数；
导函数为0的位置，原函数取得极值，只有选项A满足条件，故选A.
点睛：该题考查的是有关图像的选择问题，在解题的过程中，需要明确导数的符号决定着函数的单调性，从而得到导数等于零的点就是函数的极值点，逐一对照，得到结果.
12．B
【解析】
【详解】
分析：根据导函数定义，对f（x）= 求导得，代入 求得．所以可以确定 的解析式，代入 即可得到答案．
详解：对函数求导得 ，所以
所以
所以
所以选B
点睛：本题考查了导数的简单应用，注意是个常数值，因而导数为0，是简单题．
13．B
【解析】
【分析】
由为偶函数知，且，即可根据已知函数解析式求的值
【详解】
为偶函数，知：，而
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了求分段函数的函数值，利用函数的奇偶性将未知区间的自变量转化到已知区间，进而根据分段函数解析式求函数值
14．C
【解析】
【分析】
由已知构造函数，求导判断函数的单调性，结合图象关于对称即可得到的范围．
【详解】
当时，由，有，
令，则，
又，
在，上单调递增，
又（1），（2），
存在，使得时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又（1）（2），，时，；时，，
由于函数的图象关于点对称，故当时，
由，可得，
综上，的取值范围为．
故选：．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了数形结合思想和构造法，属中档题．
15．B
【解析】
【分析】
由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立，利用一元二次函数的图象，即可得到答案；
【详解】
由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立，
，
故选：B
16．CD
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系逐项判断求解．
【详解】
恒成立，
等价于当时，即；
当时，即．
对于，，，
满足，且时，时，是满足题意的函数，
但是在上为减函数，且恒为正，故A，B错误.
时，时，
构造函数，，
则，
可知时，时，
又为连续函数，时，即，即，
曲线在处切线方程为，即，故C正确；
由，可得，变形为，
当时，恒为正且单调递减，恒为正且单调递减，
所以单调递减，即，
当时，由，可得，
构造函数，
当时，，
即为在上为减函数，
则可得，
所以在上恒成立可知D正确，
综上所述，有CD是正确的.
故选：CD．
17．ABD
【解析】
【分析】
由题得，故A正确；
分析得到，即，故B正确，C错误；
由上分析知，函数是在上的增函数，故的最大值为.故D正确.
【详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确；
∵，∴，由题得，∴.又是奇函数，∴，即，故B正确，C错误；
由上分析知，函数是在上的增函数，故的最大值为.故D正确.
故选：ABD.
18． 2,+∞##[2,+∞) ∞,2##( ∞,2]
【解析】
【分析】
利用导数与函数单调性的关系可求出原函数的增区间和减区间.
【详解】
因为，则，由可得，由可得.
所以，函数的增区间为，减区间为.
故答案为：；.
19．
【解析】
【分析】
函数在上单调递增，可转化为在上恒成立，即在上恒成立，然后构造函数，在上求其最大值即可
【详解】
解：由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，由，得，
所以当，即时，取得最大值2，
所以，所以实数的最小值是为2，
故答案为：2
20．
【解析】
【详解】
因为是定义在 上的奇函数， 时， ，在 上递增，在 上递增，作出的草图，如图所示，根据图象可得不等式的解集为, 故答案为.
21．
【解析】
【详解】
试题分析设2y=t，由可得，即．
令f（x）=，x∈（﹣，），则＞0，
∴f（x）=在x∈（﹣，）单调递增，比较与．
可得t=﹣x，即2y=﹣x，∵m≠0，∴x≠0．∴=﹣．．
考点：函数的综合应用．
点评：本题考查了构造函数，利用导数研究函数的性质，考查了转化方法．
22．（1）见解析（2）2
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先求导数，再根据m范围确定导函数零点，根据导函数符号确定单调性，（2）先分离得，再利用导数研究函数单调性（隐零点），根据单调性求最小值，根据极值条件化简最小值，最后根据最小值范围确定k范围，进而确定的最大值．
试题解析：解：（1）由题意得，函数的定义域为，．
若，则，所以函数在区间上单调递减；
若，则当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）当时，对任意，都与恒成立，等价于对任意的恒成立，
令，则，
由（1）知，当时，在区间上单调递减．
因为，，
所以在区间上存在唯一零点，
∴在区间上也存在唯一零点，
设此零点为，则.
