安徽省蚌埠市田家炳中学高一下学期开学学业检测数学试题（word版含解析）

安徽省蚌埠市田家炳中学高一下学期开学学业检测数学试题
一、单选题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．3
2．已知的内角，，所对的边分别为，，，若且内切圆面积为，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某种放射性元素半衰期为年，若现有这种元素克，则年后剩下的质量为
A．克 B．克 C．克 D．克
5．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（ )
A．1 B．8 C．4 D．2
7．已知锐角的三个内角所对边分别为，若角成等差数列，，则的面积的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则的值为
A． B． C． D．
9．若三角形三边长之比是，则其所对角之比是（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量m＝(1，cosθ)，n＝(sinθ，－2)，且m⊥n，则sin2θ＋6cos2θ的值为(　　)
A． B．2 C． D．－2
11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）
A．15 B．24
C．18 D．28
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若实数，满足条件，则的最大值为__________．
14．函数的单调增区间为________．
15．已知数列为等差数列，若，且其前项和有最大值，则使得的的最大值为________．
16．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为___________.
三、解答题
17．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求的值．
18．已知α是第二象限角，且tanα＝－2.
(1)求cos4α－sin4α的值；
(2)设角kπ＋α(k∈Z)的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P，求点P的坐标.
19．如图，正三角形的边长为，分别在三边上，且 为的中点．， ．
（Ⅰ）当时，求角的大小；
（Ⅱ）求的面积的最小值以及使得取最小值时的值．
20．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知数列满足，且，.
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，求数列的通项公式.
22．如图，在中，，点M在线段上.
（1）若，求的长.
（2）若点N是线段上一点，，求的周长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
利用等差数列通项公式表示出已知等式，求得；根据等差数列下标和性质求得结果.
【详解】
设等差数列公差为
由得：，即
故选：
【点睛】
本题考查等差数列通项公式与性质的综合应用问题，涉及到等差数列下标和性质的应用，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
结合正弦定理化简已知条件，求得，进而求得，结合余弦定理以及基本不等式求得，从而求得面积的最小值.
【详解】
由得，
即．∵，
∴，∴．
∵，∴．∵，∴，∴，
即．设内切圆半径为，则，解得，∴，∴，
解得，故，当且仅当“”时等号成立.
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
设这种元素克年后剩余的质量为克，根据题意计算出的值，即可得出年后剩下的质量.
【详解】
设这种元素克年后剩余的质量为克，则，，
则年后剩下的质量为克.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，要熟悉“半衰期”的含义，考查函数思想的应用，属于中等题.
5．A
【解析】
【分析】
由椭圆和双曲线的方程有相同的焦点，得出，再表示出椭圆与双曲线的离心率之积，即可求出范围．
【详解】
由题可知，椭圆焦点在轴上，则，
对于双曲线焦点在轴上，则，
椭圆和双曲线有相同的焦点，则，即，
设椭圆与双曲线的离心率分别为，则，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，以及值域的求法应用，属于基础题．
6．B
【解析】
根据等差数列的性质，由题中条件，求出，再由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】
因为各项不为的等差数列满足，
所以，解得或（舍）；
又数列是等比数列，且，
所以.
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
根据角成等差数列可得,再利用面积公式与正弦定理将的面积转换为关于角的三角函数式,最后根据的取值范围求解函数的范围即可.
【详解】
因为角成等差数列,故,故.
故外接圆直径 .
由面积公式与正弦定理有
.
又锐角中,故,即.
故..
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用面积公式、正弦定理以及三角恒等变换等公式表达三角形面积的解析式,进而根据角度的范围求解面积范围的问题.属于中档题.
8．D
【解析】
【分析】
用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.
【详解】
依题意，,
，故选D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，在解题过程中，要注意的是出现相应的形式，要会变，没有相应的形式，也可以转变，如可转化为.余弦的二倍角公式公式有三个，要利用上合适的那个.
9．A
【解析】
设出三边，用余弦定理求出最大角和最小角，从而求出第三个角，或用勾股定理逆定理求出三角形最大角为，转化为解直角三角形，即可求出结果.
【详解】
解：设三角形三边长分别为m，，2m（m>0），最大角为A，
则，∴A=90°.
设最小角为B，则，
∴B=30°，∴C=60°.
故三角形的三个角之比为.
故选:A
【点睛】
本题考查余弦定理求角，属于基础题.
10．B
【解析】
【详解】
由题意可得m·n＝sinθ－2cosθ＝0，则tanθ＝2，所以sin2θ＋6cos2θ＝.故选B.
11．C
【解析】
【分析】
设括号内的数为n，根据已知条件，利用等差数列的通项公式得到6a1＋(n＋12)d＝24.
