广东省东莞市高一下学期期初考试数学试题（word版含解析）

广东省东莞市高一下学期期初考试数学试题
一、单选题
1．已知函数则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是
A． B．
C． D．
4．若，则等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．若是第二象限角，的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
6．函数是R上最小正周期为2的周期函数，当时，则函数的图象在区间上与x轴的交点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．如图所示是一鱼缸的轴截面图，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是（　　 ）
A． B． C． D．
8．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题：，，则：，.
B．函数的定义域为
C．函数的最小值为4
D．若，，且，则最小值为
10．设函数，在上存在导函数，，且，不含常数项，对于任意的实数都有，当时，，则（ ）
A．是偶函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．若，则
11．定义在上的函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点中心对称
C．是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
三、填空题
13．______.
14．函数的定义域是_______.
15．______．
16．已知函数的最小值为，则实数________
四、解答题
17．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有.
（1）求等级为的声音的强度；
（2）计算出的声音与的声音强度之比.
18．已知函数和的定义域都是．
（1）请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象，并标出两图象交点的横坐标的数值：（不要求写作法）
（2）根据图象写出满足条件的x的取值范围.（直接写出答案即可）
19．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知定义在上的函数满足下列条件：①对定义域内任意，恒有；②当时；③.
（1）求的值；
（2）求证：函数在上为减函数；
（3）解不等式 ：.
21．在中，已知，，且．
求的值；
求证：．
22．（1）求值：.
（2）已知，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据的值代入相应的解析式可得答案.
【详解】
由已知
.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用补集运算求解.
【详解】
或，
所以，
故选：D
3．D
【解析】
【详解】
试题分析：由函数的定义可知，两个函数要为同一函数则其三要素必须相同．选项A中的值域为，的值域为；选项B中的定义域为，的定义域为；选项C中的定义域为，的定义域为；故排除A,B,C，选项D中和的定义域都是，且.故选D.
考点：函数的三要素
4．B
【解析】
根据函数解析式，求出，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因此，
所以.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
根据可将式子化简，得到答案.
【详解】
因为 ，所以，
，
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
当时，解得或，由周期性可求得区间，上解的个数，再考虑时的函数值即可．
【详解】
解：当时，解得或，
因为是上最小正周期为2的周期函数，
故在区间，上解的个数为6，
又因为，故在区间，上解的个数为7，
即函数的图象在区间，上与轴的交点的个数为7，
故选：．
7．B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和变化率分析判断得解.
【详解】
由题得是增函数，曲线的变化率是先慢慢变大，后慢慢变小.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
根据相等函数的定义一一判断可得；
【详解】
解：对于A：定义域为，定义域也为，但是函数解析式不一致，故不是相等函数；
对于B：定义域为，函数定义域为，定义域不相同，故不是相等函数；
对于C：函数的定义域为，函数的定义域也为，且，即函数解析式一样，故是相等函数；
对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，
故选：C
9．ABD
【解析】
【分析】
由全称命题的否定变量词否结论可判断A；解不等式组可判断B；利用基本不等式求最小值可判断C；利用的代换，以及基本不等式求最值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：命题：，，则：，，故选项A正确；
对于B：由 可得且，所以函数的定义域为，故选项B正确；
对于C：由可得，所以
，当且仅当即时等号成立，所以函数的最小值为，故选项C不正确；
对于D：，当且仅当即 时等号成立，所以最小值为，故选项D正确；
所以说法正确的是选项ABD
故选：ABD.
10．BCD
【解析】
【分析】
根据条件依次判断每个选项的正误.
【详解】
对于A，由，不含常数项可知，
因为对于任意的实数都有，
，
是奇函数，故A错误；
对于B， 当时，，即，故在区间上是减函数，故B正确；
对于C，当时，，
，则在上是减函数，
是奇函数，在区间上是减函数，故C正确；
对于D，若，则，
即，是减函数，，解得，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查函数的性质的综合应用，属于中档题.
11．AD
【解析】
【分析】
根据函数，判断其为奇函数，由此可判断A,B的正误；判断函数为单调减函数，由此将变形，利用单调性，可判断C,D的正误.
【详解】
据题意有：，故时奇函数，
又，故是单调递减函数，
则，故A正确；
，故B错误；
因为，则，
所以，
故，故C错D对，
故选：AD.
12．ACD
【解析】
【分析】
先对函数化简得，然后对各项分析判断即可
【详解】
解：函数，
故函数的周期为，故A正确；
令，求得，故B错误；
令，求得，为最小值，故C正确；
将函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，故D正确，
故选：ACD．
13．
【解析】
【分析】
根据，得，代入要求的式子即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，考查计算能力与公式的灵活应用，属于基础题.
14．或.
【解析】
根据题意得，解不等式即可得答案.
【详解】
解：要使函数有意义，则需满足，
解得：.
故函数的定义域为或
故答案为：或
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，考查运算能力，是基础题.
15．
【解析】
【详解】
.
答案为：.
16．
【解析】
根据已知函数解析式，分别讨论，两种情况，根据函数单调性， 结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
因为，
当时，单调递增，则；
当时，是开口向上的二次函数，对称轴为，
若，则在上单调递减，所以，无最小值，不满足题意；
若，则，解得或（舍）.
综上，.
故答案为：
17．（1），（2）.
【解析】
（1）取得到，计算得到答案.
（2）设，设，分别计算得到答案.
【详解】
（1）由即.
可得.因此等级为的声音强度为.
（2）设，则，解得.
设，同理可得.
因此所求强度之比为.
【点睛】
本题考查了对数函数的应用，意在考查学生的应用能力.
18．（1）图象见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用五点法作图；
（2）根据正弦函数图像比余弦函数图像高或者一样高的部分,写出x的取值范围
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查五点法作函数的图像，属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将,代入得到方程组，解出的值，即可求得．
（2）将不等式变形，参变分离后，求，x∈(－∞，1]的最小值，利用换元法把问题转化成二次函数类型函数的最值问题．
【详解】
(1)把点A(1,8)，B(3,32)代入函数f(x)＝b·ax，可得求得
∴.
(2)不等式，即，
令 ，则，
记，由，可得，
故当时，函数取得最小值为.
由题意可得，，∴.
【点睛】
（1）根据图像经过的点得到方程组，解方程即可．
（2）恒成立问题一般是参变分离，把问题转化成函数的最值问题．利用换元思想把函数最值问题转化成初等函数的最值问题处理．
20．（1）；（2）证明见解析过程；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据这个等式，令，可求，再令，可以求出；
（2）根据单调性的定义证明：，结合已知通过比较法，可以判断出的大小，从而证明出结论；
（3）根据性质和（1）的结论，不等式，可以转化为，由（2）的结论，可以得到解这个不等式组即可.
【详解】
（1）由已知可知；
（2）设则，
，
在上为减函数；
（3）因为，根据性质和（1）的结论，所以有，由（2）的结论可知 在上为减函数，
因此有成立，解得：.
【点睛】
本题考查了抽象函数单调性的证明，考查了利用单调性解不等式问题，考查了数学运算能力.
21．（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求的值．
利用同角三角函数基本关系式可求，由于在单调递减，且，，即可证明．
【详解】
（1）由题意，因为，，
所以，所以
证明：因为，可得：，
，
，
又，所以，
在单调递减，且，，
，即得证
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式，以及余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力和转化思想，属于中档题．
22．（1）；（2）；.
【解析】
【分析】
（1）由指数的基本运算化简即可；
（2）由可求；由可求，可求，结合即可求解.
【详解】
（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，
可得；
（2）∵，∴，∴；
，∴＝7，∴，
∴，∴．
答案第1页，共2页
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