因为当时，，
当时，，
所以在区间上的最小值为，
所以.
又因为 ，
所以，
所以.
又因为为整数，且，
所以的最大值是2．
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
23．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
(2)先证明不等式成立，再证明即可推理作答.
【详解】
(1)由，得，则，
即曲线在点处的切线方程为，
所以所求切线方程为；
(2)设，则，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
于是得当时，，
因此，(当且仅当时取等号)，
令，则，
则当时，，当时，，即有在上为减函数，在上为增函数，
于是得当时，，
因此，(当且仅当时取等号)，
所以，当时，.
24．（1）；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为.
【解析】
(1)求，由求出的值并经验即可；
(2)利用导数法直接求解即可.
【详解】
解：（1），
依题意得，，即，经检验符合题意.
（2）由（1）得，
，
令得，，，
列表：
3
－ 0 ＋ 0 －
↘ ↗ ↘
所以的单调递减区间为和，增区间为.
【点睛】
易错点睛：本题考查已知函数极值点求参数，该问题应该注意的事项：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性；求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则；如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
25．（1）；（2）①在单调递减；②，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由得出，令，利用导数求出函数的最大值，进而可得出实数的取值范围；
（2）①将代入函数的解析式，利用导数可求得函数的单调区间；
②由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
（1），，则，
令，则，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，则，
因此，实数的取值范围是；
（2）①当时，，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，恒成立，即恒成立，
因此，函数在上单调递减；
②由，得，得，
令，其中，则，
令，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，当，，
当时，，则；
当时，，则.
所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减，则，且当时，，
所以，.
【点睛】
本题考查利用导数的综合应用，考查恒成立问题分析法和分参法，二次求导分析函数单调性，前两问正常难度，分析讨论，最后一问考查了隐零点，取点等函数分析法，难度较大，考验学生的分析能力，属于难题.
26．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)求出，由题意可得，根据可推出
，再由有实根即可知，从而可证明.
(2) 由(1)可知中，则方程有两个不等实根，设为，，由韦达定理可得，结合导数从而可判断的递增区间为，即可得，再由(1)可求出的取值范围为.
【详解】
（1）证明：，由题意及导数的几何意义得
，（1），，（2）
又，可得，即，故，，
由（1）得，代入，再由，得，（3）
将代入（2）得，即方程有实根．
故其判别式得，或，（4）
由（3），（4）得；
（2）由的判别式，
知方程（*）有两个不等实根，设为，，
又由知，为方程（*）的一个实根，
则由根与系数的关系得，，
则当或时，，当时，，
故函数的递增区间为，由题设知，
因此，由（1）知得的取值范围为．
【点睛】
关键点睛:
本题第二问的关键是令后，判断方程两根的大小关系，从而可判断函数的单调性.
27．（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，由x>0,进而对和分别讨论，得出的单调性.（2）函数有两个零点，，得，代入，令，则，设，求导得在上的最值即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在单调递增；
当时，令，得，
当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为，，即，.
两式相减得，即.
由已知，得.
因为，，所以，即.
不妨设，则有.
令，则，所以，即恒成立.
设.
.
令，，的图象开口向上，对称轴方程为，
方程的判别式.
当时，在单调递增，，所以,
在单调递增，所以在恒成立.
当时，，在上恒成立，所以，
在单调递增，所以在恒成立.
当时，在单调递减，因为，，
所以存在，使得
当时，，；当时，，，
所以在上递增，在上递减.
当时，都有，
所以在不恒成立.
综上所述，的取值范围是，所以的最大值为2.
【点睛】
本题考查了函数的单调性的判断和换元构造新函数求其最值的问题，求导后讨论函数的单调性是本题的关键，属于中档题.
28．（Ⅰ）单调递增区间为,单调递减区间为；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义求出，再通过研究导函数的符号变化研究函数的单调性；（Ⅱ）将函数在区间上单调递增转化为对恒成立，进一步转化为求函数的最值问题.
试题解析：（Ⅰ）因为所以曲线经过点,
又曲线在点处的切线的斜率为,
所以所以.
当变化时,的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增,所以对,只要在上的最小值大于等于0即可.
因为函数的对称轴为
当时,在上的最小值为,
解,得或所以此种情况不成立；
当时,在上的最小值为
解得
综上,实数的取值范围是
答案第1页，共2页
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