利用求和公式得到a1＋5d为定值.从而求得的值.
【详解】
设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
即6a1＋(n＋12)d＝24.
又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值.
所以＝5，解得n＝18.
故选：C.
12．C
【解析】
由所给等式利用同角三角函数的关系可求得，再利用降幂公式及二倍角公式将整理为，代入相应值即可得解.
【详解】
由可得
所以，即，即
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题.
13．
【解析】
【详解】
做出如图所示可行域,令,结合图形可知经过的交点时有最大值,此时的最大值为.故本题应填.
点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.
14．
【解析】
【分析】
将看成的二倍，分子分母同时利用二倍角公式化简，在结合两角和的正切公式可将函数式化为，利用正切函数的单调性可得结果.
【详解】
，
令，得，
即函数的单调增区间为，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式、两角和的正切公式在化简中的应用，运用是解题的关键，正切函数的单调性，的单调增区间通过解不等式即可，属于中档题.
15．19
【解析】
【分析】
首先根据条件，结合其前项和有最大值，可得数列的公差，从而得到，，根据求和公式可得，，最后得到结果.
【详解】
由，可得，
由它们的前项和有最大值，可得数列的公差，
所以，，，
所以，，
所以使得的的最大值为，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，根据题意判断有关最值，属于简单题目.
16．
【解析】
【分析】
根据不等式的解集为，可得是方程的两根，即可求出a的值，代入所求不等式，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】
由题意得，是方程的两根，可得，解得，
所以不等式为，整理为，解得，
故答案为：.
【点睛】
本题考查含参的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.
17．（1），．（2）
【解析】
【详解】
试题分析: （1）由等差数列和等比数列的基本量运算,可求得公差与公比,进而可求得数列的同项公式;（2）根据错位相减法求出的值即可.
试题解析:（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
得，，，
由条件得方程组，
解得：，
故，．
（2），①
，②
①—②，得：，
∴．
点睛:本题考查等差数列和等比数列的基本量运算以及数列的错位相减法求和,属于基础题目.数列的求和方法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,并项求和法等基本方法,其中如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
18．(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）应用同角平方关系将目标式转化为，根据商数关系及已知求目标式的值即可.
（2）由题设可得cosα＝－，sinα＝，讨论k为奇偶性结合诱导公式求，即可得P的坐标.
(1)
原式＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α－sin2α＝＝＝＝.
(2)
由tanα＝－2得sinα＝－2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝，又α是第二象限，则cos α0，
∴cosα＝－，sinα＝tanαcosα＝.
当k为偶数时，P的坐标，即.
当k为奇数时，P的坐标，即.
综上，P的坐标为或.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】
【详解】
试题分析：（I）在中，，，，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，根据的值，列表关系式，整理求出的值，即可确定出的大小；（II）根据两直角边乘积的一半表示出三角形面积，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角间基本关系变形，由正弦函数的值域即可确定出的最小值以及使得取最小值时的值．
试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得
，
在中，由正弦定理得
．
由得，
整理得，所以．
（Ⅱ）
．
∴当时，取得最小值为．
考点：正弦定理；．
【方法点睛】
此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．在中和中，当涉及两边及其两边的对角时利用正弦定理，两次正弦定理结合得结果；在（Ⅱ）中把三角形的面积表示成关于的函数，利用两角和的正余弦公式及降幂公式化简，然后求三角函数的最小值．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）对已知条件两边同时平方结合可得，结合，可得，进而可得，计算即可求解；
（2）将化切为弦再通分，利用整体代入即可求解.
【详解】
（1）由可得，
即，解得，
因为，所以，可得，
所以，
所以，
（2）
.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出，根据其符号判断所在的象限，可判断的符号.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据等差数列定义证明是等差数列，再利用待定系数法求首项与公差，最后根据等差数列求和公式得结果.
（2）先求，再根据等差数列定义证明是等差数列，最后利用累加法求数列的通项公式.
【详解】
（1）当时，，即，
所以，数列是等差数列．
设数列公差为，则，解得
所以．
（2）由题意，，即，所以．
又，所以，
由，得，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
当时，有，
于是，，
，
…　
，
，
叠加得，，
所以，
又当时，也适合．
所以数列的通项公式为．
【点睛】
本题考查了等差数列的前项和公式、等差数列基本量的运算、累加法求数列的通项公式，考查了基本知识的掌握情况，属于中档题.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件，以及正弦定理，即可求解.
(2)先由，得到，再结合余弦定理，即可求解.
【详解】
解：（1）因为在中，，
所以.
又，所以，
在中，由正弦定理，得.
（2）在中，，
因为，即，所以.
在中，由余弦定理，得，即
，
所以，
所以.
所以的周长.
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