人教A版（2019）选修第二册第五章易错强化练习（Word含答案解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 易错强化练习
一、单选题
1．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省. 假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为，若圆柱的体积以均匀速度增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（ ）
A．成正比，比例系数为 B．成正比，比例系数为
C．成反比，比例系数为 D．成反比，比例系数为
2．已知函数可导，且，（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
3．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．-2或3 B．3 C．-3 D．2
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数在上是增函数
B．是函数的极小值点
C．
D．
二、填空题
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________.
6．曲线在点处的切线方程是___________________．
7．若函数f(x)＝x3－f′（1）·x2＋2x＋5，则f′（2）＝________．
三、解答题
8．已知函数
（1）求函数在处的切线方程
（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.
9．已知，.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若是的极值点，求在上的最大值．
10．已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求证：．
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
12．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围．
13．已知函数.
（1）证明：恰有两个零点，且；
（2）设是的一个零点，证明：是曲线和曲线的公切线.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由圆柱的体积公式可得，对其体积公式求导得，再由圆柱的侧面积公式得，对其侧面积公式求导可得其侧面积增长速度，从而得出选项.
【详解】
由，知. 即，∴，又圆柱的侧面积，
则其侧面积增长速度，
∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为，
故选:C.
【点睛】
本题考查导函数的实际意义，关键在于对圆柱的体积和侧面积公式求导，得出其增长速度，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
利用导数的概念对进行整理，可得结论.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的概念.属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，由函数在x=x0时的导数等于2求出 的值，舍掉定义域外的得答案．
【详解】
由，得 ，
设斜率为的切线的切点为 ，
则
由 ，
解得：或．
∵函数的定义域为 ， ．
故选B．
【点睛】
考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是中档题．
4．D
【解析】
由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C.
【详解】
当时，，则函数在上是减函数，故A错误；
函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；
由图可知，，故C错误；
函数在上单调递增，则，故D正确；
故选：D
5．
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.
【详解】
由题意得，则，
又，所以曲线在点处的切线方程为，
故答案为：.
6．
【解析】
【分析】
先利用导数求出在处的导函数值，结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式可得切线方程．
【详解】
，当时，
得切线的斜率为1，所以；
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
7．2
【解析】
【分析】
先对函数求导，然后令代入导函数中可求出f′（1），从而可得导函数的关系式，进而可求出f′（2）的值
【详解】
∵f′(x)＝x2－2f′（1）x＋2，∴f′（1）＝1－2f′（1）＋2．
∴f′（1）＝1．∴f′(x)＝x2－2x＋2．∴f′（2）＝22－2×2＋2＝2．
故答案为：2
8．（1）；（2）
【解析】
（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.
【详解】
（1）由于，
此时切点坐标为
所以切线方程为.
（2）由已知，
故.
由于，故，
设由于在单调递增
同时时，，时，，
故存在使得
且当时，当时，
所以当时，当时，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
故
由于，
所以，
.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
9．（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可知对任意的恒成立，转化为，利用二次函数的基本性质求得函数在区间上的最小值，进而可得出实数的取值范围；
（2）由题意可得出，求得的值，然后利用导数分析函数在区间，求出极值，将极值与和比较大小，可得出函数在区间上的最大值.
【详解】
（1），，
由题意可知，对任意的恒成立，
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数在区间上单调递增，则，解得.
因此，实数的取值范围是；
（2），由于是函数的极值点，则，解得，，.
令，得或，列表如下：
极小值
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，函数在处取得极小值，且极小值为.
又，，则，
因此，函数在区间上的最大值为.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知得，得；（Ⅱ）先利用导数证明在区间单调递增，又，，所以在区间存在唯一零点，
设零点为，则，且．再证明，原题即得证.
【详解】
解：（Ⅰ）由，得，所以.
由，得，所以.
由已知，得.
经检验，符合题意．
（Ⅱ），，
，设，
则，所以在区间单调递增，
又，，
所以在区间存在唯一零点，
设零点为，则，且．
当时，；当，．
所以，函数在递减，在递增，
，
由，得
所以，
由于，
从而，命题得证．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．，
【解析】
【分析】
根据，，则已知不等式可以转化为；通过解不等式，再结合的取值范围，即可确定的取值.
【详解】
解：∵，
∴，
由，得
即，但
∴
∴，.
12．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义求斜率，再用点斜式写出方程即可；
（Ⅱ）令，则当时，，转化为求成立，然后用导数研究即可
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，．
所以．
所以所求切线方程为．
（Ⅱ）法一：设，则当时，．
所以，所以．
因为，
其中，，．
又当时，，
所以在单调递增．
因为，，
所以存在，使．
0 3
极小
所以在单调递减，在单调递增．
依题意，只需，即．
所以的取值范围是．
法二：设，则当时，．
当时，．
当时，设．
则．
令，则．
所以时，，单调递增．
所以时，，，单调递增．
依题意，只需，即．
所以的取值范围是．
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）讨论出函数的单调性，计算出，，得到在上有一个零点，由得出函数在上有零点；
（2）先根据条件求出的切线；，然后在求曲线的斜率为的切线也是．
【详解】
（1）函数，定义域为；
，（且），
在上单调递增；
因为，
所以在上存在唯一零点，
即，；
所以，且；
所以在上有唯一零点.
所以恰有两个零点，且；
（2）因为为的零点，则；
由，在处；
所以曲线在处的切线为；由化简得切线为：；
当曲线切线斜率为时，
即，则；
所以切点为；
则过切点曲线的切线为；
由，切线为的方程化简为：；
所以和相同；
故是曲线和曲线的公切线；
【点睛】
本题考查函数的零点，零点存在定理，曲线的切线，整体代换的思想，属于难题．
答案第1页，共2页
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